函数的单调性与最值

关于函数的单调性与最值第一页，共三十一页，2022年，8月28日增函数减函数图象描述自左向右看图象自左向右看图象逐渐上升逐渐下降第二页，共三十一页，2022年，8月28日2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是

或

，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，

叫做y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D第三页，共三十一页，2022年，8月28日二、函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有

；②存在x0∈I，使得①对于任意x∈I，都有

；②存在x0∈I，使得结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M第四页，共三十一页，2022年，8月28日解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.[小题能否全取]1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 ()答案：D第五页，共三十一页，2022年，8月28日答案：D2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()第六页，共三十一页，2022年，8月28日2．已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数，则f(1)的值()A．恒为正数 B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)在R上递增．∴f(1)>f(0)＝0.答案：A第七页，共三十一页，2022年，8月28日答案：D第八页，共三十一页，2022年，8月28日4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________.解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1,4]8第九页，共三十一页，2022年，8月28日答案：>(－1,0)∪(0,1)第十页，共三十一页，2022年，8月28日第十一页，共三十一页，2022年，8月28日答案：B第十二页，共三十一页，2022年，8月28日1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．第十三页，共三十一页，2022年，8月28日2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意]单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．第十四页，共三十一页，2022年，8月28日第十五页，共三十一页，2022年，8月28日第十六页，共三十一页，2022年，8月28日第十七页，共三十一页，2022年，8月28日对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．第十八页，共三十一页，2022年，8月28日第十九页，共三十一页，2022年，8月28日2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是 ()A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2，＋∞)答案：A第二十页，共三十一页，2022年，8月28日[例3](1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)<f(m2)的实数m的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日[答案](1)(－∞，－2)∪(1，＋∞)(2)－6第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日教师备选题第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤(1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)．(3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日第二十八页，共三十一页，2022年，8月28日第二十九页，共三十一页，2022年，8月28日于是问题转化为求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1