高三数学复习资料-第九章 平面解析几何

第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程最新考纲：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．②倾斜角的范围为0°≤α<180°．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．问题探究1：直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？提示：由k＝tanθ及正切函数的性质，知在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内k>0，倾斜角越大，斜率越大；同样在θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))内k<0，也是倾斜角越大，斜率越大，这是由正切函数的单调性决定的．2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式eq\o(\s\up5(Ax＋By＋C＝0,（A2＋B2≠0）)平面直角坐标系内的直线都适用3.线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式．问题探究2：截距是距离吗？提示：不是．截距是实数，可正、可负，也可为0.截距有横、纵截距之分，分别为直线与x轴、y轴交点的横、纵坐标．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(4)不经过原点的直线都可以用eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．(2016·云南第一次检测)直线x＝eq\f(π,3)的倾斜角等于()A．0 B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D．π[解析]直线x＝eq\f(π,3)与x轴垂直，因此直线x＝eq\f(π,3)的倾斜角为eq\f(π,2).故选C.[答案]C3．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－eq\f(3,4)，则直线l的方程为()A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0[解析]由y－5＝－eq\f(3,4)(x＋2)，得：3x＋4y－14＝0，故选A.[答案]A4．过两点(－1，1)和(0，3)的直线在x轴上的截距为()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(3,2)C．3 D．－3[解析]过两点(－1，1)和(0，3)的直线方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－（－1）,0－（－1）)，即y＝2x＋3，令y＝0得x＝－eq\f(3,2)，即为所求．故选A.[答案]A5．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为________．[解析]设所求直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)＋\f(2,b)＝1，,\f(1,2)|a||b|＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0为所求．[答案]2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0考点一直线的倾斜角与斜率1．经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．直线的斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．3．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A、B、C三点共线．在应用点的坐标求直线的斜率时，应关注斜率不存在的情况．(1)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．(0，π)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))(2)直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．[解题指导]切入点：直线的倾斜角及斜率的概念；关键点：倾斜角的变化范围和斜率公式的应用．[解析](1)直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.当0≤k≤1时，倾斜角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，当－1≤k<0时，倾斜角的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).故选D.(2)如图，过A(2，1)，P(－1，0)的直线的斜率为k1＝eq\f(1－0,2－（－1）)＝eq\f(1,3)，过B(0，eq\r(3))，P(－1，0)的直线的斜率为k2＝eq\f(\r(3)－0,0－（－1）)＝eq\r(3).由图可知，过P的直线l与线段AB有公共点的斜率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))).[答案](1)D(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3)))(1)要注意斜率的两种求法：k＝tanθ＝eq\f(y1－y2,x1－x2)；(2)处理斜率范围和倾斜角范围时，由于涉及到正切函数的单调性，因此常常借助正切函数图象，将角分为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两部分分别对应斜率中的非负值和负值．[拓展探究](1)本例(1)改为：“若直线l的方程为xsinα－ycosα＋1＝0，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))”，则直线l的倾斜角为________．(2)本例(2)中的点P(－1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．[解析](1)直线l的斜率k＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))∴π＋α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故k＝tanα＝tan(π＋α)．∴直线l的倾斜角为π＋α.(2)直线PA的斜率为kPA＝eq\f(1－0,2－1)＝1，直线PB的斜率为kPB＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，故过P点的直线l与线段AB有交点的斜率的取值范围是(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．[答案](1)π＋α(2)(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)考点二直线的方程求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．在设所求直线的方程时，一是要结合给定条件选择适当的形式，二是注意所设方程的适用范围．(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－eq\f(1,4)的直线的方程为__________；(3)过点A(1，－1)与直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5的直线的方程为__________．[解题指导]切入点：直线方程的适当形式；关键点：直线方程适合的条件及特殊情况下的直线方程．[解析](1)解法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，∴l的方程为y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l过点(3，2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－eq\f(2,k)，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－eq\f(2,k)＝2－3k，解得k＝－1或k＝eq\f(2,3)，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝eq\f(2,3)(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×3＝－eq\f(3,4).又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B点坐标为(1，4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝k（x－1），))得两直线交点为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋7,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2).))(k≠－2，否则与已知直线平行)，则B点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).由已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)－1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))eq\s\up12(2)＝52，解得k＝－eq\f(3,4)，∴y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.[答案](1)x＋y－5＝0或2x－3y＝0(2)3x＋4y＋15＝0(3)x＝1或3x＋4y＋1＝0(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在；(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．对点训练1．过点A(－1，2)，并且其倾斜角的正切值是eq\f(1,2)的直线的方程为__________．[解析]设直线l的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(1,2)，即直线l的斜率为eq\f(1,2)，由点斜式得直线l的方程为y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0.[答案]x－2y＋5＝02．过点A(2，1)，其倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半的直线的方程为__________．[解析]设直线l和l1的倾斜角分别为α、β，则α＝eq\f(β,2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，又tanβ＝－eq\f(3,4)，则－eq\f(3,4)＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，解得tanα＝3或tanα＝－eq\f(1,3)(舍去)．由点斜式得y－1＝3(x－2)，即3x－y－5＝0.[答案]3x－y－5＝03．过点A(2，1)和直线x－2y－3＝0与2x－3y－2＝0的交点的直线的方程为__________．[解析]解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－3＝0，,2x－3y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－4.))即两条直线的交点为(－5，－4)．由两点式得直线l的方程为eq\f(y－1,－4－1)＝eq\f(x－2,－5－2)，即5x－7y－3＝0.[答案]5x－7y－3＝0考点三直线方程的综合应用1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．2．求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．3．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．[解题指导]切入点：直线的截距式方程；关键点：利用基本不等式求解．[解]设A(a，0)，B(0，b)，(a>0，b>0)，则直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵l过点P(3，2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1.∴1＝eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(6,ab))，即ab≥24.∴S△ABO＝eq\f(1,2)ab≥12，当且仅当eq\f(3,a)＝eq\f(2,b)，即a＝6，b＝4.△ABO的面积最小，最小值为12.此时直线l的方程为：eq\f(x,6)＋eq\f(y,4)＝1.即2x＋3y－12＝0.求直线方程最常用的方法是待定系数法．若题中直线过定点，一般设直线方程的点斜式，也可以设截距式．注意在利用基本不等式求最值时，斜率k的符号．对点训练过点P(2，1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程；(2)|PA|·|PB|最小时l的方程．[解]设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则l与x轴、y轴正半轴分别交于Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))、B(0，1－2k)．(1)S△AOB＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))(1－2k)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋（－4k）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)×(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)时取最小值，此时直线l的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)|PA|·|PB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))\s\up12(2)＋1)·eq\r(4＋4k2)＝eq\r(\f(4,k2)＋4k2＋8)≥4，当且仅当eq\f(4,k2)＝4k2，即k＝－1时取得最小值，此时直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.————————方法规律总结————————[方法技巧]1．过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割．[易错点睛]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．课时跟踪训练(四十三)一、选择题1．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4[解析]由eq\f(4－m,m＋2)＝1，∴4－m＝m＋2，∴m＝1.故选A.[答案]A2．若直线l的倾斜角为α，且0°≤α≤135°，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－1，0]B．(－1，0)C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[解析]由正切函数在[0，π)上的图象可知，直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．故选C.[答案]C3．给出下列说法：(1)经过点(1，0)的直线都可以表示为y＝k(x－1)；(2)经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的方程都可以表示为eq\f(y－y2,y1－y2)＝eq\f(x－x2,x1－x2)；(3)在坐标轴上截距相等的直线的斜率一定是－1；(4)直线方程的一般式可以表示平面上的任意直线．其中错误说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[解析]直线x＝1经过点(1，0)，但不可以表示为y＝k(x－1)，(1)错误；若过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线垂直于坐标轴，则直线方程不可以表示为eq\f(y－y2,y1－y2)＝eq\f(x－x2,x1－x2)，(2)错误；经过原点的所有直线在坐标轴上的截距都相等，但这样的直线的斜率不一定是－1，(3)错误；直线方程的一般式可以表示平面上的任意直线，(4)正确．所以错误的结论有3个．故选C.[答案]C4．过点A(0，2)且倾斜角的正弦值是eq\f(3,5)的直线方程为()A．3x－5y＋10＝0B．3x－4y＋8＝0C．3x＋4y＋10＝0D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0[解析]设所求直线的倾斜角为α，则sinα＝eq\f(3,5)，∴tanα＝±eq\f(3,4)，∴所求直线方程为y＝±eq\f(3,4)x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.故选D.[答案]D5．已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图中，正确的是()[解析]对于A，由直线l1可得到a>0，b>0，由直线l2可得到a<0，b<0，矛盾，排除A；对于B，由直线l1可得到a>0，b<0，由直线l2可得到a<0，b>0，矛盾，排除B；对于C，由直线l1可得到a<0，b>0，由直线l2可得到a<0，b<0，矛盾，排除C，故选D.[答案]D6．(2016·佛山质检)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1[解析]由题意得a＋2＝eq\f(a＋2,a)，解得a＝－2或a＝1.故选D.[答案]D7．(2015·长春三校调研)一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1 B．mn<0C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0[解析]因为y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)经过第一、三、四象限，故－eq\f(m,n)>0，eq\f(1,n)<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.故选B.[答案]B8．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则直线MN绕点M按逆时针旋转90°后所得的直线方程为()A．x＋y－1＝0 B．x－y－3＝0C．x－y＋3＝0 D．x＋y＋1＝0[解析]由1＝eq\f(4－m,m＋2)，得m＋2＝4－m，即m＝1.直线MN的斜率为1，则旋转后的斜率为k＝tan(90°＋45°)＝－1，又旋转后的直线过M(－2，1)，所以旋转后的直线方程为y－1＝－1·(x＋2)，即x＋y＋1＝0，故选D.[答案]D9．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是()A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4 B．－4≤k≤eq\f(3,4)C．k≥eq\f(3,4)或k≤－eq\f(1,4) D．－eq\f(3,4)≤k≤4[解析]如图所示，过点B(－3，－2)，P(1，1)的直线斜率为k1＝eq\f(1－（－2）,1－（－3）)＝eq\f(3,4).过点A(2，－3)，P(1，1)的直线斜率为k2＝eq\f(1－（－3）,1－2)＝－4.从图中可以看出，过点P(1，1)的直线与线段AB有公共点可看作直线绕点P(1，1)从PB旋转至PA的过程，∴k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))∪(－∞，－4]．故选A.[答案]A10．点P(x，y)在经过A(3，0)，B(1，1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值是()A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C．16 D．不存在[解析]由点A(3，0)，B(1，1)可得直线方程为x＋2y－3＝0，∴x＝3－2y.∵2x＋4y＝23－2y＋22y≥2eq\r(23－2y·22y)＝2eq\r(8)＝4eq\r(2)，当且仅当23－2y＝22y，即y＝eq\f(3,4)时，取“＝”号．∴2x＋4y的最小值为4eq\r(2).故选B.[答案]B二、填空题11．经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程是________．[解析]设直线在x轴上的截距为2a，则其在y轴上的截距为a，则直线经过点(2a，0)，(0，a)．当a＝0时，直线的斜率k＝－eq\f(2,5)，此时，直线方程为y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.当a≠0时，则eq\f(2－0,－5－2a)＝eq\f(a－0,0－2a)，得a＝－eq\f(1,2)，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线的方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.[答案]x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝012．过点(3，0)且倾斜角是直线x－2y－1＝0的倾斜角的两倍的直线方程为________．[解析]设直线x－2y－1＝0的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(1,2).∴所求直线的斜率k＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,3).故直线方程为y－0＝eq\f(4,3)(x－3)，即4x－3y－12＝0.[答案]4x－3y－12＝013．若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是________．[解析]数形结合．在同一坐标系内画出函数y＝kx，y＝|x－1|的图象如图所示，显然k≥1或k＝0时满足题意．[答案]k≥1或k＝0三、解答题14．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程；(2)BC边的中线所在直线的方程．[解](1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，所以这条直线的方程为eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x＋\f(1,2),\f(7,2)＋\f(1,2))，即6x－8y－13＝0.(2)因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为eq\f(y＋4,3＋4)＝eq\f(x－1,2－1)，即7x－y－11＝0.15．如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq\f(1,2)x上时，求直线AB的方程．[解]由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以射线OA的方程为y＝x(x≥0)，射线OB的方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x(x≥0)．设A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，由点C在y＝eq\f(1,2)x上，且A、P、B三点共线得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))．又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以直线AB的方程为y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直线AB的方程为(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.16．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．[解](1)证明：直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq\f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解之得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.(3)由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k)．依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.∵S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(（1＋2k）2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.第二节两直线的位置关系最新考纲：1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的解；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的交点，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有唯一解．3．距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)两平行线间的距离①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．4．对称问题(1)中心对称①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．(2)轴对称①点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1.))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．②直线关于直线的对称此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决．若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称直线．问题探究：使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：(1)直线方程必须化成一般式Ax＋By＋C＝0的形式．(2)两平行线间的距离公式使用时还要注意x、y的系数必须相同时才能读出C1、C2的值．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2016·大连测试)已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为()A．0 B．－8C．2 D．10[解析]由题意知eq\f(4－m,m－（－2）)＝－2，解得m＝－8.故选B.[答案]B3．a＝1是直线y＝ax＋1和直线y＝(a－2)x－1垂直的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]当a＝1时，y＝x＋1与y＝－x－1互相垂直，若两直线垂直，则a·(a－2)＝－1，即a2－2a＋1＝0，得a＝1，∴a＝1是两直线y＝ax＋1与y＝(a－2)x－1垂直的充要条件．故选C.[答案]C4．光线自点M(2，3)射到N(1，0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为()A．y＝3x－3 B．y＝－3x＋3C．y＝－3x－3 D．y＝3x＋3[解析]点M关于x轴的对称点M′(2，－3)，则反射光线即在直线NM′上，由eq\f(y－0,－3－0)＝eq\f(x－1,2－1)，∴y＝－3x＋3，故选B.[答案]B5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．[解析]先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋eq\f(1,2)＝0，则两平行线间的距离为d＝eq\f(|2－\f(1,2)|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).[答案]eq\f(3\r(2),4)考点一两直线的平行与垂直1．应注意两条直线的位置关系包括三种：平行、重合、相交．2．若用直线的斜率判定两条直线的平行、垂直等问题要注意其斜率不存在的情况．3．可利用直线的方向向量判定两直线的平行或垂直．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C0＝0(C0≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C0＝0.(1)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________．[解题指导]切入点：两条直线平行、垂直的充要条件；关键点：对特殊直线的重视，如重合、斜率不存在，斜率为零等．[解析](1)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)且－eq\f(1,a)≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．故选C.(2)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.[答案](1)C(2)－1掌握判断两直线平行、垂直的条件，当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．对点训练1．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0[解析]由题意知，直线l的斜率是－eq\f(3,2)，因此直线l的方程为y－2＝－eq\f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.故选A.[答案]A2．已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为________．[解析]a＝0时，x＋6＝0与x＝0平行；a＝3时，x＋9y＋6＝0与x＋9y＋6＝0重合；a＝－1时，x＋y＋6＝0与－3x－3y－2＝0平行．故a的值为0或－1.[答案]0或－1考点二距离问题1．求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式，由点到直线的距离公式求得．2．求两条平行线间的距离有两种思路，一是利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；二是直接利用两条平行线间的距离公式．利用两条平行线间距离公式时，必须将两直线方程化为系数相同的一般式后才能套用公式计算．(1)过点P(2，－1)且与原点距离为2的直线方程为__________．(2)若直线4x－3y＋5＝0与直线4x－ay－6＝0平行，则它们之间的距离为__________．[解题指导]切入点：距离公式；关键点：斜率不存在的直线．[解析](1)①当l的斜率k不存在时显然成立，∴l的方程为x＝2；②当l的斜率k存在时，设l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由点到直线距离公式得eq\f(|－2k－1|,\r(1＋k2))＝2，∴k＝eq\f(3,4)，∴l：3x－4y－10＝0.故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)由两直线平行得a＝3，由两平行直线间距离公式，得d＝eq\f(|5－（－6）|,\r(42＋（－3）2))＝eq\f(11,5).[答案](1)x＝2或3x－4y－10＝0(2)eq\f(11,5)用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．[拓展探究](1)本例(1)改为“已知直线l过点P(3，－4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．”(2)本例(2)中的直线4x－ay－6＝0改为直线8x－ay－6＝0，其他条件不变，结果如何？[解析](1)显然直线l斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或k＝－eq\f(2,3).∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.(2)∵直线4x－3y＋5＝0与直线8x－ay－6＝0平行，∴eq\f(4,8)＝eq\f(－3,－a)，得a＝6.故直线8x－6y－6＝0方程化为4x－3y－3＝0.∴两平行直线间的距离d＝eq\f(|5－（－3）|,\r(42＋（－3）2))＝eq\f(8,5).[答案](1)2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0(2)eq\f(8,5)考点三对称问题在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解．处理线关于线的对称可以转化为点关于直线的对称问题来解决．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理．证明曲线的对称问题常转化为点的对称问题．(1)直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线方程为()A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线的方程为________．[解题指导]切入点：点线的对称问题；关键点：中点坐标公式及直线垂直的应用．[解析](1)在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于点A对称的点P′(x′，y′)必在直线l上．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＋x＝2，,y′＋y＝2，))得P′(2－x，2－y)，所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3x－12＝0.故选B.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设m与l的交点为N，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)．又∵m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.[答案](1)B(2)9x－46y＋102＝0解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．对点训练1．(2016·黑龙江调研)与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为()A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x－2y＋1＝0[解析]设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A′(x，－y)在直线2x－y＋1＝0上，所以2x＋y＋1＝0，此方程为所求方程，故选A.[答案]A2．(2015·成都模拟)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,2x－y－2＝0，))得交点(1，0)，由eq\f(|1－2|,|1＋2|)＝eq\f(|1－k|,|1＋k|)得k＝eq\f(1,2)(k＝2舍去)，故直线l2方程为y＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0，故选B.[答案]B3．一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在直线方程为__________．[解析]取直线2x－y＋2＝0上一点(0，2)，设点(0，2)关于直线x＋y－5＝0的对称点是B(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b＋2,2)－5＝0，,\f(b－2,a)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5，))所以B(3，5)．联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4.))所以直线2x－y＋2＝0与x＋y－5＝0的交点为P(1，4)．所以反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0.[答案]x－2y＋7＝0————————方法规律总结————————[方法技巧]1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．3．光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．[易错点睛]1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．2．使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时一定要注意先把两直线方程中的x，y的系数化成相等．课时跟踪训练(四十四)一、选择题1．(2016·重庆一中检测)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C.eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)[解析]由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝eq\f(3,4)，故选D.[答案]D2．(2015·江西期中联考)“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件[解析]当a＝3时两直线方程分别为3x＋2y＋6＝0，3x＋2y＋4＝0，显然两直线平行，所以充分性成立；若两直线平行，则a(a－1)－6＝0，解得a＝3或a＝－2，经检验都满足平行条件，必要性不满足，故选A.[答案]A3．若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则m的取值范围是()A．{m|m<2} B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(m>\f(3,2)))))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(m<－\f(3,2))))) D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<m<2))))[解析]解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2m＋1，,2x＋3y＝m，))得x＝eq\f(2m＋3,7)，y＝eq\f(3m－6,21)＝eq\f(m－2,7).∵其交点在第四象限，∴eq\f(2m＋3,7)>0，且eq\f(m－2,7)<0.解得－eq\f(3,2)<m<2.故选D.[答案]D4．(2015·湖北八市联考)已知M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－2)＝3))))，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝Ø，则a＝()A．－6或－2 B．－6C．2或－6 D．－2[解析]注意到可将式子eq\f(y－3,x－2)＝3变形为3x－y－3＝0，则M∩N＝Ø意味着直线3x－y－3＝0(去掉点(2，3))与直线ax＋2y＋a＝0无公共点．若两直线平行，则eq\f(3,a)＝eq\f(－1,2)≠eq\f(－3,a)，即a＝－6；若直线ax＋2y＋a＝0恰过点(2，3)，则a＝－2，故选A.[答案]A5．在直角坐标系中，过点P(－1，2)且与原点O距离最大的直线方程为()A．x－2y＋5＝0 B．2x＋y＋4＝0C．x－3y＋7＝0 D．3x－y－5＝0[解析]所求直线过点P且与OP垂直时满足条件，因为直线OP的斜率为kOP＝－2，故所求直线的斜率为eq\f(1,2)，所以所求直线方程为y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0，故选A.[答案]A6．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4 B．eq\f(2,13)eq\r(13)C.eq\f(5,26)eq\r(13) D．eq\f(7,20)eq\r(10)[解析]把3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，则两平行线间的距离为d＝eq\f(|1－（－6）|,\r(62＋22))＝eq\f(7,20)eq\r(10).故选D.[答案]D7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点()A．(0，4) B．(0，2)C．(－2，4) D．(4，－2)[解析]直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2)．故选B.[答案]B8．若△ABC的顶点A为(3，－1)，AB边上的中线所在的直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在的直线方程为x－4y＋10＝0，则BC边所在的直线方程为()A．9x＋2y－5＝0 B．2x－9y－5＝0C．2x－9y＋65＝0 D．2x＋9y－65＝0[解析]设B(4y1－10，y1)，由题意知，AB的中点在直线6x＋10y－59＝0上，则6×eq\f(4y1－7,2)＋10×eq\f(y1－1,2)－59＝0，解得y1＝5，所以B(10，5)．设点A关于直线x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x′＋3,2)－4×\f(y′－1,2)＋10＝0，,\f(y′＋1,x′－3)×\f(1,4)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝1,y′＝7))，所以A′(1，7)，则直线A′B(即BC)的方程为2x＋9y－65＝0，故选D.[答案]D9．(2015·杭州一模)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．2eq\r(3)[解析]因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0.欲求m2＋n2的最小值可先求eq\r(（m－0）2＋（n－0）2)的最小值，而eq\r(（m－0）2＋（n－0）2)表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2＋n2的最小值为4.故选C.[答案]C10．(2016·武汉调研)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()A．2 B．1C.eq\f(8,3) D．eq\f(4,3)[解析]分别以AB、AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，设AP＝x，从而P(x，0)，x∈(0，4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4，4－x)、P2(－x，0)与△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))共线，所以eq\f(\f(4,3),\f(4,3)＋x)＝eq\f(\f(4,3)－（4－x）,\f(4,3)－4)，求得x＝eq\f(4,3).故选D.[答案]D二、填空题11．直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为________．[解析]直线l1：eq\r(3)x－3y＋2eq\r(3)＝0，直线l2：eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0，联立方程组可求得x＝1，y＝eq\r(3).[答案](1，eq\r(3))12．(2015·温州十校联考)过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为__________．[解析]联立2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0，得交点P(1，－3)．设过点P且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0.把点P代入即可得m＝0.[答案]3x＋y＝013．(2015·江苏南通模拟)直线2x－y－4＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转eq\f(π,4)所得直线的方程是________．[解析]由已知得所求直线过点(0，－4)，且斜率k＝eq\f(2＋tan45°,1－2tan45°)＝－3，故所求直线的方程为y＋4＝－3x，即3x＋y＋4＝0.[答案]3x＋y＋4＝0三、解答题14．(2015·合肥一中月考)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq\f(4,b)＝b.故a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.15．过点P(1，2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝eq\r(2)，求直线l的方程．[解]设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,4x＋3y＋1＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,3k＋4)，\f(－5k＋8,3k＋4)))；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,4x＋3y＋6＝0，))解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－12,3k＋4)，\f(8－10k,3k＋4))).∵|AB|＝eq\r(2)，∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3k＋4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5k,3k＋4)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－eq\f(1,7).因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.16．(2015·太原期末联考)(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．[解](1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即eq\f(b－4,a)·3＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))，且在直线l上，∴3×eq\f(a,2)－eq\f(b＋4,2)－1＝0，即3a－b－6＝0.②①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．于是AB′的方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,2x＋y－9＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5，))即l与AB′的交点坐标为P(2，5)．(2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′交l于点Q，此时的Q满足|QA|＋|QC|的值最小．设C′的坐标为(x′，y′)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－4,x′－3)·3＝－1，,3·\f(x′＋3,2)－\f(y′＋4,2)－1＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(3,5)，,y′＝\f(24,5).))∴C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).由两点式得直线AC′的方程为eq\f(y－1,\f(24,5)－1)＝eq\f(x－4,\f(3,5)－4)，即19x＋17y－93＝0.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,7)，,y＝\f(26,7).))∴所求点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).第三节圆的方程最新考纲：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)限定条件标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆心：(a，b)，半径：rr>0一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)D2＋E2－4F>0问题探究：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？提示：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))2．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.()(5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．圆x2＋y2－2x＋2y＋1＝0的圆心到直线x－y＋1＝0的距离是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(3\r(2),2)[解析]配方得(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圆心(1，－1)到直线的距离d＝eq\f(|1＋1＋1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).故选D.[答案]D3．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．(－1，1) B．(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．a＝±1[解析]因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.故选A.[答案]A4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq\r(（0－1）2＋（b－2）2)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.答案：A5．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，则直角顶点C的轨迹方程为__________．解析：AB的中点D坐标为(1，0)，由直角三角形的性质可知，|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，所以C的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝4，即x2＋y2－2x－3＝0，其中x≠3且x≠－1.答案：x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)考点一求圆的方程1．应用待定系数法求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．2．在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．借助圆的性质结合待定系数法求圆的方程时，尽可能减少参数的个数，可使问题简化．(1)(2015·新课标全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8C．4eq\r(6) D．10(2)圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．[解题指导]切入点：待定系数法和几何法求圆的方程；关键点：依据条件选取适当的形式．[解析](1)由已知三点求出圆的方程，然后求出M，N的坐标，进而求出|MN|.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2eq\r(6)或y＝－2－2eq\r(6)，∴M(0，－2＋2eq\r(6))，N(0，－2－2eq\r(6))或M(0，－2－2eq\r(6))，N(0，－2＋2eq\r(6))，∴|MN|＝4eq\r(6)，故选C.(2)圆心是AB的垂直平分线和2x－y－7＝0的交点，则圆心为E(2，－3)，r＝|EA|＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，则圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2＝5.[答案](1)C(2)(x－2)2＋(y＋3)2＝5求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．对点训练1．(2015·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2[解析]因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.[答案]D2．(2016·长春实验测试)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．[解析]因为圆过原点，所以可设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.因为圆过点(4，0)，将点(4，0)代入圆的方程得D＝－4，即圆的方程为x2＋y2－4x＋Ey＝0.又圆与直线y＝1相切，将其代入圆的方程得x2＋1－4x＋E＝0，又方程只有一个解，所以Δ＝42－4(1＋E)＝0，解得E＝3.故所求圆的方程为x2＋y2－4x＋3y＝0，即(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).[答案](x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4)3．经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为__________．[解析]解法一：∵圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．线段AB的垂直平分线方程为y＝－eq\f(1,2)(x－4)．设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b－3＝0，,b＝－\f(1,2)（a－4），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴C(2，1)，r＝|CA|＝eq\r(（5－2）2＋（2－1）2)＝eq\r(10).∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\c