天线原理 第五章 互阻抗课件

第五章阻抗与互阻抗

本章的主要目的是要求天线的输入阻抗，它是天线的重要参数之一。因为知道天线的输入阻抗之后，就可以选择合适的馈电传输线与之匹配。

要严格计算天线的输入阻抗是困难的，工程上常采用一些近似方法。主要有三种方法，即■坡印亭矢量法；

坡印亭矢量法是先求得天线的辐射功率Pr，然后由Rr=2Pr/I2m求得其辐射电阻。这个方法前面已经作了介绍。这里主要讨论感应电动势法。■等值传输线法;■感应电动势法。5.1等值传输线法

坡印亭矢量法是由远区辐射场求得表示功率密度的坡印亭矢量，然后在以天线中点为圆心，以远区距离为半径的一个球面上积分求得辐射功率，最后求得辐射电阻。该方法的缺点是：(1)只能计算天线的输入电阻，不能计算输入电抗。(2)由于假定天线上电流为正弦分布，使得天线输入端为波节点时(如全波振子)，不能求出输入电阻。

等值传输线法可以计算天线输入阻抗(包括虚、实部)。该方法所得公式简便，便于工程应用。

对称振子是由一段开路的双线传输线张开而成，把它等效为传输线是很自然的，于是可用传输线理论来计算它的输入阻抗。(5.3b)(5.4)(5.5)Z0为传输线无耗时的特性阻抗(5.7)若已知Z0、R1和C1，由式(5.1)就可确定一段长为l的有耗开路传输线的输入阻抗。显然这还不能用于对称振子天线，因为双线传输线与对称天线存在如下显著的差别：返回(1)传输线是非辐射系统，线上损耗为导体的欧姆损耗。而对称振子天线是辐射系统，电流从输入端到末端，其间的每一点都将产生能量的辐射，可用单位长度上的能量损耗来表示传输线的分布电阻R1。(2)双线传输线的两线距离恒定，分布参数是均匀的。而对称振子天线的两臂上对称点之间的距离是变化的，见前面图(b)，分布参数是非均匀的。

但是，对称振子天线的输入阻抗仍然可用式(5.1)表示，但必须修改参数Zc、α

和β。1、修改特性阻抗Zc

在D>>ρ的情况下，无耗双线传输线的特性阻抗为(5.7)链接式中D为两线间距，ρ为导线截面直径，见下图。而对称振子两臂上的两个对称点之间的距离为D=2z，其特性阻抗在0<z<l内是变化的。可用如下方法求对称振子的平均特性阻抗(5.8)由此式可见，对称振子的臂长l愈小,或导线截面直径ρ愈大,则Z'0就小。把式(5.5)中的Z0用Z'0替代,得(5.9)链接2、修改衰减常数α

在不计G1的情况下，传输线的衰减常数α是由传输线上单位长度的导体热损耗电阻R1产生的。对于对称振子天线来说，不计导体热损耗，R1由单位长度的辐射电阻R'1取代，并假设R'1沿天线是均匀的。这际上就是确定

设天线上电流分布为I(z)，线元dz的辐射功率为(5.10)辐射总功率为(5.11)由有(5.12)■对称振子有一定直径，其馈电端和末端分布电容增大，末端电流实际不为零，振子愈粗，末端效应愈显著，这也将影响相位常数。

一般情况下，可由β'取代β。由于影响相位常数改变的因素不止一个，要确定是较困难的。书上P33图5-8给出了天线上电流传播的相位常数与自由空间相位常数的比值ξ=β'/β随l/λ变化的曲线，参变量为d/λ，d为导线直径。在大多数情况下β'与β接近，所以工程上一般取β'＝β。4、对称振子的输入阻抗Zin

由式(5.1)的输入阻抗公式及，并把虚、实部分开，得由式(5.16)计算的对称振子输入电阻和电抗随l/λ变化的曲线如下图所示，图中参变量为振子的平均特性阻抗Z'0

。由此图可总结出对称振子天线输入阻抗的如下特点：返回返回1(6)对称振子谐振长度的缩短现象①以上计算是取β'=β,但由于电流波沿振子边传输边辐射有衰减,使得相位常数变大β'>β,波长缩短λ'<λ

。

对称振子的谐振长度是其输入阻抗的虚部为零时的长度。由前面图可见，Xin=0对应的电长度略小于0.25和略小于0.5。这一现象称之为缩短效应。振子天线愈粗，缩短愈多。所以，实际使用的半波振子全长是小于半个波长的。产生缩短的原因大致有两点：②振子天线的“末端效应”。振子导体有一定直径，使振子馈电端和两个末端的分布电容增大,馈电端的效应使得附加电容与天线输入阻抗一起并联在馈电传输线上，引起误差；两个末端的效应使得末端电流不为零，这将使振子的等效长度增大，造成谐振长度缩短。链接

半波和全波振子的输入阻抗都是纯电阻，易于和馈线匹配。但是与全波振子相比，在半波振子长度附近其阻抗曲线要平缓的多，工作频带要宽的多。因此，在工程中大多采用半波振子。

显然，振子愈粗，缩短效应愈明显。因此，设计半波振子天线时要考虑缩短效应。5.2感应电动势法

坡印亭矢量法是在以天线中心为球心，远区距离r为半径的一个球面上对坡印亭矢量(功率密度)积分求出辐射功率，然后求得天线的辐射电阻。坡印亭矢量法只涉及远场的实功率，不涉及近场的储能虚功率，因此它只能求电阻，不能求电抗。

天线的辐射功率包括实功率和虚功率两部分:■实功率是向空间辐射的有功功率，为坡印亭矢量法计算的部分，可由远场来计算；■虚功率是存储于天线附近的无功功率，必须由近场来计算，这恰恰是计算天线输入电抗的部分。2.2.1单根圆柱对称振子的辐射阻抗

1.圆柱对称振子的近区场

圆柱对称振子如下图所示,并建立坐标系。对问题的分析采用圆柱坐标,设近区场点P的坐标为(ρ,φ,z),它与天线轴线上的中心点和上下端点的距离分别为(5.19)式中，l为振子臂长。在求解问题之前我们作如下两点假设：返回①振子上电流为正弦分布，振子截面半径a很小(a<<l)，电流在圆柱表面是均匀的，因此可看作电流集中在振子轴线上，其表示为：②馈电间隙δ很小(δ<<l)，其影响可忽略。

由振子上的电流分布可求得矢量磁位为(5.21)(5.20)可得(5.23)并利用关系(5.22)2.感应电动势法求辐射阻抗

假如我们把坡印亭矢量法中的大球面缩小，直到缩小到天线的圆柱表面，通过这一封闭柱面的总功率表示为(5.26)式中，s为圆柱表面，，为圆柱表面的外法线单位矢量，ds为积分面元。从形式上看，式(5.26)与坡印亭矢量法求辐射功率的表示相同，但其中的电磁场已经不同。坡印亭矢量法中所用的电磁场是远区场，这里的积分面在天线表面，式中的电磁场必须是近场。

式(5.26)中的电磁场矢量分别为和,则(5.27)返回

当振子半径很小时，封闭柱面的上下底面的积分可忽略不计，只考虑圆柱侧面的积分。此时把式(5.27)代入(5.26),并注意到近场各分量与坐标φ无关,得(5.28)由安培环路定律，则得(5.29)式中，[-Ez(a,z)dz]表示振子dz小段上驱动电流流动的感应电动势，故此法称之为“感应电动势法”。链接a为振子截面半径,β=2π/λ,η0=120π.经一系列运算后,上式的实部电阻和虚部电抗可用正、余弦积分表示如下(5.33)(5.34)

式(5.33)表示的辐射电阻与坡印亭矢量法所得结果完全相同，因为在无耗空间中，通过包围辐射源的任意封闭面的实功率是一样的。

由式(5.33)和(5.34)可计算并并绘出辐射电阻和电抗随l/λ变化的曲线如下图所示。

当电流采用近似的正弦分布时，所得辐射电阻与振子的截面半径无关，但辐射电抗的值却随振子截面半径的增大而减小。因此宽频带天线往往采用粗振子，粗振子天线有较小的电抗。

对常用的半波振子辐射阻抗为(5.35)5.3二元耦合对称振子的互阻抗

相距较近的天线之间将发生很强的电磁耦合，它们周围空间的电磁场要发生变化，每个天线上的电流、辐射功率和输入功率也将改变。因此，与电流、功率相联系的辐射阻抗和输入阻抗也将发生变化。1.二元耦合振子天线的阻抗方程

任意排列的对称振子二元阵如下图所示。当振子1单独存在时，它在电源的激励下产生电流I1，并建立满足本身边界条件的电磁场，设其表面的切向电场为Ez11。然后在振子1的附近放置振子2，此时振子2上的电流将在振子1的表面产生切向电场Ez12(称为感应电场)。此时振子1表面上的总切向电场为(5.37)

在振子2影响下，振子1的总辐射功率为返回(5.38)式中，(5.39)(5.40)■P11是振子1单独存在时的辐射功率,称为自辐射功率；■P12是由振子2的影响,在振子1上的感应电动势[-Ez12dz1]产生的功率，称为感应辐射功率。

同理，可得在振子1影响下振子2的总辐射功率为返回则(5.45)式中，为振子1的总辐射阻抗；(5.46a)为振子2的总辐射阻抗；(5.46b)为振子1单独存在时的自阻抗；(5.46c)为振子2对振子1影响的感应互阻抗；(5.46d)为振子2单独存在时的自阻抗；(5.46e)为振子1对振子2影响的感应互阻抗；(5.46f)返回根据互易原理(5.47)如果振子1和振子2的几何尺寸相同，则

对式(5.45)的第一和第二式两边分别乘以I1m和I2m，并记，U1=I1mZr1，U2=I2mZr2

，则得等效阻抗方程：(5.48)由此关系可以得到二元耦合振子天线的等效电路，如下图所示。

对于二元耦合振子，振子的自阻抗前面式(5.32)已经求得，根据互易原理，我们只需计算互阻抗Z12即可。链接由和得(5.49)

要计算任意排列的二元耦合对称振子之间的互耦电场Ez21是较复杂的。然而，在实际应用时对称振子组成的阵列中，各振子均是平行排列的，且几何尺寸相同(即l1=l2=l)。这种情况下的计算是较容易的。1.平行等长对称振子二元阵的互阻抗

平行二元耦合对称振子的互阻抗可由式(5.49)计算，此式中的互耦电场是振子2在振子1的表面产生的切向电场，它可由前面式(5.25)计算，即返回(5.50)在如图z´坐标系下，式中振子1上电流分布为(5.51)把式(5.50)和(5.51)代入(5.49)得链接或(5.52)(5.53)(5.54)式中，(5.55a)(5.55b)(5.55c)(5.55d)(5.55e)(5.55f)(5.55g)

由式(5.53)、(5.54)和(5.55)可计算平行排列的等长二元耦合对称振子之间的互阻抗，并可得到半波对称振子互阻抗表。

对两种特殊排列形式，即共轴排列和并排平行排列，绘出了互阻抗Z12随间距的变化曲线，如下图所示。

两个耦合振子之间的互耦强弱，主要反映在互阻抗值上。由上面两图可见：①互阻抗值随间距的变化呈波动变化，而且间距愈大，互阻抗值逐渐变小，呈“震荡衰减状”，这说明两振子之间的互耦随间距增大而减小；②并排平行排列的两个振子之间的互阻抗的变化幅度比共轴排列的要大些，说明前者的互耦要强些。③互阻抗的实部R12有正有负，它表示另一根振子在这根振子上附加的感应电动势源而产生的；而自辐射阻抗的实部为大于零的正数，它表示振子单独存在时全部辐射的有功功率均由它吸收。【例2.1】如图为两种情况的半波振子二元阵，查表计算各振子的辐射阻抗Zr1和Zr2。解：已知半波振子的自阻抗为■图(a)：返回

表中无d/λ=0.25对应的Z12值，可查得前后两个值取平均。得■图(b)：查表得链接则5.4无源振子

前面讨论的二元耦合振子，是每个单元都加激励的情况，输入端电压分别为U1和U2。若两个耦合振子中有一个不加激励，这个不加激励的振子就称作无源振子，或寄生振子。无源振子广泛应用于短波和超短波波段中。例如，八木天线，就是由一个无源反射器，一个激励振子和多个无源引向器振子组成的。

要计算由一个激励振子和一个无源振子组成的二元阵的方向图、辐射阻抗等参量，首先要确定无源振子上的电流分布及其与激励振子上电流分布之间的关系。

如果能调节无源振子上的电流幅度和相位，就能得到二元阵所需要的方向图。无源振子上的电流幅度和相位的调节，大致可用如下两种方法：■改变无源振子的长度，及两振子间距，以改变其自阻抗和互阻抗；■在无源振子上接入可变电抗，如一段短路传输线，调节短路点位置，可改变接入电抗的大小和相位。

含无源振子的二元阵如图所示。有两种情况，即无源振子接入电抗XL和无源振子短路。1.无源振子和激励振子上的电流比

由二元耦合振子的阻抗方程式(5.48)，即振子2是无源的，U2=0。该阻抗方程中的阻抗Zij是归为波腹电流Im的辐射阻抗。如果要改为归为输入电流Iin的输入阻抗，则改阻抗方程可写作(5.56)式中，(5.57)

若U1和XL已知，归算于波腹电流的各阻抗也可算得，此式可解出振子1和2上的输入电流Ikin。假设振子上的电流为正弦分布(5.58)则(5.59)这样，就可采用前面的方法求得二元阵的辐射方向图。为简单起见,这里只求无源振子和激励振子上的电流比。由式(5.56)的第二式可得(5.60)式中用了关系Z21in=Z12in。令，得(5.61)(5.62)

由式(5.56)可得振子1的输入阻抗为(5.63)如果振子1为半波振子，则输入电流就是波腹电流。

若将无源振子的可调电抗短路XL=0，则(5.64)(5.65)2.含无源振子的二元阵方向图

含无源振子的二元阵的阻抗方程为

要调整二元阵的方向图,可以采用改变无源振子长度、两振子间距和可调电抗的办法来实现。

书上P126图4-10给出了二元阵的H面方向图随无源振子的阻抗相角及间距d的变化。

两个振子的电流幅度比m和相位差α，取决于无源振子的自阻抗、互阻抗,以及接入无源振子的可调电抗XL。改变m和α，都会引起二元阵方向图的变化。若L1=L2:其中3.无源振子可作引向器和反射器

调节无源振子的长度及两振子间距及可变电抗，可改变m和α。■若使0<α<π，则二元阵的方向图最大值指向激励振子方向，无源振子就为反射器；■若使π<α<2π，则二元阵方向图最大值指向无源振子方向，无源振子就为引向器。

若不计可变电抗，这时的电流幅度比m和相位差α见式(5.68)和(5.69)，则①当无源振子臂长2l2>λ/2时：X22>0，tan-1(X22/R22)>0，若间距d=(0.15~0.4)λ,有X12<0,R12>0，tan-1(X12/R12)<0，则0<α<π，即无源振子上的电流相位超前于激励振子的电流相位，此时无源振子起反射器作用。②当无源振子臂长2l2<λ/2时：X22<0，tan-1(X22/R22)<0，若间距d=(0.15~0.4)λ,使tan-1(X12/R12)-tan-1(X22/R22)>0，则π<α<2π，即无源振子上的电流相位滞后于激励振子的电流相位，此时无源振子起引向器作用。

总之，在间距d=(0.15~0.4)λ内，无源振子作为反射器时的长度，应略大于串联谐振长度，作为引向器时的长度，应略小于串联谐振长度。实际中应综合调整间距和振子长度,以便使无源振子具有良好的反射或引向作用。

从含无源振子的二元阵可以引伸出方向性较强的含多个无源振子组成的端射直线阵天线。例如八木天线。5.5对称振子阵的阻抗

1.阵列中各振子的辐射阻抗

设天线阵有n个单元，二元阵的耦合振子阻抗方程式(5.48)可推广到n元阵。即：(5.66)可写成矩阵形式(5.67)即(5.68)返回

方阵中的各元素为Zij，i,j=1,2,…,n。当j=i时,Zii表示第i个振子的自阻抗，当j≠i时,Zij表示第j个振子对第i个振子的互阻抗。

由式(5.66)等号两边同除以Imi可得阵列中各振子的辐射阻抗(5.69)式中,称为第j个振子对第i个振子的感应辐射阻抗。当Imj=Imi时，感应辐射阻抗就等于互阻抗。

对于电流等幅同相且单元几何尺寸相同的天线阵，式(5.69)可简化为链接(5.70)

上面各式中的辐射阻抗、自阻抗和互阻抗均是归算于波腹电流的。2.天线阵的总辐射阻抗

天线阵的总辐射功率PΣ,等于各单元辐射功率的总和，即(5.71)于是，归算于第k个振子波腹电流的总辐射阻抗为(5.72)

若是由半波振子组成的阵列，且电流等幅同相，则有(5.73)即等幅同相的半波振子阵列的总辐射阻抗为各单元辐射阻抗之和。

3.天线阵的方向性系数

由阵列总辐射阻抗取其实部，可得阵列天线的总辐射电阻RΣ=Re(ZΣ),若求得阵列的方向图函数fT(θ,φ)及最大指向(θm,φm),对称振子阵列的方向性系数可由下式计算(5.74)【例2.2】对如图所示的全波振子，要求(1)导出其方向图函数；(2)计算总辐射阻抗；(3)计算方向性系数D。解：全波振子可以看作是一个共轴半波振子二元阵。且二元阵的垂直间距H=0.5λ，平行间距d=0。(1)方向图函数

式中，单元方向图函数:二元阵因子：则返回直接由对称振子方向图函数公式：取2l=λ，βl=π,也可得到同样结果。(2)总辐射阻抗ZΣ

单元1的辐射阻抗为：单元2的辐射阻抗为：因Z11=Z22,Z12=Z21,则Zr1=Zr2,因此只须求出Z11和Z12即可。半波振子自辐射阻抗：查表(H/λ=0.5,d/λ=0)得互阻抗：链接由式(5.73)得二元阵(即全波振子)的总辐射阻抗为(3)方向性系数D

总辐射电阻为：全波振子的最大辐射方向在其侧向θm=π/2，则fT(θm)=2，由下式得注：把全波振子拆分为两个半波振子组成的二元阵，就可以方便地利用书上的“半波振子的互阻抗表”及已知的半波振子辐射阻抗值，计算全波振子的Zr及D。【例2.3】对如图所示的等幅同相半波振子三元阵，要求(1)导出其方向图函数;(2)计算总辐射阻抗;(3)计算方向性系数D。解：(1)三元阵总场方向图函数

式中，单元方向图函数为三元阵因子为(2)总辐射阻抗ZΣ

返回单元1的辐射阻抗为：单元2的辐射阻抗为：单元2的辐射阻抗为：由于结构的对称性，则半波振子自辐射阻抗：互阻抗可查表求得：链接半波振子三元阵的总辐射阻抗为(3)方向性系数D

总辐射电阻为：三元阵的最大辐射方向在其侧向θm=π/2，φm=0，则f(θm

,φm)=3，得5.6理想导电平面上对称振子的辐射阻抗

前面我们讨论了地面对天线方向图的影响，这里讨论地面对天线阻抗的影响。天线方向图及阻抗的改变将直接影响到天线的方向性系数、增益等。地面对天线阻抗影响的分析这里采用镜像法。

近地天线常见的有三种情况，即近地水平天线、近地垂直天线和垂直接地天线，如下图所示。也可以是由它们组成的近地阵列天线。1、垂直接地天线

如上图(c)所示。垂直接地天线考虑镜像之后，其总场就是一个自由空间对称振子的贡献，但只有上半空间有辐射场。此时由坡印亭矢量法计算辐射电阻时，只需对上半空间积分，即(5.87)

可以证明：长为l的垂直接地天线的辐射电阻，是全长为2l的自由空间对称振子辐射电阻的一半。即(5.88a)

如用感应电动势法求其辐射阻抗，也可以证明：长为l的垂直接地天线的辐射阻抗，是全长为2l的自由空间对称振子辐射阻抗的一半。即(5.88b)自由空间半波振子的辐射阻抗为：则长为l=λ/4的垂直接地天线的辐射阻抗为：2、近地垂直和水平天线

若用等效传输线法求其输入阻抗，其平均特性阻抗应为(5.89)此时按感应电动势法直接计算的输入阻抗也为自由空间全长为2l的对称振子的输入阻抗的一半。垂直接地天线后面还将详细介绍。

设近地天线上的波腹电流为Im，自阻抗为Z11，镜像电流波腹值为I'm，镜像天线与原天线的互阻抗为Z'11，则近地天线的辐射阻抗为(5.90)(1)近地垂直天线

如图(b)所示。其镜像天线为正像，正像的波腹电流I'