八年级数学竞赛讲座：第三十五讲 应用题

第三十五讲 应用在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧．生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点．增强对数学的理解和应用数学的信心．将其转化为数学模型．其求解程序如下：表模型等．例题求解一、用数式模型解决应用题因而成为描述和表达数学问题的重要方法．【例1】(2003年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：景点 A B C D E第1页（共11页）原价（元） 10 10 15 20 25现价（元） 5 5 15 25 30平均日人数（千人） 1 1 2 3 25另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4客是怎样计算的？思路点拨（1）风景区是这样计算的：调整前的平均价格：101015202516元，设整后的平均价格：5515253016元5 5∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变．∴平均日总收入持平．（2）游客是这样计算的：原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）∴平均日总收入增加了1751609.4%160二、用方程模型解应用题和相等关系的角度去认识和理解现实世界．4844内可以通过560内可以通过800检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：在紧急情况下全大5min4454思路点拨列方程(组)的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数．第2页（共11页）(1)设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，由题意得：2(x2y)560,解得：x1204(xy)800

y80 (24×8×45=1440拥挤时5min4道门能通过．5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),1600>14404三、用不等式模型解应用题某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识．3m／s天，其中日平均风速不小于6s的时间占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色资源A、B日平均风速v(米/秒)

v<3

3≤v<6

v≥6日发电量(千瓦·时)

AB

O ≥36O ≥24

≥150≥90根据上面的数据回答：xAA瓦·时；AO.3BO.210台，希望购机的费用不超过2.6102000千瓦·你提供符合条件的购机方案．根据上面的数据回答：思路点拨(1)(100×36+60×150)x=12600x；设购A型发电机x台，则购B(10—x解法一根据题意得： 0.3xx)2.6126007800(10x)102000解得5≤x≤6．故可购A5B5台；或购A6B4四、用函数知识解决的应用题第3页（共11页）供的基本模型和初始条件去确定函数关系式．【例4】(扬州)杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点．对经营的某种晚报，杨嫂提供丁如下信息：①买进每份0.20元，卖出每份0.30元；②一个月内(以30天计)，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同．当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社；填表：一个月内每天买进该种晚报的份数当月利润(单位：元)

100 150设每天从报社买进该种晚报x120≤x≤200时，月利润为y元，试求出yx并求月利润的最大值．思路点拨(1)填表：一个月内每天买进该种晚报的份数100150当月利润(单位：元)300390(2)由题意可知，一个月内的20天可获利润：20×=2x(元)；其余10天可获利润：10=240—x(元)；故y=x+240，(120≤x≤200)，当x=200时，月利润y的最大值为440元．注根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题．【例5】(桂林市)某公司需在一月(31天)内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．如果请甲工程队施工20001400．请乙队单独完成此项工程；C．思路点拨这是一道策略优选问题．工程问题中：工作量=工作效率×工时．(1)设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得：第4页（共11页）1 1 1xx1012,x=30合题意，所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天．各种方案所需的费用分别为：A．2000×20=40000B．请乙队需1400×30=4200元；C．请甲、乙两队合作需(2000+1400)×12=40800元．所队单独请甲队完成此项工程花钱最少．【例】(217km25km的速度返回，在出发后的第6024km思路点拨挖掘题目中隐藏条件是关键!设考察队到生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则x+y+z=60，17x－25y=－1，即25y－17x=1．①这里x、y是正整数，现设法求出①的一组合题意的解，然后计算出z的值．(x，y)，(这里xy0 0 0 025=l×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3×17-2×25．与①的左端比较可知，x=－3，y=－2．0 0下面再求出①的合题意的解．由不定方程的知识可知，①的一切整数解可表示为x=－3+25t，y=－2+17t，∴x+y=42t－5，t为整数．按题意0<x+y<60，故仅当t=1时才合题意，这时x+y=42—5=37，∴z=60—(x+y)=23．答：考察队在生态区考察的天数是23天．注本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法．【例7】(江苏省第17届初中竞赛题)华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：(1)若一次购物少于200元，则不予优惠；200500500500500小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多第5页（共11页）的物品，他需付款多少?思路点拨应付198元购物款讨论：第一次付款198元，可是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款．故应分两种情况加以讨论．情形1当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元．又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱；104÷0.8=130(元)．因此，554130+500=630198+630=828品，小亮一次性购买应付500×0.9+(82500×0.8=712.（元．情形2当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198÷0.9=220．仿情形1220+630=850500×0.9+(850－500)×0.8=730综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元8】(200221800005315000061600004 7思路点拨设甲、乙、丙单独承包各需xy、z115x

12 x41 1 4 则 ，解得y6则y z 15 z10117 z x 20再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，12(uv)1800005 u45500则15( )150000，解得 295004 v w v207(wu)

w10500于是，由甲队单独承包，费用是45500×4=182000(元)．由乙队单独承包，费用是29500×6=177000(元)．而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少．学历训练（A）第6页（共11页）1．(河南)在防治“240箱过氧乙酸消毒液的任601562．(ft东省竞赛题)某市为鼓励节约用水，对自来水妁收费标准作如下规定：每月每户用水中不超过0.4510t20t0.820t1.507.103.753．(江苏省竞赛题)甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题．试问：难题多还是容易题多?多的比少的多几道题?某人从A地到B101.281.4（B级）1．(全国初中数学竞赛题)江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如416min10min么至少需要抽水机台．2．(希望杯)有一批影碟机(VCD)原售价：800元／台．甲商场用如下办法促销：购买台数每台价格

1~5760

6~10720

11~15台 16~20台20台以上680元 640元 600元1~89~1617~2424（1）请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表；(2)现在有A、、C10VCD，B16VCD，C20VCD，3．(3.501251502024．从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)，如果男孩和女孩都做匀速运动且男孩每分钟走动的级数2718踏—级)．问：

第7页（共11页）如果扶梯附近有一从二楼到一楼的楼梯，楼梯