苏教版五年级数学下册公因数、公倍数讲义

苏教版五年级数学下册公因数、公倍数讲义苏教版五年级数学下册公因数、公倍数讲义苏教版五年级数学下册公因数、公倍数讲义资料仅供参考文件编号：2022年4月苏教版五年级数学下册公因数、公倍数讲义版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：公因数和公倍数【知识要点】1、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，用符号[，]表示。几个数的公倍数也是无限的。3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号（，）。两个数的公因数也是有限的。4、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15是合数。5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。举例：[6，8]=24，（6，8）=2，24是2的倍数。6、求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5素数关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，（3，7）=1一个素数和一个合数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[5，8]=40，（5，8）=1相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[9，8]=72，（9，8）=1特殊关系的数（两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1），比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。【例题讲解】例1、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米能截多少正方形

要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。

（36、60）＝12

（60÷12）×（36÷12）＝15个

例2、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束每个花束里至少要有几朵花

要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公约数。1、

最多可以做多少个花束

（96、72）＝24

2、

每个花束里有几朵红玫瑰花

96÷24＝4朵

3、

每个花束里有几朵白玫瑰花

72÷24＝3朵

4、

每个花束里最少有几朵花

4+3＝7朵

例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？

解：这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：96÷4+1=25（个）

后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。

96÷12+1=9（个）

96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。知识点：公因数和最大公因数练习：1、写出下面每组数的最大公因数。3和5（）4和8（）1和13（）13和26（）4和9（）17和51（）21和36（）22和55（）2、÷=5（、都是非零的自然数），和的最大公因数是（）。3、和是相邻的两个非零的自然数，和的最大公因数是（）。4、把一张长18cm，宽12cm的长方形纸，分成同样大小的正方形且没有剩余，每个小正方形边长最大是（）厘米，最少可分成（）个。5、两根钢管，甲管长36分米，乙管长40分米，把它们截成同样长的小段而且没有剩余，每小段最长（）分米，最少可截成（）段。知识点：公倍数与最小公倍数练习：1、写出下面每组数的最小公倍数。3和5（）4和8（）1和13（）13和26（）4和9（）17和51（）21和36（）22和55（）、2、÷=5（、都是非零的自然数），和的最小公倍数是（）。3、和是相邻的两个非零的自然数，和的最小公倍数是（）。4、一种长方形的地砖长8厘米，宽6厘米，用这种地砖铺成一块正方形，至少需要（）块地砖。正方形的面积最少是（）平方厘米。5、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。6、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。8月1日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。7、3和7是21的（）①因数②公因数③倍数8、8是24和64的（）①因数②最大公因数③倍数【综合练习】一、填空（共20分）1、最小的素数是（），最小的合数是（）。2、18的因数有（），24的因数有（），它们的公因数有（）。3、在1～20的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（），既是素数又是偶数的有（）。4、自然数按因数个数的多少可以分成（）、（）和（）。5、1082至少加上（）是3的倍数，至少减去（）才是5的倍数。6、一个数的最大因数是13，这个数的最小倍数是（）。7、两个自然数a、b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（）。8、如果A＝2×2×3，B＝2×3×3，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。9、一个数是3的倍数，又是5的倍数，还有因数7。这个数最小是（）。10、一个数既是30的因数、又是45的因数，最大的是（）。11、用0、1、2三个数字排成的所有三位数中，同时是2、3、5的倍数的数有（）。12、如果两个数的最大公因数是1，它们最小公倍数是91，那么这两个数的和最大是（）。二、判断题（共5分）1、两个连续自然数（0除外）它们的最大公因数是1。（）2、在24的因数中，是素数的只有2和3。（）3、5和7没有公因数，但5和7有公倍数。（）4、所有的偶数都是合数。（）5、两个数的公倍数一定比这两个数都大。（）三、选择题（共5分）1、任何两个奇数的和是（）。A奇数B合数C偶数2、两个素数的积一定是（）。A素数B合数C奇数3、任何两个自然数的（）的个数是无限的。A公倍数B公因数C倍数4、A是B倍数，那么它们的最小公倍数是（）。AABBACB5、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，这两个数一定不是（）。A15和90B45和90C45和30四、写出每组数的最大公因数（共12分）32和112和1872和4878和11723和6012和60五、写出每组数的最小公倍数（共12分）4和155和790和309和1513和396和13六、列式计算（共8分）1、一个自然数被3、5除都余1，这个数最小是多少？2、五个连续奇数的和是425，最小的一个是多少？七、解决问题（共38分，第8题3分，其余每题5分）1、一枝钢笔的价钱是元，比一枝圆珠笔贵元，一枝圆珠笔多少元（列方程解答）2、小明的妈妈比小明大26岁，爸爸今年38岁，比妈妈大4岁，小明今年多大了（列方程解答）3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果7月1日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？

4、有两根小棒分别长20分米，28分米。要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余，每根小棒最长能有多少分米？5、一个长方形的面积是24厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？6、在一张长40厘米，宽32厘米的长方形红纸上裁出同样大小，面积最大的正方形，并且没有剩余。一共可以裁出多少个这样的正方形？7、五（1）班学生人数不超过50人，在分小组做游戏时，可以分为每组6人或者每组8人，两种分法都刚好分完。这个班的学生可能有多少人？8、园林工人在一段公路的一边每隔4米栽一棵树，一共栽了17棵。现在要改成每隔6米栽一棵树。那么，不用移栽的树有多少棵？

【解决问题】1、甲、乙两人到图书馆去借书,甲每4天去一次,乙每5天去一次,如果7月1日他们两人在图书馆相遇,那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？

2、一块长方形纸片,长18厘米,宽12厘米,把它剪成同样大小的边长是整厘米数的正方形且没有剩余,最少可以剪多少个？

3、同学们做了24朵红花和56朵黄花,把这些花分成相同的若干束,最多可以分成几束每束里红花和黄花各有几朵4、五（1）班学生做早操，每行12人或16人都正好站成整行，这个班不到50人，这个班究竟有多少人？

5、一块砖长42厘米，宽26厘米，用这样的砖铺成一块正方形地，至少要多少块？

6、有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给18人，结果都剩下3个，这筐苹果至少有多少个？

【拓展练习】1、学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面2、某校同学们做操,把学生分为10人一组,14人一组,18人一组,都恰好分完,这个学校至少有多少个学生？

3、有一列数1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……,从第三个数开始,每个数是都前面两个数的和,前100个数中偶数有多少个？

4、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车？

5、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米6、在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

【挑战奥数】【例题讲解】在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）×[18，12]=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，（a，b）×[a，b]=a×b。例1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。例2、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。30=1×30=2×15=3×10=5×6，由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是7×5=35和7×6=42。例3、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”当a=60时，b=（a，b）×[a，b]÷a=12×120÷60=24；当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a=12×120÷120=12。所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。【练习】1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18。求另一个自然数。2、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77。求这两个自然数。3、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

4、已知两个数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数。5、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。6、两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数。7、甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。【课后练习】一、填空1、（7,9）在平面图上表示是第（）列第（）行的位置。2、30以内3的倍数有（），4的倍数有（），3和4的公倍数有（），最小公倍数是（）。3、在12、15、36、64、450、950六个数中，是3的倍数有（），是5的倍数的有（），是2的倍数的有（）；是2和5的公倍数的有（），是2和3的公倍数的有（），是3和5的公倍数的有（）；同时是2、3和5的公倍数的数是（）。4、18的因数有（），60的因数有（），18和60的公因数有（），最大公因数是（）。5、一个合数的因数至少有（）个，例如：（）。6、如果A=2×3×7，B=2×5×7，那么A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。7、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数，最大是（），最小是（）。8、要使601□既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里可以填（）。9、身份证上数字编码的头两位数字表示的是（）。二、判断1、如果a÷b=4（a、b为整数）那么a和b的最大公因数是4。（）2、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。（）3、任何一个自然数的因数至少有2个。（）4、1和任何自然数（0除外）都没有公因数。（）5、两个素数的最小公倍数是它们的乘积。（）三、选择1、1、2、4、8是8的（）A、因数B、公因数C、素数2、12是（）的最大公因数。A、1和12B、12和24C、3和43、一个两位数个位和十位上都是合数，并且它们的最大公因数是1，那么这两位数可能是（）A、49B、59C、694、a是一个素数，则a的倍数有（）个A、1个