三角函数的形式美和解法美

三角函数的“形、式美”和“解、法美”江苏省无锡市荡口中学周为民我国著名数学系徐利治教授指出：“数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园，这片花果园还是按照美的追求开拓出来的。”三角函数就是花园中一个精彩粉呈的一角。三角函数图形的千姿百态之美，三角公式的和谐统一之美，三角函数解题过程的奇妙之美，三角函数解题方法的变化之美，无不给人以美的感受，美的熏陶。下面就三角函数的图形和公式、解题过程和方法中蕴含的数学美作初步的探讨。一、三角函数图象的千姿百态之美“东升西落照苍穹，影短影长角不同。昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。”张景中院士与李尚志教授编写的高中数学教材是用诗来引出三角函数的，它生动再现了自然界的昼夜循环、光影变化与三角函数的密切关系，三角函数美在变化中，美在应用上，美在周期性，美在意境中。1、君看一叶舟，出没风波里正余弦曲线，形似起伏的波浪，恰似徐徐微风吹过，波澜不惊,绵延千里。结合图形与学生一起商讨，正（余）弦函数的周期性、单调性、对称性等性质，使学生对三角函数性质有一种视觉直观的享受。如：再让学生研究y=sinx，y=lsinxl，y=sinlxl—些函数之间的变化，让学生观察它变与不变之奥秘，优美的曲线给人一种享受。2、飞流直下三千尺，疑是银河落九天正切函数，由于定义域的限制，图形被互相平行，间隔相等的直线所隔开，每一段恰似飞流直下的瀑布，组成了波澜壮阔的瀑布群，正切函数的单调性，是学生的一个易错点，用瀑布群形象地记忆正切函数的单调性,学生容易理解，印象深刻。如果说正（余）弦图象是柔美的，那么正（余）切图象就应称之为壮美了。3、横看成岭侧成峰，远近高低各不同正、余弦函数图象的合成，还会出现更引人入胜的印象。例如:已知f（x）=严xsinx'cosx，求f（x）的周期[cosxsinx<cosx性、极值、单调性、对称轴等。通过画图，可以发现，f（x）的图象出现了“双峰并峙”的形状，恰似一幅非常美丽的风景画，其中既有奇异的一面，又非常和谐，让学生在欣

赏美景中，完成这道作业题，岂不美哉。正、余弦函数图象与一次函数的组合也能收到意想不到的效果，像y=xsinx的图像如此美妙，激发了研究它性质的欲望。二、三角公式的和谐统一之美如果把三角函数的图形看成是外在的形态美，那么三角函数众多的公式等式中，就有内在的理性美，因为众多公式之间有着必然的联系，它们各具形态，但又能相互转化，构成了一种和谐统一之美。1、变中不变之美同角三角函数关系式，揭示的是三角函数之间的关系，其中的sin2a+cos2a=1为最有代表性的一个。它说明了正弦、余弦两个变量之间不变的关系，变与不变辩证关系得到了充分的体现。与勾股定理比较与单位圆比较：a2+b2=c2fx2+y2=1，把sin2与勾股定理比较与单位圆比较：a2+b2=c2fx2+y2=1，与椭圆方程比较—2+兰=1,可以发现它们结构相似，可相互转a2b2化，从中更反映出三角与平几、解几之间内在的一种联系，这不仅奠定了公式（1）在三角公式中的基础地位，而且也决定了它运用的广泛。所以我在教学过程中，把此公式称为三角公式中的首席公式，学生也从最初的新奇疑问，通过不断的学习运用，到最终的欣然认同。形式上类似的还有：△ABC中，Cos2A+Cos2B+Cos2C+2CosACosBCosC=1，CotA・CotB+CotB・CotC+CotC・CotA=1等等。2、和谐对称之美许多三角公式中，公式本身就有一种对称、和谐的构造美，如：△ABC中：TanA+TanB+TanC=TanATanBTanC等式左边是加法的一种轮换、对称，右边是乘法的一种轮换、对称，在一个等式中加与乘是如此完美的结合，所以我在教学中，常称之为三角等式中最美等式。我常问学生这样的问题，快速找出三个数，使它们的和与积相等。从这个等式中可发现，三角形的三个角的正切值就一定满足这种关系。3、联系统一之美正弦、余弦、正切作为三角函数中的三个最基本的函数，同角三角函数关系式：sin2a+cos2a=1与Tana=-^Sin反映了三个函数之间的基Cosa本关系，万能公式则从更高层次，把三者统一起来，即都用一个正切函11数来表示“万能”说明此公式运用之广、作用之大。诱导公式：2kn+«,-a，n±a，—±a，—土a共有八组，它们的本质取决于角的终边,22关于原点对称、坐标轴对称。它们的本身和记忆方法用“奇变偶不变，符号看象限”来概括，体现了数学的高度概括性和简洁美。还有“半角公式”与“倍角公式”之间的“降次”与“升幂、”“逆用”等等，反映正、反统一的辩证关系。三、三角解题过程的奇妙之美三角函数的主要形式是化简、求值、证明，虽然形式众多，但从解题的思路上都遵循从繁到简的原则。具体的解题过程中，根据各个公式的特点，采用幂的“升与降”、“边与角”的转化，“公式的逆用”，公式的重复使用等等，在解题过程中还常用整体代换、换元等数学思想方法。可以说变中有技巧，化中有规律，可让学生在解题过程中去体会、感受数学美的愉悦。1、“1”的运用，变化无穷例如化简：已知e为锐角⑴V1+Sin2x,⑵J1+Cos2x,⑶1+Sinx-Cosx等关系就是对+Sinx+CosxSin2a+Cos2a=1逆用。⑴原式=JSin2x+Cos2x+2SinxCosx=ISinx+Cosxl=Sinx+Cosx⑵原式=、：Sin2x+Cos2x+Cos2x一Sin2x=p2Cosxxxxx(Sin-+Cos_)2-(Cos2—-Sin2_)⑶解法1：原式=222L(Sin—+Cos丄)2+(Cos2—一Sin2工)

2222(Sin+Cos丄)x2Sin=222=Tan(Sin+Cos')x2Cos2222Sin2+2SinCos—解法2：原式—222=Tanx2Cos2—+2Sin—Cos—2222解法1与2不同之处是选择1与Sinx组合，还是1与Cosx组合。方法稍有不同，但异途同归，结论简洁，体现了数学的简洁美。再如：已知Tana=2，求Sin2a+2SinaCosa-3Cos2a.原式=Sin2a+2SinaCosa—3Cos2a原式==Sin2a+2SinuCosu—3Cos2a=Tan2a+Tana-3=3Sin2a+Cos2aTin2a+15其中把1的变化发挥到了极致。2、循环递推，其乐无穷。例1、求值：Cos20oCos40oCos60oCos80o这是一个多余弦连乘积，且角度之间是倍角关系需反复使用公式Sin2x=2SinxCosx。但已知中缺少Sin20o,在教学中我把Sin20o称为催化剂，有了它，就能起到了连锁反应的效果。再如：根据Cota-Tana=2Cot2a也可设计一些循环的题目。如：Cota-Tana-2Tan2a-4Tan4a-8Tan8a等等。3、整体代换，其味无穷在教学中我常把下面的两小题编在一起，进行教学。TOC\o"1-5"\h\z兀兀已知：Cos9=_,ew(0,一)，求Cos(9+—)。524兀3兀已知Cos(9-一)=_,9$(一，n),求Cos9。52先让学生练习，学生做第一小题，没有问题，但做第二小题，学生兀开始往往先把Cos(9-一)展开，再联合Sin2a+Cos2a=1来求解。此4时再介绍整体对换的思想，把9--看成一个角a,把9看成(9+，)、44-两个角之差，题②就可以转化为题①，这种整体代换的数学方法，学4生通过对比，感受到方法之简洁，影响很深，能体会这种数学思维方式之奥妙，在今后的学习中，也能不断去尝试。四、感受思维方法经典之美演绎、归纳、类比是数学思维中的最基本的思维方式，在三角函数的化简、推导、证明得到了充分的运用，通过学习，一方面可提高学生的数学思维能力及对数学的认识，另一方面，通过对数学思想的揭示，为学生营造数学美的意境，让学生感受数学思维内在之辩证、内在之和谐。1、演绎之美例若A+B=45o，贝V(1+TanA)(1+TanB)=2(2)我们让A、B取一些特殊的角，女如(1+Tan10)(1+Tan440)=2，(1+Tan20)(1+Tan430)=2……再组合这些等式：可得(1+Tan10)(1+Tan20)……(1+Tan440)=222这个恒等式结构很有规律，本质是公式(2)的一种演绎。在这种氛围下，学生惊奇又有兴趣。例：若A+B=900，则Sin2A+Sin2B=189可构造等式：Sin21o+Sin22o+……+Sin289o=-2证明方法还可采用倒序相加法。2、归纳之美在学生的解题及思维过程中，往往首先碰到了较特殊的问题，通过观察、求解，可从中推演出一般地结论。如例1：一般同学首先接触的题：Cos20oCos40oCos80o的求解。在此基础上请学生从题目的条件及求解过程分析，让学生自己得到更一般的结论：CosaCos2aCos22aCos2n-1a=in-nSina3、类比之美类比是指两个对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也相似或相同，通过教学，可培养学生的归纳推理能力。例：已知：x、y、z满足x+y+z=xyz2x2y2z8xyz求证：++=1-x21-y21-z2(1-x2)(1-y2)(1-z2)分析：联想到三角形中最美的恒等式"△ABC中，TanA+TanB+TanC=TanATanBTanC及二倍公式Tan2A=2TanA等。1-Tan2A此题可转化为：已知：TanA+TanB+TanC=TanATanBTanC求证：Tan2A+Tan2B+Tan2C=Tan2ATan2BTan2C解题方法就不难获得。a22Tan—再如：求y=一—的值域，联想到万能公式sina=—的形1+x21+Tan2巴2式