多元线性回归模型课件

多元线性回归模型模型的建立及其假定条件最小二乘估计最小二乘估计量的统计特性可决系数（R2）估计量的检验与置信区间预测多元线性回归模型模型的建立及其假定条件1§1模型的建立及其假定条件

基本概念

1、多元线性总体回归模型2、多元线性总体回归直线3、多元线性样本回归模型4、多元线性样本回归直线

假定条件

1－4、随机误差项独立同分布

ui~N(0,σ2)；Cov(ui,uj)=0;

5、解释变量与随机误差项彼此不相关

Cov(uj,Xij)=0；

6、解释变量直接不存在完全共线性

rank（X）=k＋1<n。§1模型的建立及其假定条件基本概念假定条件21、总体回归模型yt

=0+1xt1+2xt2+…+kxtk

+ut

设（xt1,xt2,…,xtk），t＝1,2…T是对总体（X1,X2,…Xk）的T次独立样本的观测值，则样本结构形式的多元线性回归模型为T个方程、k＋1个未知数构成的方程组：

y1=0+1x11+

2x12

+…+kx1k

+u1

y2=0+

1x21+2x22

+…+kx2k

+u2

……………….yT

=0+

1xT1+2xT2

+…+

kxTk+uT

1、总体回归模型yt=0+1xt1+2xt23因此：

这个模型相应的矩阵表示形式为：Y=X+U2、总体回归方程

E(y|x1,…,xk)=0+1x1+…+kxk

矩阵形式为：E(Y)=X3、样本回归模型矩阵形式为：4、样本回归方程矩阵形式为：因此：这个模型相应的矩阵表示形式为：Y=X+U24其中：

表示被解释变量样本观测值的拟合值的列向量；

表示未知参数估计值的列向量；

表示残差（随机误差项估计值）的列向量。其中：5二、假定条件（与一元线性回归模型相似）

假定1：

E(ut)=0t＝1,2…T

这样，被解释变量yt的期望值为：E(yt)

=0+1xt1+2xt2+…+kxtk假定2：Var(ut)=E[ut-E(ut)]2=E(ut)2=2t＝1,2…T

这样yt的方差也相同，且等于

2，即：Var(yt)=

2t＝1,2…T假定3：随机误差项服从正态分布，即ut～N(0,2)同时，被解释变量也服从正态分布：

yt～N(0+1xt1+2xt2+…+kxtk,2)二、假定条件（与一元线性回归模型相似）假定1：

E(ut6假定4：Cov(ui,uj)=E[(ui-E(ui))(uj-E(uj))]=E(ui,uj)=0(i

j)i，j＝1,2…T即：随机误差项无序列相关。假定2和假定4可以由下列矩阵表示：

上式称为随机误差向量u的方差—协方差矩阵。假定4：Cov(ui,uj)=E[(ui-E(ui7即样本观测值矩阵X必须是满秩矩阵，应满足：假定5：Cov(uj,xij)=0i＝1,2…k；i，j＝1,2…n即ui

与xi

彼此不相关。rank（X）=k＋1

≤T假定6：解释变量x1,x2,…xk之间不存在完全的线性关系，经验法则：T≥30，Z检验可用；T-k

≥8，t检验较为有效；至少T≥3(k+1)即样本观测值矩阵X必须是满秩矩阵，应满足：假定5：Cov(u8§2最小二乘法一、参数的最小二乘估计二、随机误差项方差σ2的估计量§2最小二乘法一、参数的最小二乘估计9一、参数的最小二乘估计根据最小二乘准则：

根据多元函数求极值的必要条件，应满足下列线性方程组：一、参数的最小二乘估计根据最小二乘准则：根据多10即：整理得：

矩阵

形式：

即：整理得：

矩阵

形式：

11因为：于是有：β的最小二乘（OLS）估计量为：因为：于是有：β的最小二乘（OLS）估计量为：12二、随机误差项方差σ2的估计量首先，残差的表示形式：

其中：为一幂等矩阵。即:M=M’

M=M2=M3=…=Mn那么残差的平方和为：二、随机误差项方差σ2的估计量首先，残差的表示形式：其中13于是：注：符号tr表示矩阵的迹，它等于矩阵主对角线上元素之和所以，随机误差项方差σ2的无偏估计为：

Se——回归标准差或残差标准差于是：注：符号tr表示矩阵的所以，随机误差项方差σ2的无14多元线性回归模型课件15三、多元回归系数：偏回归系数多元回归系数的含义：其他解释变量保持不变，仅某个解释变量发生单位变动时，被解释变量的平均变化量（偏回归系数）。偏相关系数：剔除共同因素影响之后，两变量的简单相关系数称为偏相关系数。偏回归系数：剔除共同因素影响之后，两变量的简单回归系数称为偏回归系数。多元回归的优势：回归系数即为偏回归系数。三、多元回归系数：偏回归系数多元回归系数的含义：其他解释变量16§3最小二乘估计量的统计特性线性特性无偏性最小方差性（有效性）高斯-马尔可夫（Gauss-Markov）定理§3最小二乘估计量的统计特性线性特性17一、线性特性线性特性：是指最小二乘估计量是被解释变量观测值y1,y2,…,yT

的线性函数。

A为一个非随机（确定的）（k＋1）×T阶常数矩阵。设：则：一、线性特性线性特性：是指最小二乘估计量是被解释变量观18二、无偏性

如果估计量是无偏估计，则其期望等于真值。证明：注：证明过程中利用了随机误差项的基本假定1和解释变量与随机误差项彼此不相关的假定5。

二、无偏性如果估计量是无偏估计，则其期望等于真值。注：证明19三、最小方差性（有效性）

最小方差估计量：指该估计量的方差在所有无偏估计量中方差是最小的。

这里，我们只对估计量的方差－协方差矩阵的矩阵表示形式予以解证，关于有效性的证明从略。

三、最小方差性（有效性）最小方差估计量：指该估计量的方20——（β0，β1，……，βk）估计量的方差－协方差矩阵.——（β0，β1，……，βk）估计量的方差－协方差矩阵.21另：另：22记：

这里，(Cij)是一个（k＋1）阶矩阵，而Cij表示位于矩阵C＝(X’X)-1的第i+1行,第j+1列处的元素，例如，C11表示矩阵内第2行、第2列的元素。因此：其中，i,j=0,1,2,…,k记：这里，(Cij)是一个（k＋1）阶矩阵，而Cij表23四、高斯－马尔可夫（Gauss-Markov）定理

如果基本假定1－5成立，则最小二乘估计量是β的最优线性无偏估计量（BestLinearUnbiasedEstimate,简记BLUE）。

由于在β的最小二乘估计量的方差（）中，σ2是未知的，因此可以用σ2无偏估计量S2来代替，这样，有：四、高斯－马尔可夫（Gauss-Markov）定理24§4可决系数总离差平方和的分解多元样本可决系数（R2）调整的样本可决系数§4可决系数总离差平方和的分解25一、总离差平方和的分解

对于多元线性回归模型的情形，一元线性回归模型的总离差平方和的分解公式依然成立。即：SST=SSR+SSE

其中：

——总离差平方和

——残差平方和

——回归平方和即：证明：一、总离差平方和的分解对于多元线性回归模型的26二、多元样本可决系数与一元线性回归模型相同：

R2＝＝

＝＝

样本可决系数是对样本观测值拟合优度的检验，其取值区间为[0,1],R2的值越趋近于1，被解释变量由解释变量的解释部分越多。表明估计的样本回归方程对样本观测值的拟合程度越好。二、多元样本可决系数与一元线性回归模型相同：样本27三、调整的样本可决系数

R2的一个重要性质是：随着样本解释变量个数的增加，R2的值越来越高，（即R2是解释变量个数的增函数）。也就是说，在样本容量不变的情况，在模型中增加新的解释变量不会改变总离差平方和（SST），但可能增加回归平方和（SSE），减少残差平方和（SSR）,从而可能改变模型的解释功能。其中：——随机误差项u的样本方差Su——被解释变量的Y的样本方差这样，容易形成一种误解，即要想得到较好的拟合程度，只要增加解释变量即可，因此，R2并不能真实反映回归模型对观测数据的拟合程度。

据此得到调整的R2：三、调整的样本可决系数R2的一个重要性质28样本可决系数与调整的样本可决系数之间的关系样本容量（T）一定时，调整的R2具有如下性质：1、若k≥1，则2、调整的R2可能出现负值。在这种情况下，我们取其值为0。注：在实际应用中，不能仅仅根据R2的大小来选择模型。样本可决系数与调整的样本可决系数之间的关系样本容量（T）一定29§5显著性检验与区间估计回归方程的限制条件检验——F检验（若干回归系数为0、Chow检验、回归系数线性约束的检验）回归方程的显著性检验（F检验）回归系数的显著性检验（t检验）回归系数的置信区间§5显著性检验与区间估计回归方程的限制条件检验——F检验30一、回归方程的约束条件检验（F检验）含义：是指在一定的显著性水平下，对总体参数之间是否满足一定的约束条件进行检验，例如若干回归系数为0的检验，不同样本回归系数是否相等的检验，回归系数线性约束的检验等。给定总体回归模型：y

=0+1x1+2x2+…+kxk

+u

①提出假设：H0:参数满足某个约束条件

H1:参数不满足该约束条件②估计两个回归模型，首先，对不加约束条件(unrestricted)的回归模型进行估计，得到无约束的残差平方和SSRu；然后，对施加了约束的模型进行估计，得到有约束（restricted）的残差平方和SSRr。在此基础上，计算F统计量：

其中，q表示模型中约束条件的个数。一、回归方程的约束条件检验（F检验）含义：是指在一定的显著性31③给定显著性水平α，查找临界值进行判断：若：F<Fα,不能拒绝原假设H0，认为约束条件成立。

F>Fα,拒绝原假设H0，认为约束条件不成立。<注>：不同的约束条件，其有约束模型与无约束模型的形式是不同的，在检验时一定要合理的设定模型形式。（1）关于若干个回归系数是否为0的检验H0:β1=β2=…=βq=0

（共有k≥q）H1:至少有一个βj(j=1,2,…,q)不等于0无约束回归模型：有约束回归模型：③给定显著性水平α，查找临界值进行判断：<注>：不同的约束32（2）利用不同样本得到的回归系数是否相同（chow检验）H0:α0=β0

α1=β1…αk=βkH1:至少有一个组αj≠βj(j=1,2,…,k)根据第一个样本（容量为T1）估计下面的回归模型，得残差平方和SSR1:根据第二个样本（容量为T2）估计下面的回归模型，得残差平方和SSR2:根据全部样本（容量为T1＋T2）估计下面的回归模型，得残差平方和SSR合：（2）利用不同样本得到的回归系数是否相同（chow检验）33附：F分布F分布：如果X和Z是相互独立的，分别服从分布自由度为n1、n2的χ2分布那么：

根据F分布的含义，我们可以推导出：其中：F分布可用于检验两个方差是否相等：

(1)H0:H1:(2)假设接受H0，计算F统计量得：

(3)给定显著性水平α，比较临界值，进行判断：

F<Fα,不能拒绝原假设H0，认为X、Z来自方差相同的总体；

F>Fα,拒绝原假设H0，认为X、Z来自方差不同的总体。附：F分布F分布：如果X和Z是相互独立的，分别服从分布自由度34二、回归方程的显著性检验（F检验）含义：是指在一定的显著性水平下，从总体上对模型中解释变量与被解释变量之间的线性关系是否显著成立进行的一种统计检验。给定总体回归模型：

y

=0+1x1+2x2+…+kxk

+u

(1)提出假设：H0:β1=β2=…=βk=0H1:至少有一个βj(j=1,2,…,k)不等于0(2)在H0成立的条件下，计算F统计量：

～Fα(k.T-k-1)

(3)给定显著性水平α，查找临界值进行判断：若：F<Fα,不能拒绝原假设H0,认为总体回归方程之间不存在显著的线性关系。

F>Fα,拒绝原假设H0,认为总体回归方程之间存在显著的线性关系

分子SSE/k表示被解释变量Y拟合值的样本方差；分母SSR/(T-k-1)表示残差的样本方差即回归方差。二、回归方程的显著性检验（F检验）含义：是指在一定的显著性水35三、回归系数的显著性检验（t检验）在上述F检验中，若结果拒绝H0，并不代表所有的解释变量X1,X2,…,Xk

都对解释变量Y有显著影响，因此需要对每一个解释变量进行显著性检验。t检验的步骤：

(1)提出假设：H0:βj＝0H1:βj≠0j=1,2,…,k

(2)在接受H0的情况下，计算

t统计量：

其中是标准差的估计量。

(3)给定显著性水平α，比较临界值，进行判断：不能拒绝原假设H0，认为解释变量对被解释变量Y无显著影响；拒绝原假设H0，认为解释变量对被解释变量Y有显著影响。三、回归系数的显著性检验（t检验）在上述F检验中，若结果拒绝36三、回归系数的置信区间根据：

对于显著性水平，可以从自由度表中查出相应的自由度为（T–k–

1）的双侧分位数tα/2(T-k-1)，则可求得的置信区间为：有：三、回归系数的置信区间根据：对于显著性水平，可以37§6预测点预测区间预测

1、E(Y/X)的区间预测

2、Y的区间预测§6预测点预测38一、点预测点预测：就是将解释变量x1,x2,…,xk的一组特定值：

x0=(1,x10,x20,…xk0)

带入估计的回归方程中，计算出被解释变量y0

的点预测值：即：与一元情形一样，对有两种解释：（1）看作Y的条件期望E(Y0/X0)的点估计（2）看作Y的个别值（真值）Y0的点估计一、点预测点预测：就是将解释变量x1,x2,…,xk的一组特39二、区间预测1、E(y0/x0)的区间预测——P892、真值y0的区间预测——P91二、区间预测1、E(y0/x0)的区间预测——P892、真40Eviews输出结果说明Eviews输出结果说明41EstimationOutput三部分2、估计结果：系数、标准差、t、t对应的概率…...1、回归基本信息……3、检验统计量……EstimationOutput三部分2、估计结果：系421、回归基本信息因变量：……方法：……日期：……

时间：……样本区间：19881998包括的观察值个数：111、回归基本信息因变量：……432、估计结果t统计量(2)：检验单个回归系数是否显著=（X`X）-1X`YP(|t|>t-Statistic)回归系数估计值的标准差(1)系数估计值的方差协方差矩阵：(2)第i个系数估计值的t统计量：(1)第i个系数估计值的样本标准差：第i个系数估计值的方差：2、估计结果t统计量(2)：检验单=（X`X）-1X`YP443、回归结果的检验统计量拟合优度R2=RSS/TSS残差平方和RSSF统计量被解释变量Y标准差SY被解释变量Y的均值P(F>F-statistic)回归标准差Se3、回归结果的检验统计量拟合优度残差平方和RSSF统计量被解45残差图真实值拟合值残差坐标为0S.E(20.26)-S.E.(-20.26)残差图真实值拟合值残差坐标为0S.E-S.E.46真实值、拟和值、残差真实值、拟和值、残差47多元线性回归模型模型的建立及其假定条件最小二乘估计最小二乘估计量的统计特性可决系数（R2）估计量的检验与置信区间预测多元线性回归模型模型的建立及其假定条件48§1模型的建立及其假定条件

基本概念

1、多元线性总体回归模型2、多元线性总体回归直线3、多元线性样本回归模型4、多元线性样本回归直线

假定条件

1－4、随机误差项独立同分布

ui~N(0,σ2)；Cov(ui,uj)=0;

5、解释变量与随机误差项彼此不相关

Cov(uj,Xij)=0；

6、解释变量直接不存在完全共线性

rank（X）=k＋1<n。§1模型的建立及其假定条件基本概念假定条件491、总体回归模型yt

=0+1xt1+2xt2+…+kxtk

+ut

设（xt1,xt2,…,xtk），t＝1,2…T是对总体（X1,X2,…Xk）的T次独立样本的观测值，则样本结构形式的多元线性回归模型为T个方程、k＋1个未知数构成的方程组：

y1=0+1x11+

2x12

+…+kx1k

+u1

y2=0+

1x21+2x22

+…+kx2k

+u2

……………….yT

=0+

1xT1+2xT2

+…+

kxTk+uT

1、总体回归模型yt=0+1xt1+2xt250因此：

这个模型相应的矩阵表示形式为：Y=X+U2、总体回归方程

E(y|x1,…,xk)=0+1x1+…+kxk

矩阵形式为：E(Y)=X3、样本回归模型矩阵形式为：4、样本回归方程矩阵形式为：因此：这个模型相应的矩阵表示形式为：Y=X+U251其中：

表示被解释变量样本观测值的拟合值的列向量；

表示未知参数估计值的列向量；

表示残差（随机误差项估计值）的列向量。其中：52二、假定条件（与一元线性回归模型相似）

假定1：

E(ut)=0t＝1,2…T

这样，被解释变量yt的期望值为：E(yt)

=0+1xt1+2xt2+…+kxtk假定2：Var(ut)=E[ut-E(ut)]2=E(ut)2=2t＝1,2…T

这样yt的方差也相同，且等于

2，即：Var(yt)=

2t＝1,2…T假定3：随机误差项服从正态分布，即ut～N(0,2)同时，被解释变量也服从正态分布：

yt～N(0+1xt1+2xt2+…+kxtk,2)二、假定条件（与一元线性回归模型相似）假定1：

E(ut53假定4：Cov(ui,uj)=E[(ui-E(ui))(uj-E(uj))]=E(ui,uj)=0(i

j)i，j＝1,2…T即：随机误差项无序列相关。假定2和假定4可以由下列矩阵表示：

上式称为随机误差向量u的方差—协方差矩阵。假定4：Cov(ui,uj)=E[(ui-E(ui54即样本观测值矩阵X必须是满秩矩阵，应满足：假定5：Cov(uj,xij)=0i＝1,2…k；i，j＝1,2…n即ui

与xi

彼此不相关。rank（X）=k＋1

≤T假定6：解释变量x1,x2,…xk之间不存在完全的线性关系，经验法则：T≥30，Z检验可用；T-k

≥8，t检验较为有效；至少T≥3(k+1)即样本观测值矩阵X必须是满秩矩阵，应满足：假定5：Cov(u55§2最小二乘法一、参数的最小二乘估计二、随机误差项方差σ2的估计量§2最小二乘法一、参数的最小二乘估计56一、参数的最小二乘估计根据最小二乘准则：

根据多元函数求极值的必要条件，应满足下列线性方程组：一、参数的最小二乘估计根据最小二乘准则：根据多57即：整理得：

矩阵

形式：

即：整理得：

矩阵

形式：

58因为：于是有：β的最小二乘（OLS）估计量为：因为：于是有：β的最小二乘（OLS）估计量为：59二、随机误差项方差σ2的估计量首先，残差的表示形式：

其中：为一幂等矩阵。即:M=M’

M=M2=M3=…=Mn那么残差的平方和为：二、随机误差项方差σ2的估计量首先，残差的表示形式：其中60于是：注：符号tr表示矩阵的迹，它等于矩阵主对角线上元素之和所以，随机误差项方差σ2的无偏估计为：

Se——回归标准差或残差标准差于是：注：符号tr表示矩阵的所以，随机误差项方差σ2的无61多元线性回归模型课件62三、多元回归系数：偏回归系数多元回归系数的含义：其他解释变量保持不变，仅某个解释变量发生单位变动时，被解释变量的平均变化量（偏回归系数）。偏相关系数：剔除共同因素影响之后，两变量的简单相关系数称为偏相关系数。偏回归系数：剔除共同因素影响之后，两变量的简单回归系数称为偏回归系数。多元回归的优势：回归系数即为偏回归系数。三、多元回归系数：偏回归系数多元回归系数的含义：其他解释变量63§3最小二乘估计量的统计特性线性特性无偏性最小方差性（有效性）高斯-马尔可夫（Gauss-Markov）定理§3最小二乘估计量的统计特性线性特性64一、线性特性线性特性：是指最小二乘估计量是被解释变量观测值y1,y2,…,yT

的线性函数。

A为一个非随机（确定的）（k＋1）×T阶常数矩阵。设：则：一、线性特性线性特性：是指最小二乘估计量是被解释变量观65二、无偏性

如果估计量是无偏估计，则其期望等于真值。证明：注：证明过程中利用了随机误差项的基本假定1和解释变量与随机误差项彼此不相关的假定5。

二、无偏性如果估计量是无偏估计，则其期望等于真值。注：证明66三、最小方差性（有效性）

最小方差估计量：指该估计量的方差在所有无偏估计量中方差是最小的。

这里，我们只对估计量的方差－协方差矩阵的矩阵表示形式予以解证，关于有效性的证明从略。

三、最小方差性（有效性）最小方差估计量：指该估计量的方67——（β0，β1，……，βk）估计量的方差－协方差矩阵.——（β0，β1，……，βk）估计量的方差－协方差矩阵.68另：另：69记：

这里，(Cij)是一个（k＋1）阶矩阵，而Cij表示位于矩阵C＝(X’X)-1的第i+1行,第j+1列处的元素，例如，C11表示矩阵内第2行、第2列的元素。因此：其中，i,j=0,1,2,…,k记：这里，(Cij)是一个（k＋1）阶矩阵，而Cij表70四、高斯－马尔可夫（Gauss-Markov）定理

如果基本假定1－5成立，则最小二乘估计量是β的最优线性无偏估计量（BestLinearUnbiasedEstimate,简记BLUE）。

由于在β的最小二乘估计量的方差（）中，σ2是未知的，因此可以用σ2无偏估计量S2来代替，这样，有：四、高斯－马尔可夫（Gauss-Markov）定理71§4可决系数总离差平方和的分解多元样本可决系数（R2）调整的样本可决系数§4可决系数总离差平方和的分解72一、总离差平方和的分解

对于多元线性回归模型的情形，一元线性回归模型的总离差平方和的分解公式依然成立。即：SST=SSR+SSE

其中：

——总离差平方和

——残差平方和

——回归平方和即：证明：一、总离差平方和的分解对于多元线性回归模型的73二、多元样本可决系数与一元线性回归模型相同：

R2＝＝

＝＝

样本可决系数是对样本观测值拟合优度的检验，其取值区间为[0,1],R2的值越趋近于1，被解释变量由解释变量的解释部分越多。表明估计的样本回归方程对样本观测值的拟合程度越好。二、多元样本可决系数与一元线性回归模型相同：样本74三、调整的样本可决系数

R2的一个重要性质是：随着样本解释变量个数的增加，R2的值越来越高，（即R2是解释变量个数的增函数）。也就是说，在样本容量不变的情况，在模型中增加新的解释变量不会改变总离差平方和（SST），但可能增加回归平方和（SSE），减少残差平方和（SSR）,从而可能改变模型的解释功能。其中：——随机误差项u的样本方差Su——被解释变量的Y的样本方差这样，容易形成一种误解，即要想得到较好的拟合程度，只要增加解释变量即可，因此，R2并不能真实反映回归模型对观测数据的拟合程度。

据此得到调整的R2：三、调整的样本可决系数R2的一个重要性质75样本可决系数与调整的样本可决系数之间的关系样本容量（T）一定时，调整的R2具有如下性质：1、若k≥1，则2、调整的R2可能出现负值。在这种情况下，我们取其值为0。注：在实际应用中，不能仅仅根据R2的大小来选择模型。样本可决系数与调整的样本可决系数之间的关系样本容量（T）一定76§5显著性检验与区间估计回归方程的限制条件检验——F检验（若干回归系数为0、Chow检验、回归系数线性约束的检验）回归方程的显著性检验（F检验）回归系数的显著性检验（t检验）回归系数的置信区间§5显著性检验与区间估计回归方程的限制条件检验——F检验77一、回归方程的约束条件检验（F检验）含义：是指在一定的显著性水平下，对总体参数之间是否满足一定的约束条件进行检验，例如若干回归系数为0的检验，不同样本回归系数是否相等的检验，回归系数线性约束的检验等。给定总体回归模型：y

=0+1x1+2x2+…+kxk

+u

①提出假设：H0:参数满足某个约束条件

H1:参数不满足该约束条件②估计两个回归模型，首先，对不加约束条件(unrestricted)的回归模型进行估计，得到无约束的残差平方和SSRu；然后，对施加了约束的模型进行估计，得到有约束（restricted）的残差平方和SSRr。在此基础上，计算F统计量：

其中，q表示模型中约束条件的个数。一、回归方程的约束条件检验（F检验）含义：是指在一定的显著性78③给定显著性水平α，查找临界值进行判断：若：F<Fα,不能拒绝原假设H0，认为约束条件成立。

F>Fα,拒绝原假设H0，认为约束条件不成立。<注>：不同的约束条件，其有约束模型与无约束模型的形式是不同的，在检验时一定要合理的设定模型形式。（1）关于若干个回归系数是否为0的检验H0:β1=β2=…=βq=0

（共有k≥q）H1:至少有一个βj(j=1,2,…,q)不等于0无约束回归模型：有约束回归模型：③给定显著性水平α，查找临界值进行判断：<注>：不同的约束79（2）利用不同样本得到的回归系数是否相同（chow检验）H0:α0=β0

α1=β1…αk=βkH1:至少有一个组αj≠βj(j=1,2,…,k)根据第一个样本（容量为T1）估计下面的回归模型，得残差平方和SSR1:根据第二个样本（容量为T2）估计下面的回归模型，得残差平方和SSR2:根据全部样本（容量为T1＋T2）估计下面的回归模型，得残差平方和SSR合：（2）利用不同样本得到的回归系数是否相同（chow检验）80附：F分布F分布：如果X和Z是相互独立的，分别服从分布自由度为n1、n2的χ2分布那么：

根据F分布的含义，我们可以推导出：其中：F分布可用于检验两个方差是否相等：

(1)H0:H1:(2)假设接受H0，计算F统计量得：

(3)给定显著性水平α，比较临界值，进行判断：

F<Fα,不能拒绝原假设H0，认为X、Z来自方差相同的总体；

F>Fα,拒绝原假设H0，认为X、Z来自方差不同的总体。附：F分布F分布：如果X和Z是相互独立的，分别服从分布自由度81二、回归方程的显著性检验（F检验）含义：是指在一定的显著性水平下，从总体上对模型中解释变量与被解释变量之间的线性关系是否显著成立进行的一种统计检验。给定总体回归模型：

y

=0+1x1+2x2+…+kxk

+u

(1)提出假设：H0:β1=β2=…=βk=0H1:至少有一个βj(j=1,2,…,k)不等于0(2)在H0成立的条件下，计算F统计量：

～Fα(k.T-k-1)

(3)给定显著性水平α，查找临界值进行判断：若：F<Fα,不能拒绝原假设H0,认为总体回归方程之