导数零点不可求考点与题型归纳

导数零点不可求考点与题型归纳导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性.用导数研究函数f(x)的单调性，往往需要解方程f'(x)=0.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？考点一猜出方程f'(x)=0的根1+lnx典例］设f(x)=—(1)若函数f(x)在(a,a+1)上有极值，求实数a的取值范围;(2若关于x的方程f(x)=x2-2x+k有实数解，求实数k的取值范围.解题观摩］(1)因为f(x)=-lx2x，当0<x<】时,f'(x)>0；当X〉1时，F仗)<0,x2所以函数f(x)在(0,1上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故函数f&)的极大值点为X=l,a<1，所以即0<a<1,故所求实数a的取值范围是(0,1)a+1>1，(2方程f(x)=x2-2x+k有实数解,即f(x)-X2+2x=k有实数解.设g(x)=f(x)-X2+2x,则g'(x)=2(1-x)-lnx,x2接下来，需求函数g(x)的单调区间，所以需解不等式g‘(x)>0及g'(x)<0,因而需解方程g'(x)=0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解.因为g'(1)=0，且当0<x<1时，g'(x)>0，当X>1时，g'(x)<0，所以函数g(x)在(0,1上)单调递增，在(1，+8)上单调递减.所以g(x)=g(1)=2.当X—0时，g(x)f-8；当X—+8时，g(x)f-8,所以函数g(x)max的值域是(-8,2］，所以所求实数k的取值范围是(-8,2］.［关键点拨］当所求的导函数解析式中出现lnx时，常猜x=1;当函数解析式中出现ex时，常猜x=0.考点二隐零点代换［典例］设函数fx)=e2x—alnx.讨论fx)的导函数f(x)零点的个数；2求证：当a>0时，fx)三2a+alna.［解题观摩］(1)法一:f(x)=2e2x-a(x>0).当aWO时，f(x)>0,f(x)没有零点.当a>0时，设u(x)二e2x,v(x)=-a,x因为u(x)二e2x在(0，+g)上单调递增，v(x)二-率(0，+a)上单调递增，x所以f(x)在(0，+g)上单调递增.又因为f(a)>0,当b满足0<b<手且b<1时，f(b)<0,所以当a>0时，f(x)存在唯一零点.法二：f(x)二2e2x-f(x>0).令方程f(x)=0,得a二2xe2x(x>0).因为函数g(x)二2x(x>0),h(x)二e2x(x>0)均是函数值为正值的增函数，所以由增函数的定义可证得函数u(x)二2xe2x(x>0)也是增函数，其值域是(0，+g).由此可得，当aW0时，f(x)无零点；当a>0时，f(x)有唯一零点.(2)证明：由(1)可设f(x)在(0，+g)上的唯一零点为x0.当xe(0,x0)时，f(x)<0；当x^(x0，+g)时，f7(x)>0.所以fx)在(0少。)上单调递减，在x0，+g)上单调递增，当且仅当x=x°时，fx)取得最小值，最小值为f(x0).因为2e2x0-—-0所以fx0)='+2ax0+aln?三2a+aln'(当且仅当x0二占时等号成立)-0x002x00aa02所以当a>0时，fx)三2a+aln2a［关键点拨］本题第(2)问的解题思路是求函数fx)的最小值，因此需要求f(x)-0的根，但是/(x)-

2e2x-a=0的根无法求解•故设出f(x)二0的根为xo，通过证明fx)在(0,x0)和(x0，+切上的单调性知f二山g)二主+2a%+alna，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而不求．考点三证一证明方程f(x)=0无根m2e［典例］已知m^R，函数fx)=mx—~x一21nx,g(x)=j，若x0^［1,e］,使得f(x0)>g(x°)成立，求实数m的取值范围.［解题观摩］因为当X二1时，fx)二0,g(x)二2e，不存在f(x0)>g(x0)，所以关于x的不2e＋2xlnx等式fx)>g(x)在［1,e］上有解，即关于x的不等式5(1<xWe)有解.x2－12e＋2xlnx设u(x)二(1<xWe),x2－12x2-4ex-2-(2x2+2)1nx则u(x)=(1<xWe),但不易求解方程U(x)二0.(x2-1)2可大胆猜测方程U(x)二0无解，证明如下：由1<xWe，可得-(2x2+2)1nx<0,2x2-4ex-2二2(x-e)2-2e2-2<0,所以U(x)<0,u(x)在(1,e］上是减函数，所以函数u(x)所以函数u(x)的值域是4ee2-1+OO丿C4e故所求实数m的取值范围是R+OO丿［关键点拨］当利用导函数求函数fx)在区间［a,b］,［a,b)或(a,b］上的最值时，可首先考虑函数fx)在该区间上是否具有单调性，若具有单调性，则fx)在区间的端点处取得最值(此时若求f(x)二0的根，则此方程是无解的).第五课时构造函数利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，如何恰当构造函数，往往成为解题的关键．考点一“比较法”构造函数证明不等式当试题中给出简单的基本初等函数，例如fx)=x3,g(x)=lnx,进而证明在某个取值范围内不等式f(x)^g(x)成立时，可以类比作差法，构造函数h(x)=fx)—g(x)或y(x)=g(x)—fx),进而证明h(x)i^0或(p(x)WO即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具.此外，minmax在能够说明g(x)>0fx)>0)的前提下，也可以类比作商法，构造函数力(对=常［於)=制，进而证明h(X)mm21(0(X)maxWl).［典例］已知函数f(x)=ex—ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为—1.求a的值及函数fx)的极值；求证：当x>0时，x2<ex.［解题观摩］⑴由fx)=ex-ax,得'(x)=ex-a.因为f(0)二1-a二-1,所以a-2,所以fx)-ex-2x,f(x)-ex-2,令f(x)-0,得x-ln2,当x<ln2时，f(x)<O,fx)单调递减；当x>ln2时，f(x)>O,fx)单调递增.所以当x-ln2时，fx)取得极小值，且极小值为f(ln2)-ejn2-2ln2-2-2ln2,fx)无极大值．(2)证明：令g(x)-ex-x2,则gz(x)-ex-2x.由(1)得gz(x)-fx)初In2)>0,故g(x)在R上单调递增.所以当x>0时，g(x)>g(0)-1>0，即x2<ex.［关键点拨］在本题第(2)问中，发现,e“具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的F<ex”构造函数，得到“g(x)二ex-X2”，并利用⑴的结论求解.考点二“拆分法”构造函数证明不等式当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉.这时可以将原不等式合理拆分为fx)Wg(x)的形式，进而证明fx)maxWg(x)mm即可，此时注意配合使用导数工具.在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.［典例］已知函数fx)=elnx—ax(aWR).讨论fx)的单调性；⑵当a=e时，证明：fx)—ex+2exW0.e［解题观摩］(If(x)=~-a(x>°)，x若aWO，则f(x)>°,fx)在(0，+R)上单调递增；若a>0,则当0<x<'时，f(x)>0,当x>e时，f(x)<0,aa故fx)在(0,上单调递增，在(a，+巧上单调递减.ex证明：法一：因为x>0,所以只需证f(x)Wx-2e,当a二e时，由(1)知fx)在(0,1)上单调递增，在(1,+R)上单调递减，所以fx)二f(i)max二-e.记g(x)二岂-2e(x>0),x则g‘(x)二匸匹,x2所以当0<x<1时，g，(x)<0,g(x)单调递减；当x>1时，g，(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x).二g(l)二-e.min综上，当x>0时，fx)Wg(x)，即fx)W岂-2e,x即xf(x)-ex+2exW0.法二：要证fx)-ex+2exW0,即证exlnx-ex2-ex+2exW0,从而等价于Inx-x+2ex设函数g(x)二Inx-x+2,则g'(x)=1-1.x所以当xW(0,1)时，g'(x)>0；当xE(1,+-)时，g'(x)<0,故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+R)上单调递减，从而g(x)在(0，+8)上的最大值为g(1)=1.设函数h(x)=竺，则h(x)二比卫exex2所以当xe(0,1)时，h'(x)<0,当xe(1，+^)时，h'(x)>0，故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+上单调递增，从而h(x)在(0，+8)上的最小值为h⑴二1.综上，当x>0时，g(x)Wh(x),即xfx)-ex+2exW0.［关键点拨］对于第(2)问xfx)-ex+2ex<0的证明直接构造函数h(x)二xelnx-ax2-ex+2ex，求导后不易分析，故可将不等式合理拆分为fx)<岂-2e或Inx-x+2<竺，再分别对不等式两边构xex造函数证明不等式．考点三“换元法”构造函数证明不等式若两个变元x1，x2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整

体转化为关于m(x1,x2)的表达式(其中mg")为x1,x2组合成的表达式)，进而使用换元令mgx2)=t,使所要证明的不等式转化为关于t的表达式，进而用导数法进行证明，因此,换元的本质是消元．lnx［典例］已知函数fX)=~x~一k有两个不同的零点X］,x2，求证：X］X2>e2.lnx［解题观摩］fX)二「k，设Xi>x2>0,由f(x])=f(x2)=0,可得lnx]-kx]=0,lnx2-kx2=0,两式相加减，x2)．得lnx]+lnx2二k(x]+x2),lnx]-lnx2x2)．要证x]x2>e2，即证lnx]x2>2，只需证lnx]+lnx2>2，也就是证k(x]+x2)>2，即证kx]+x2lnx’-lnxlnx,-lnxn2x2(x’-xj因为k=12,所以只需证—]，即证ln^>]_x]-x2x]-x2x]+x2x2x]+x2令互二t(t>1)，则只需证ln/>汝»(/>1).x2t+]令h(t)二lnt-2(t^(t>]),t+1则h(皆]-亠二d>0,t(t+1)2t(t+1)2故函数h(t)在(1,+-)上单调递增，所以h(t)>h(1)二0,即lnt>—_—t+1所以x1x2>e2.［关键点拨］不妨设x1>x2>0，由f(x1)=f(x2)=0，可得lnx1—kx1=0，lnx2—kx2=0，两式相加减,利用分析法将要证明的不等式转化为lnx]ln利用分析法将要证明的不等式转化为lnx]lnx2x1－x2x1+x2，再利用换元法，通过求导证明上述不等式成立．考点四“转化法”构造函数在关于“，七的双变元问题中，若无法将所给不等式整体转化为关于m(xvx2)的表达式，则考虑将不等