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第16页/共16页长春外国语学校2021-2022学年高一年级第一学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单选题:本题共8小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,那么()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A,求指数函数值域求集合B,再应用集合的交运算求.【详解】由题设,或,,所以.故选:D.2.已知角的终边与单位圆交于点,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】的终边与单位圆交于点,故,故,所以,故选:B.3.命题“”的否定是()A. B.,C. D.,【答案】A【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题,把存在改为任意,把结论否定.【详解】的否定是故选:A4.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的,且按顺时针转所形成的角为负角,综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为.故选:B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制,属于基础题.5.函数零点所在的区间是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的单调性及零点存在性定理即得.【详解】由题意,函数在R上单调递增,且,,所以函数的零点所在的区间是.故选:A.6.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】逐项判断各选项中函数的奇偶性与单调性,由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项,设,该函数的定义域为,,故函数为偶函数,A选项不满足条件;对于B选项,函数为非奇非偶函数,B选项不满足条件;对于C选项,设,该函数的定义域为,,即函数为奇函数,因为函数、均为上的减函数,故函数为减函数,C选项满足条件;对于D选项,函数为奇函数,且该函数在定义域上不单调,D选项不满足条件.故选:C.7.已知,则“函数为偶函数”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】充分性判断:利用偶函数的性质,结合和差角正弦公式求;必要性判断:应用诱导公式化简并判断奇偶性,最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当为偶函数时,则恒成立,即,;当时,为偶函数;综上,“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件.故选:B8.音叉由钢质或铝合金材料所制成,由两个振动臂(叉臂)和一个叉柄组成(如图1),各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击如图1所示的音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定的值为()A.200 B.400 C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用周期公式求出.【详解】由题可得,,,即,则.故选:D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的.9.下列四个命题中,为真命题的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】CD【解析】【分析】根据特殊值法判断AB;由不等式的性质判断CD.【详解】对于A,当时,若,则,故A错误;对于B,当时,若,则,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,由不等式的性质可知,若,则,故D正确;故选:CD10.下列说法错误的是()A.函数的最小正周期是B.函数是周期为的奇函数C.函数最小正周期为D.若对,满足,,则函数周期为【答案】BCD【解析】【分析】A选项,使用进行求解最小正周期;B选项,利用定义判断出奇偶性;C选项,的最小正周期为;D选项,举出反例,即.【详解】的最小正周期,故A选项说法正确;,故为偶函数,故B说法错误;函数最小正周期为,C说法错误;若,此时,则为常数函数,任意数均为周期,D说法错误..故选:BCD11.已知函数,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是()A.随着的逐渐增大,增长速度越来越快于B.随着的逐渐增大,增长速度越来越快于C.当时,增长速度一直快于D.当时,增长速度有时快于【答案】BD【解析】【分析】由指数函数,幂函数,一次函数的图像特点逐一分析即可.【详解】如图对于,从负无穷开始,大于,然后大于,再然后再次大于,最后大于,再也追不上,故随着的逐渐增大,增长速度越来越快于,A错误,BD正确;由于的增长速度是不变的,当时,大于,当时,大于,再也追不上,增长速度有时快于,C错误.故选:BD.12.定义在上的函数满足,当时,,则满足()A. B.是奇函数C.在上有最大值 D.的解集为【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法可判断A选项的正误;利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误;利用函数单调性的定义可判断C选项的正误;利用函数的单调性解不等式,可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,令,可得,解得,A对;对于B选项,函数的定义域为,令,可得,则,故函数是奇函数,B对;对于C选项,任取、且,则,即,所以,所以,函数为上的减函数,所以,在上有最大值,C错;对于D选项,由于为上的减函数,由,可得,解得,D对.故选:ABD.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.函数的定义域为_____________________.【答案】【解析】【分析】由正切函数的定义得出定义域.【详解】由,解得即函数的定义域为故答案为:14.圆心角为,弧长为的扇形面积是__________________.【答案】##【解析】【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式即求.【详解】由题可得,扇形面积是.故答案为:.15.燕子每年秋天都要从北方到南方过冬,鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速度与耗氧量之间满足函数关系.若两岁燕子耗氧量达倒个单位时,其飞行速度为,则两岁燕子飞行速度为时,耗氧量达到__________单位.【答案】320【解析】【详解】因为,因此16.已知函数,若关于的方程有个不同的实数根,则实数的取值范围是__________________.【答案】【解析】【分析】画出的图象,令,则问题转化为在上有两个解,从而得0<b2<4Δ=【详解】的图象如图所示,令,则关于的方程有个不同的实数根,转化为方程在上有两个不同的解,所以0<b2<4所以实数的取值范围是,故答案为:四、解答题:本题共6小题,17题10分,18-22题每题12分,解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值;(2)在所求代数式上除以,然后利用弦化切可求得所求代数式的值.【小问1详解】解:原式.【小问2详解】解:原式.18.已知函数.(1)判断函数的奇偶性,并证明;(2)画出函数的图象,并讨论方程的解的个数.【答案】(1)函数为偶函数,证明见解析;(2)图象见解析;当时,方程的解为0个;当或时,方程的解为2个;当时,方程的解为4个;当时,方程的解为3个.【解析】【分析】(1)根据奇偶性的定义即得;(2)将函数写成分段函数型,即可画出函数图象,方程的解的个数,即与的交点个数,结合函数图象可知得解;【小问1详解】函数偶函数,∵,∴的定义域为R,关于原点对称,且,所以为偶函数;【小问2详解】因为,所以函数的图象如下所示:方程的解的个数,即与的交点个数,结合函数图象可知:当时,有0个解,当或时,有2个解,当时,有4个解,当时,有3个解.19.某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室(如图).在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道,沿前侧内墙保留宽的空地.设矩形温室的左侧边长为,后侧边长为,蔬菜的种植面积为.(1)用、表示;(2)求蔬菜种植面积的最大值.【答案】(1),,,(2)648【解析】【分析】(1)由矩形的面积公式得出;(2)由基本不等式得出最大值.【小问1详解】种植蔬菜矩形长为,宽为,则,,,小问2详解】当且仅当时,取等号,即蔬菜种植面积的最大值为648.20.已知函数.(1)求函数的最大值,并求取最大值时的取值集合;(2)求函数的单调区间.【答案】(1)函数最大值为5,的取值集合为(2)单调增区间,;单调减区间,【解析】【分析】(1)由条件利用余弦函数的定义域和值域,求得函数的最大值及取得最值时相应的的取值集合;(2)令,,求得的范围,从而可得函数的单调区间.【小问1详解】当时,取得最大值为,此时,即,所以函数的最大值为5,的取值集合为.【小问2详解】由,可得,由,可得,所以单调增区间,;单调减区间,.21.已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式;(2)先把的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图象,若当时,求函数的值域.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由图象结合正弦函数的性质得出的解析式;(2)先由图象的变换得出函数的解析式,再由正弦函数的性质得出值域.【小问1详解】由图象可知,,则,即由五点作图法可知,,即【小问2详解】,即.22.已知定义在上的函数为奇函数,.(1)求实数的值;(2)求函数的值域;(3)若对任意的,不等式有解,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)函数是奇函数,得,解得,进而可得的解析式,由奇偶性的定义,验证,即可得出答案;
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