9年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题4.4三角函数的图象及三角函数模型的简单应用(讲)(解析版)

又因为F=—2也sin又因为F=—2也sin（血+（9）2.（2019全国甲理7）若将函数y=2sin2x的图像向左平移1；个单位长度,则平移后图像的对2017年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第四章三角函放与解三用形第04节三角函数的图象及三角函数模型的简单应用【课前小测摸底细】n1.【北师大版第60页B组第1题改编】如图，函数y=2cos（・‘x…j）（x•R,0wvw）的2图象与y轴交于点（0,3），且在该点处切线的斜率为-2.则二和••的值（）.A.-.1—,单:nE.•=2,单=n2"6'3c.-■=2,甲=n‘1D.•=甲:n「62-3【答案】C【解析】将兀=0,y=^/3代入iSl数J'=2co5（ti）.Y-得:称轴为（）knn-、宀右-6（“Z）knC.x2nknC.x2n12kZD.x二【答案】B【解析】平移后图像表达式为心注2x1；【解析】平移后图像表达式为心注2x1；,令2x；Tt二kn+n,2得对称轴方程:x=k^+nZ）.故选B.【浙江省嘉兴市第一中学2019届高三上学期能力测试数学（理）试题】为得到函数TOC\o"1-5"\h\zy=2sin（2x•；）的图象，只需将函数y=2cos2x的图象（）向左平移兀单位B.向右平移兀单位C.向左平移兀单位D.向右平移兀单4488位【答案】D【解析】因为y=2sin（2x了=2cos［二（2x：—）］=2cos（2x工）=2cos［2（x—）］，所以要得42448到函数y=2sin（2x$的图象，只需将函数y=2cos2x的图象向右平移兀单位，故选D.484.【基础经典试题】为了得到函数y二sin2x，3cos2x的图象，只需将函数y二sinxcosx,R图象上所有的点（）4倍（横坐标不变）1—倍（横坐标不变）4倍（横坐标不变）1—倍（横坐标不变）44倍（横坐标不变）4倍（横坐标不变）6向左平行移动…个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的6向左平行移动二个单位长度，再将纵坐标扩大为原来的3向右平行移动兰个单位长度，再将纵坐标扩大为原来的6【答案】A■—【解析】因为J=2sin（2x+—）=2sin2（x+—）..y=sinxcosx=—sinZx,所以将362y=sin.vcosx的图象向左平行移动弓个单位长度，再将纵坐标伸长片原来的△倍（横坐标不变〉可得6y=sin2x+^cos2x的團象，选A.5.【改编2019四川卷】若将函数f（x）=sin2xcos2x的图像向右平移「个单位，所得函数为偶函数，则®的最小正值是.3兀【答案】38【解析】由题意f(x)二2【解析】由题意f(x)二2sin(2xJ，将其图象向右平移-个单位，得-0_-0_1152sin[2（x-「）：•一]=2sin[2x-2；：：•—],要使函数为偶函数，即图象关于y轴对称,44则4一2‘2^，解得'一厂2，当"一1时「取最小正值8【考点深度剖析】近几年加大了对y=Asin•・x•::函数的考查力度，要求会根据已知条件条件或图象确定其解析式；并且图象要求会用五点作图法作出；同时会用图象变换得出其解析式.【经典例题精析】考点1求三角函数解析式【1-1】【2019届陕西西北工大附中】如图是函数y=2si.0）图像的一部分，贝「A.B.11.,=5755■:A.B.11.,=5755■:C.D.【答案】A【解析】由图可得,2sin--12sV'56-5■:6■■0^'在一个周期内的2丿【1-2】【2019黑龙江模拟】若函数y二Asin•■x」：[a0,■图象如图所示，M,N分别是这段图象的最高点和最低点，且OMON=0，则A=（）【答案】A"T1"T1p【解析]根据圄中的信息，可知匸=二-=4〔二-一oj.2I1'7F.=・所以.⑦"，M(占")=、片〒—述H结合丄丄iM3"所沛各疳―即所沁5呻,古施【1-3】【2019全国大联考课标卷】已知函数f(x)=Asin(x)(A.0,‘0,|讣：n间为(的图象向右平移n个单位得到g(x)的部分图象如图所示，贝Uy=间为(的图象向右平移n个单位得到g(x)的部分图象如图所示，贝Uy=Acos(:)的单调增区6[kn_5n,kn_—],k=Z631Tf[kn—-nkn+—],k^Z367'冗],kZ125n],kZ12D.[kn-nkn121.—nkn12【答案】【解析】由题知g（x）=Asin[・（x—）]=Asin（，x—"；：），由五点作图法知,662，解得⑷=2=彳，A=2，所以yuZcos&x+Z5)，令33TOC\o"1-5"\h\zn5n2kn-n_2x2kn,kZ，解得k…_x：k,k•Z，所以63江y=Acos（，x川孑■）的单调增区间为［k…，k：一］,kZ，故选A.3【课本回眸】1.y=Asin的有关概念y=Asin（）（A>0,⑷>0）,x乏0,垃）表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A2nT=—©f丄皂T22.用五点法画y=Asin［门x亠门］一个周期内的简图用五点法画y二Asin「x•::一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示:x<PWJT+——尬2oJT一®甲3兀2兀一护©—I时2©co灼X+申02JI3兀22兀y=Asin(ccx)0A0-A03.由y=Asin--x^：:'■的的图象求其函数式:已知函数y二Asinx的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定-■；确定「常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点-,0作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.Jco丿利用图象变换求解析式：由y=sinx的图象向左（④>0）或向右（①<0）平移阿个单位，，得到函数y=sin（x+®）,1将图象上各点的横坐标变为原来的倍0）,便得y=sin•卫小"；，将图象上各点的纵CD坐标变为原来的A倍（A0），便得y二Asin.【方法规律技巧】1.根据y=Asin「x_「QhA0-0的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑:（1）A的确定：根据图象的最高点和最低点，即最高点-最低点2⑵h的确定：根据图象的最高点和最低点，即最高点+最低点2.2TT⑶-■的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T（八＞0）来确定•‘；co⑷求，常用的方法有:①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时代,h已知）或代入图像与直线y二h的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）•、一申②五点法：确定「值时，由函数y=Asinjcx亠仃i亠k最开始与x轴的交点的横坐标为「co（即令=0,x--）确定■'=.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点©法”中的哪一个点，“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为•■x0^d0・2k「：，其他依次类推即可•2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.【新题变式探究】【变式一】【2019河北衡水模拟】已知A,B,C,D是函数y=sin•x亠住）（•0,0：：门3T个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（-…,0）,B为y轴上的点，C为图像上的最低点,6E为该函数图像的一个对称中心,的值为（）uuuE为该函数图像的一个对称中心,的值为（）不51=2①=一,61不兀«=一①=不51=2①=一,61不兀«=一①=一2、631不兀C.灼=一①=一D2'3【答案】A

【解析】因为"专R、C»D、E是i朋i数1/=卫：瞋①工-匕)(曲>6«贰申一个周期内的图象上的五个7T点“如图所示，X--.0).丘为y轴上的点.c为團象上的最低点，E为该国数图象的一个对称中心，B6UUJttTTTT与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为…，所以T=4(…•…)二二，所以.=2,12126!_trJ[JEJJJIJ31因为a(_—,0),所以0=sin(_—+$),0v©v—,©=—•故选A.6323【变式二】如图，函数f(x)二Asin()(其中A0,-0,|「|)与坐标轴的2三个交点P、Q、R满足P(1,0),PQR二',M为QR的中点,()???值为()【答案】BD.16PM742()???值为()【答案】BD.16PM742【解析】由颍意设。(业0)、丘叽则位---’育两点间距离公式得，UM!rm=ji~j+；兽得口…由此得.^='-1=6,即故®斗，由玖14)丫忙■*-J、亠3亠■o得卩"石』代入f(x)=Asin(^x+卩)得、f(x)=小诚+-v一讣，从而/(0)"血(十)二一二=14,【变式三】函数f(x)=sin(2x+⑥+acos(2x+⑥，其中a为正常数且0<$<n,若f(x)的图象关于直线x=n对称，f(x)的最大值为2.6(1)求a和$的值；⑵求f(x)的振幅、周期和初相；(3)用五点法作出它的长度为一个周期的闭区间上的图象；

(4)由y=f(x)的图象经过怎样的平移得到y=2sin2x+扌的图象?【解析】(1)f(x)=sin(2x+册+acos(2x+妨<1+a2,贝U由飞/l+a2=2及a>0,得a=3.厂fitA于是XW=血(2x亠0)+\'3cos(2x+呦=Zin；2.r-<-宁+0；一又;W的團象关于直线-V=討称,二当工冲办腳取得最值，-A-3K-6得筝=洽+召一丰二紙一加EZi.■5iT又0叩切，/.c?—~7~.(2)由⑴可知兀C)=2制氐+于,，所以函数冲0的振倡为2j周期&=亍=心初相为才-y2-/1\°\Its.xy2-/1\°\Its.x_Xaz-2(4)f(x)=2sin2x+；2sin2x+$nn_要得到y=2sin?x+才戶2sin2$+訂的图象，只需将y⑶列表，并描点画出图象7n2x+了0冗2冗3n~22nv7n冗冗冗5n入12312612y020-2075=2sin(2x+n的图象向右平移石冗个单位长度即可.考点2三角函数图象的变换【2-1】【2019年.浙江卷理4】为了得到函数y二sin3x•cos3x的图像，可以将函数y=2sin3x的图像(A.向右平移个单位B.向左平移■TT■个单位44C.向右平移个单位D.向左平移一个单位1212答案：D解析：y=sin3xcos3x=2sinj3x,故只需将八2sin3x向左平移4个单位./jii-0-1/jii-0-12TTX0\-1【2-2】【2019年•浙江卷•理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）0-]【答案】A【解析】y=cos2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得刃mogI,再向左平移1个单位长度得^=cos（x+1）+1,再向下平移1个单位长度得j5=cos（r+1）,故相应的團象为A殛【2-3】【2019陕西西安模拟】下图是函数y二Asin（「x」），（x・R,A・O「・0,0黑-）,2在区间[上511-6,6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx（x・R）的图象上所有的点（）A.向左平移B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6…个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的62倍，纵坐标不变.11，纵坐标不变2向左平移二个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.3向左平移兰个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变.TOC\o"1-5"\h\z32【答案】D【解析】由图可知A=^T=^:.^=2:又—二$—审=三Z）:一审二一一（kwZ）又637T7FJT..,0c很u—,二卩=—,1；=sin；2葢+—；,所以戈J了得到这个函数的團象，只需将F=sill工（工w丘|的團23V.象上的所有向左平移£个长度单位，得到Y二血-V+f；的裁，再将尸阿工十彳的图象上各点.的横3、3丿I3丿坐标变沏原来的1〔纵坐标不娈）即可.故址二【课本回眸】1•函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数y=fx向左平移"［门>0个单位，得到函数fx-的图像;把函数把函数y=fx向左平移"［门>0个单位，得到函数fx-的图像;把函数>0个单位，得到函数fx—：「:：：的图像;把函数y二fx向上平移>0个单位，得到函数fX?；代"的图像；把函数y二fx向下平移"［门，o个单位，得到函数f的图像.伸缩变换:把函数y=把函数y=fx图像的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的11，得到函数y=fx0：：：一：：1的图像；把函数y=fx把函数y=fx图像的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1—,得到函数y=fgxX®a1）的©图像;把函数y二fx把函数y二fx图像的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A，得到函数y二AfxA1的图像;把函数y=fx把函数y=fx图像的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的A，得到函数y二Afx0A1的图像•2•由y=sinx的图象变换出y=sini"x—：「iiy,0的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换，利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变TOC\o"1-5"\h\z量”起多大变化，而不是“角变化”多少•途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将y=sinx的图象向左＞0或向右:;T•；：■0平移|旳个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍（⑷＞0），便得y=sin（co）的co图象•途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换：先将y二sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍C，・0），再沿x轴向左（「.0）或向右p:：:0）平移IB个单位，便得y=sin的COCD图象•注意：函数y=sin（「x•「）的图象，可以看作把曲线y=sin「x上所有点向左（当:0时）或向右（当®＜0时）平行移动一个单位长度而得到•co【方法规律技巧】在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错.图像变换法•若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.3•解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移（伸缩）的大小，避免出现错误.4•特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数•【新题变式探究】【变式】【2019高考湖南，理9】将函数f（x）二sin2x的图像向右平移:（^^-）个单位2后得到函数g（x）的图像，若对满足|f（xj—g（x2）|=2的Xi,X2，有|捲―X2|min=t，则®=3（）5».A.—B.—C.—D.—12346【答案】D.【解折】向右平移梓个单位后，得到g(x)=sin(2^-2^)?又'/|/(^)-5(^)|=2,不妨2两=—2k：T,2x2—2(p=2］；:t,—r.=-——X—atl=J■-.■■:上7亠K厶故选D2j6考点3函数y=Asinx-的图像与性质的综合应用【3-1】(2015•昆明模拟)把函数y=Sin2x的图象沿x轴向左平移£个单位，纵坐标伸长到原来6的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象，对于函数y=f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y=2sin［2x+扌］;②该函数图象关于点f,0:对称；③该函数在0,f上是增函数；④若函数y=f(x)+a在0,才上的最小值为寸3，则a=2^3.其中正确判断的序号是•【答案】②④.【解析】將函数尸血的图象向左平移霹到尸沁°+哥二血n的團象，然后纵坐标伸长到原来

的】倍得到y=2sm(2x+£f的图象，①不正确;y=^=2^2Xj+j函数国象关于点&0)对称》②正确；由-賽号+卅，心,得-詩十衣淀卡十肚氏b即幽数的单调増区间閒［一鲁+瓦y^+hr］,kEZ?当丘=0时，増区间为—誇，令］③不正确'y=f^)+a=2sin|2x+^)+a,当0S呼b賽昭務乎当2x+j=v，即工二时函数取得最小値，有地*2$碍+口=-\6+白=屈得尸皿④正确.故填②④.【3-2】【2019江西省鹰潭市】已知函数f(x)=asinx-3cosx的一条对称轴为x二-…,6且f(为)，f(x2)=Y,则N+x2的最小值为()兀JiA.B.32【答案】C【解析】由题可知【解析】由题可知,D.—鳥=3=3），由af（x）=asinx「，3cosx二a23sin（x「"）（其中tan:2于一条对称轴为x，即有k：；：；,于是k二，TOC\o"1-5"\h\z6623v3,兀tan(-二-k二)，于是有a=1，原式化简为f(x)=2sin(x-)，由于a3

JTJT3Tfxfx2--4,因此si门（论一二）sin（JTJT3Tfxfx2--4,因此si门（论一二）sin（x2-一）=-1，即有论2k二：一3332卄5二22x22k：—，即|x1•x2|=|2k‘•亠2k：—|=|4k；亠■k326633【3-3】已知函数f（x）=sinx-2cos2£-1，g（x）=J2sin2x，则下列结论正确的是（）A.把函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移二个单位长4度，可得到函数g（x）的图象B.两个函数的图象均关于直线x「4对称两个函数在区间（-…，…）上都是单调递增函数44函数y=g（x）在［0,2二］上只有4个零点【答案】C【解析】/(x)=sinx+2cDS*--l=siflx+C05.Y=v'-sillx+—,横塑标缩短一半，再向右平移［个k44单位长度丿可得到y=sin■47TI丁’■斜，所以A错误5v/；-^=0a/（^）5?捲轴不斥X=4\4丿B错误；fIxi=0sinlx；T:2.r,共5个零晟所以.D错误【课本回眸】1.y=sinx的递增区间是'兀H12賦-2杏-（「Z），递减区间是*2%育(kZ).2.对于y=Asin（「x•J和y=Acos（「x来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.y=Asin（「x，「）的图象有无穷多条对称轴，可由方程「X订筈=k：「一：k•Z解出；它还2有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由二k二k・Z，解得x=kx=k…k・Z，即其对称中心为k-：-：,0gZ)•3.）若y二AsinC'X「）为偶函数，则有=k「：•…（k，Z）;若为奇函数则有，二k「：（k•Z）.24.f（x）二Asin（「x•J的最小正周期都是T二闌|【方法规律技巧】（1）奇偶性：Z）时，函数y=AsinC，x"）为奇函数；二k：：•—（k・Z）时,2函数y=Asin（・・x亠仃）为偶函数.⑵周期性：y二AsinC・x•「）存在周期性，其最小周期为T⑶单调性：根据y二sint和t二x的单调性来研究，由Ji平兀—:々k-：_x2k二，k：=Z得单调增区间；由223T—〉20_・x2k二，k・Z得单调减区间.22令二k二，k•Z,求得x.nk"—,kZ得其对称轴.令二k二，k•Z,求得x.nk"—,kZ得其对称