吉林省长春外国语学校2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

第16页/共16页长春外国语学校2021-2022学年高一年级第一学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A，求指数函数值域求集合B，再应用集合的交运算求.【详解】由题设，或，，所以.故选：D.2.已知角的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】的终边与单位圆交于点,故，故，所以，故选：B.3.命题“”的否定是（）A. B.，C. D.，【答案】A【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】的否定是故选：A4.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.故选：B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.5.函数零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的单调性及零点存在性定理即得.【详解】由题意，函数在R上单调递增，且，，所以函数的零点所在的区间是.故选：A.6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】逐项判断各选项中函数的奇偶性与单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，A选项不满足条件；对于B选项，函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；对于C选项，设，该函数的定义域为，，即函数为奇函数，因为函数、均为上的减函数，故函数为减函数，C选项满足条件；对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D选项不满足条件.故选：C.7.已知，则“函数为偶函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求；必要性判断：应用诱导公式化简并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当为偶函数时，则恒成立，即，；当时，为偶函数；综上，“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件.故选：B8.音叉由钢质或铝合金材料所制成，由两个振动臂（叉臂）和一个叉柄组成（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为（）A.200 B.400 C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用周期公式求出.【详解】由题可得，，，即，则．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.9.下列四个命题中，为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】CD【解析】【分析】根据特殊值法判断AB；由不等式的性质判断CD.【详解】对于A，当时，若，则，故A错误；对于B，当时，若，则，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，由不等式的性质可知，若，则，故D正确；故选：CD10.下列说法错误的是（）A.函数的最小正周期是B.函数是周期为的奇函数C.函数最小正周期为D.若对，满足，，则函数周期为【答案】BCD【解析】【分析】A选项，使用进行求解最小正周期；B选项，利用定义判断出奇偶性；C选项，的最小正周期为；D选项，举出反例，即.【详解】的最小正周期，故A选项说法正确；，故为偶函数，故B说法错误；函数最小正周期为，C说法错误；若，此时，则为常数函数，任意数均为周期，D说法错误..故选：BCD11.已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（）A.随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B.随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C.当时，增长速度一直快于D.当时，增长速度有时快于【答案】BD【解析】【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图像特点逐一分析即可．【详解】如图对于，从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，再也追不上，故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确；由于的增长速度是不变的，当时，大于，当时，大于，再也追不上，增长速度有时快于，C错误．故选：BD．12.定义在上的函数满足，当时，，则满足（）A. B.是奇函数C.在上有最大值 D.的解集为【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；对于B选项，函数的定义域为，令，可得，则，故函数是奇函数，B对；对于C选项，任取、且，则，即，所以，所以，函数为上的减函数，所以，在上有最大值，C错；对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为_____________________.【答案】【解析】【分析】由正切函数的定义得出定义域.【详解】由，解得即函数的定义域为故答案为：14.圆心角为，弧长为的扇形面积是__________________.【答案】##【解析】【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式即求.【详解】由题可得，扇形面积是.故答案为：.15.燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度与耗氧量之间满足函数关系.若两岁燕子耗氧量达倒个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，耗氧量达到__________单位．【答案】320【解析】【详解】因为，因此16.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是__________________.【答案】【解析】【分析】画出的图象，令，则问题转化为在上有两个解，从而得0<b2<4Δ=【详解】的图象如图所示，令，则关于的方程有个不同的实数根，转化为方程在上有两个不同的解，所以0<b2<4所以实数的取值范围是，故答案为：四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值；（2）在所求代数式上除以，然后利用弦化切可求得所求代数式的值.【小问1详解】解：原式.【小问2详解】解：原式.18.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）画出函数的图象，并讨论方程的解的个数.【答案】（1）函数为偶函数，证明见解析；（2）图象见解析；当时，方程的解为0个；当或时，方程的解为2个；当时，方程的解为4个；当时，方程的解为3个.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义即得；（2）将函数写成分段函数型，即可画出函数图象，方程的解的个数，即与的交点个数，结合函数图象可知得解；【小问1详解】函数偶函数，∵，∴的定义域为R，关于原点对称，且，所以为偶函数；【小问2详解】因为，所以函数的图象如下所示：方程的解的个数，即与的交点个数，结合函数图象可知：当时，有0个解，当或时，有2个解，当时，有4个解，当时，有3个解.19.某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地.设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，蔬菜的种植面积为.（1）用、表示；（2）求蔬菜种植面积的最大值.【答案】（1），，，（2）648【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式得出；（2）由基本不等式得出最大值.【小问1详解】种植蔬菜矩形长为，宽为，则，，，小问2详解】当且仅当时，取等号，即蔬菜种植面积的最大值为648.20.已知函数.（1）求函数的最大值，并求取最大值时的取值集合；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）函数最大值为5，的取值集合为（2）单调增区间，；单调减区间，【解析】【分析】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数的最大值及取得最值时相应的的取值集合；（2）令，，求得的范围，从而可得函数的单调区间．【小问1详解】当时，取得最大值为，此时,即，所以函数的最大值为5，的取值集合为.【小问2详解】由，可得，由，可得，所以单调增区间，；单调减区间，.21.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，求函数的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由图象结合正弦函数的性质得出的解析式；（2）先由图象的变换得出函数的解析式，再由正弦函数的性质得出值域.【小问1详解】由图象可知，，则，即由五点作图法可知，，即【小问2详解】，即.22.已知定义在上的函数为奇函数，．（1）求实数的值；（2）求函数的值域；（3）若对任意的，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）函数是奇函数，得，解得，进而可得的解析式，由奇偶性的定义，验证，即可得出答案；