高三一轮数学（理）总复习-第4课时 随机事件的概率【系列四】

2017年高考“最后三十天”专题透析2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台——教育因你我而变好教育云平台——教育因你我而变第4课时随机事件的概率1．将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C表示向上的一面出现奇数点，则()A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥而非对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件答案A解析由题意知，事件A包含的基本事件为向上点数为1，2，3，事件B包含的基本事件为向上的点数为4，5，6.事件C包含的点数为1，3，5.A与B是对立事件，故选A.2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是()A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品答案A解析依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．3．(2018·广东茂名模拟)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,4)答案D解析符合条件的所有两位数为12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12个，能被4整除的数为12，32，52，共3个，故所求概率P＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案C解析从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P＝eq\f(2,3).5．从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37答案A解析取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为eq\f(53,100)＝0.53，故选A.6．(2016·天津改编)甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，则甲获胜的概率和甲不输的概率分别为()A.eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)，eq\f(1,2)答案C解析“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).设事件A为“甲不输”，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).(或设事件A为“甲不输”，则A可看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3))7．(2013·陕西文)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45答案D解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25，30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.8．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择的2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为()A.eq\f(14,15) B.eq\f(13,15)C.eq\f(2,9) D.eq\f(7,9)答案A解析方法一：从10部名著中选择2部名著的方法数为C102＝45，所选的2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C72＝21，只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C71×C31＝21，于是事件“所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著”的概率P＝eq\f(42,45)＝eq\f(14,15).故选A.方法二：从10部名著中选择2部名著的方法数为C102＝45，所选的2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C32＝3，由对立事件的概率计算公式得P＝1－eq\f(3,45)＝eq\f(14,15).故选A.9．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为()A.eq\f(19,36) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,9) D.eq\f(17,36)答案A解析若方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，当有序实数对(b，c)的取值为(6，6)，(6，5)，…，(6，1)，(5，6)，(5，5)，…，(5，1)，(4，4)，…，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)时方程有实根，共19种情况，而(b，c)等可能的取值共有36种情况，所以，方程有实根的概率为P＝eq\f(19,36).10．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．答案eq\f(1,12)解析本题基本事件共6×6个，点数和为4的有3个事件为(1，3)，(2，2)，(3，1)，故P＝eq\f(3,6×6)＝eq\f(1,12).11．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．答案0.9解析方法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D，而事件D包含事件A与B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.方法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为事件D，由题意知C与D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.12．(2018·江苏苏北四市调研)从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的和能被3整除的概率为________．答案eq\f(1,3)解析从六个数中一次随机地取两个数，有15种等可能的结果，而所取两个数的和能被3整除包含5种结果，即(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，∴所取两个数的和能被3整除的概率为eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额/元01000200030004000车辆数/辆500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．答案(1)0.27(2)0.24解析(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.14．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5分五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．设x，y分别表示英语成绩和数学成绩.y/分人数x分5432151310141075132109321b60a100113(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？答案(1)eq\f(7,25)，eq\f(7,50)，eq\f(7,10)(2)eq\f(1,5)，3解析(1)P(x＝4)＝eq\f(1＋0＋7＋5＋1,50)＝eq\f(7,25)；P(x＝4且y＝3)＝eq\f(7,50)，P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)＝eq\f(2＋1＋0＋9＋3,50)＋eq\f(7,25)＋eq\f(1＋3＋1＋0＋1,50)＝eq\f(7,10).(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)＝1－eq\f(1,10)－eq\f(7,10)＝eq\f(1,5).又∵P(x＝2)＝eq\f(1＋b＋6＋0＋a,50)＝eq\f(1,5)，∴a＋b＝3.15．(2018·辽宁六盘山高级中学一模)某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)写出a的值；(2)试估计该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．答案(1)0.03(2)870(3)0.7解析(1)由题意得a＝0.03.(2)∵初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.020＋0.005)×10＝0.25.∴所有初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.25×1800＝450人．同理，高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.03＋0.005)×10＝0.35，∴所有高中生中．阅读时间不少于30个小时的学生约有0.35×1200＝420人．∴该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数约有450＋420＝870.(3)由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A.初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3.高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×40＝2.记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2.则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能的情况有C52＝10种其中至少有一名高中生的情况有C52－C32＝7种∴所求概率为eq\f(7,10)＝0.7.16．(2018·四川成都一诊)已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每百游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0，100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100，200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据．(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；游客数量(单位：百人)[0，100)[100，200)[200，300)[300，400]天数a1041频率beq\f(1,3)eq\f(2,15)eq\f(1,30)(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．答案(1)15，eq\f(1,2)，120(百人)(2)eq\f(3,10)解析(1)由题图知游客人数在[0，100)范围内共有15天，∴a＝15，b＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2).游客人数的平均数为50×eq\f(1,2)＋150×eq\f(1,3)＋250×eq\f(2,15)＋350×eq\f(1,30)＝120(百人)．(2)设A表示事件“2天遇到的游客拥挤等级均为‘优’”．从5天中任选2天的选择方法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个基本事件，其中事件A包括(1，4)，(1，5)，(4，5)，共3个基本事件，∴P(A)＝eq\f(3,10).即他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率为eq\f(3,10).17．(2017·课标全国Ⅲ，文)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．答案(1)0.6(2)0.8解析(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃.由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25℃，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900，300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20℃，由表格数据知，最高气温不低于20℃的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两