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第31页(共31页)2021-2022学年辽宁省沈阳134中九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题2分,共20分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)1.(2分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.三棱柱2.(2分)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()A.当AB=BC时,它是菱形 B.当AC⊥BD时,它是菱形 C.当∠ABC=90°时,它是矩形 D.当AC=BD时,它是正方形3.(2分)某厂一月份生产产品50台,计划二、三月份共生产产品120台,设二、三月份平均每月增长率为x,可列出方程为()A.50(1+x)2=60 B.50(1+x)2=120 C.50+50(1+x)+50(1+x)2=120 D.50(1+x)+50(1+x)2=1204.(2分)如图,直线a∥b∥c,分别交直线m,B,C,D,E,F,若AB=2,BC=4,则EF的长是()A.5 B.6 C.7 D.85.(2分)一元二次方程4x2﹣3x+=0根的情况是()A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根6.(2分)如图,点A是反比例函数y=的图象上的一点,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,则k的值是()A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣87.(2分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,则PQ的长度为()A.10 B.5 C.2.5 D.2.258.(2分)如图,已知∠1=∠2,那么添加一个条件后()A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C.= D.=9.(2分)某学习小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图所示折线统计图()A.不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球,从中随机取一个,取到红球 B.任意写一个整数,它能被2整除 C.掷一枚正六面体的骰子,出现1点朝上 D.先后两次掷一枚质地均匀的硬币,两次都出现反面10.(2分)二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是()A. B. C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,答案写在答题卡上)11.(3分)将抛物线y=x2向左平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得抛物线相应的函数.(写出顶点式即可)12.(3分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4cm,∠ABC的角平分线交AD于点E,交CD的延长线于点Fcm.13.(3分)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°°.14.(3分)如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5米,在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6米.15.(3分)在平面直角坐标系中,△ABC顶点A的坐标为(2,4),若以原点O为位似中心1B1C1,使△ABC与△A1B1C1的相似比等于2,则点A1的坐标为.16.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D为边AC的中点,若将△CDP沿DP折叠得△EDP,若点E在△ABC的中位线上.三、解答题(本大题共9个小题,共82分)17.(6分)解方程:(x﹣3)(x+3)=2x.18.(8分)补全如图立体图形的三视图.19.(8分)小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球和一个黄球,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回(1)小亮随机摸球1次,能摸出白球的概率为;(2)若小丽随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE∥CD,CE∥AB.(1)试判断四边形ADCE的形状,并证明你的结论.(2)连接BE,若∠BAC=30°,CE=1.21.(8分)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:售价在40~60元范围内(包含端点值),其销售量就将减少10个.(1)当这种台灯上涨5元时,其销售量为个.(2)为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少元?22.(10分)如图,已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A(﹣1,﹣1)和点B(3,﹣9).(1)求该二次函数的表达式;(2)直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称23.(10分)如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数y1=在第一象限内的图象与直线y2=x交于点D,且反比例函数y1=交BC于点E,AD=3.(1)求D点的坐标及反比例函数的关系式;(2)若矩形的面积是24,求出△CDE的面积.(3)直接写出当x>4时,y1的取值范围.24.(12分)在△ABC中,AC=BC,∠ACB=α,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,将AD绕点D顺时针旋转α得到ED,连接BE.(1)问题发现:如图1,α=90°,点D在边BC上①AF与BE的数量关系是;②∠ABE=度.(2)拓展探究:如图2,0°<α<90°,点D在边BC上,并给予证明.(3)解决问题如图3,90°<α<180°,点D在射线BC上,若AB=8,请直接写出BE的长.25.(12分)如图1,在Rt△ABC中,AC=8cm,点P从点A出发,沿斜边AB向点B匀速运动,过点P作PQ⊥AB交AC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,连接CM,设运动时间为x(s)(0<x<).(1)当x=1时,点P到AC的距离为cm,点M到AC的距离为cm;(2)如图2,过点P作PD⊥AC于点D.①用含x的代数式表示CD的长,并写出求解过程;②当点P、M、C三点共线时,直接写出此时正方形的边长;(3)若△CMQ是等腰三角形,直接写出x的值.
2021-2022学年辽宁省沈阳134中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10个小题,每小题2分,共20分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)1.(2分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.三棱柱【分析】根据三视图得出几何体即可.【解答】解:由主视图和左视图都为三角形,而俯视图是圆,故选:B.2.(2分)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()A.当AB=BC时,它是菱形 B.当AC⊥BD时,它是菱形 C.当∠ABC=90°时,它是矩形 D.当AC=BD时,它是正方形【分析】分别根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC或AC⊥BD时,四边形ABCD为菱形、B结论正确;当∠ABC=90°时,四边形ABCD为矩形;当AC=BD时,四边形ABCD为矩形,故选:D.3.(2分)某厂一月份生产产品50台,计划二、三月份共生产产品120台,设二、三月份平均每月增长率为x,可列出方程为()A.50(1+x)2=60 B.50(1+x)2=120 C.50+50(1+x)+50(1+x)2=120 D.50(1+x)+50(1+x)2=120【分析】主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设二、三月份每月的平均增长率为x,根据“计划二、三月份共生产120台”,即可列出方程.【解答】解:设二、三月份每月的平均增长率为x,则二月份生产机器为:50(1+x),三月份生产机器为:50(1+x)3;又知二、三月份共生产120台;所以,可列方程:50(1+x)+50(1+x)7=120.故选:D.4.(2分)如图,直线a∥b∥c,分别交直线m,B,C,D,E,F,若AB=2,BC=4,则EF的长是()A.5 B.6 C.7 D.8【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=,然后根据比例的性质求EF的长.【解答】解:∵直线a∥b∥c,∴=,即=,∴EF=6.故选:B.5.(2分)一元二次方程4x2﹣3x+=0根的情况是()A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出Δ>0,由此即可得出原方程有两个不相等的实数根.【解答】解:4x2﹣5x+=3,这里a=4,b=﹣3,b2﹣7ac=(﹣3)2﹣8×=5>0,所以方程有两个不相等的实数根,故选:D.6.(2分)如图,点A是反比例函数y=的图象上的一点,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,则k的值是()A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8【分析】连接OA,如图,利用三角形面积公式得到S△OAB=S△ABC=4,再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=4,然后去绝对值即可得到满足条件的k的值.【解答】解:连接OA,如图,∵AB⊥x轴,∴OC∥AB,∴S△OAB=S△ABC=4,而S△OAB=|k|,∴|k|=7,∵k<0,∴k=﹣8.故选:D.7.(2分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,则PQ的长度为()A.10 B.5 C.2.5 D.2.25【分析】先由矩形的性质可得AC=BD=10,BO=DO=BD=5,再由三角形中位线定理可得PQ=DO,即可得出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=,∴DO=BD=5,∵点P、Q是AO,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=DO=2.6,故选:C.8.(2分)如图,已知∠1=∠2,那么添加一个条件后()A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C.= D.=【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析,从而得到最后答案.【解答】解:∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A,B,D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边,所以不相似,故选:C.9.(2分)某学习小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图所示折线统计图()A.不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球,从中随机取一个,取到红球 B.任意写一个整数,它能被2整除 C.掷一枚正六面体的骰子,出现1点朝上 D.先后两次掷一枚质地均匀的硬币,两次都出现反面【分析】根据统计图可知,试验结果在0.33附近波动,即其概率P≈0.33,计算四个选项的概率,约为0.33者即为正确答案.【解答】解:A、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球,取到红球的概率=,符合题意;B、任意写一个整数,不符合题意;C、掷一个质地均匀的正六面体骰子≈7.17;D、先后两次掷一枚质地均匀的硬币,不符合题意;故选:A.10.(2分)二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是()A. B. C. D.【分析】利用排除法解决:首先由a=﹣1<0,可以判定抛物线开口向下,去掉A、C;再进一步由对称轴x=﹣=1,可知B正确,D错误;由此解决问题.【解答】解:∵y=﹣x2+2x,a<3,∴抛物线开口向下,A、C不正确,又∵对称轴x=﹣=8,∴只有B符合要求.故选:B.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,答案写在答题卡上)11.(3分)将抛物线y=x2向左平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得抛物线相应的函数y=(x+4)2﹣3.(写出顶点式即可)【分析】直接利用二次函数图象平移的性质即可得到平移后的解析式.【解答】解:将抛物线y=x2向左平移4个单位长度,得到的解析式为:y=(x+2)2,再向下平移3个单位长度,得到的解析式为:y=(x+8)2﹣3,故所得抛物线相应的函数表达式是:y=(x+7)2﹣3.故答案为:y=(x+2)2﹣3.12.(3分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4cm,∠ABC的角平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F3cm.【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC,进而得出∠AEB=∠CBF,再利用角平分线的性质得出∠ABF=∠CBF,进而得出∠AEB=∠ABF,即可得出AE的长,即可得出答案.【解答】解:∵在平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠CBF,∵∠ABC的角平分线交AD于点E,∴∠ABF=∠CBF,∴∠AEB=∠ABF,∴AB=AE,∵AB=4cm,AD=7cm,∴DE=4cm.故答案为:3.13.(3分)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°65°.【分析】先由正方形的性质得出CD=CB,∠DCA=∠BCA,根据SAS证出△BEC≌△DEC,再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC=∠BEC=70°,然后根据对顶角相等求出∠AEF,根据正方形的性质求出∠DAC,最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠DCA=∠BCA,∵CE=CE,∴△BEC≌△DEC,∴∠DEC=∠BEC=∠DEB=70°,∴∠AEF=∠BEC=70°,∵∠DAC=45°,∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°.故答案是65°.14.(3分)如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5米,在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6米10m.【分析】根据平行的性质可知△ABC∽△DEF,利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长.【解答】解:如图,在测量AB的投影时,∵△ABC∽△DEF,AB=5m,EF=6m∴=∴∴DE=10(m)故答案为10m.15.(3分)在平面直角坐标系中,△ABC顶点A的坐标为(2,4),若以原点O为位似中心1B1C1,使△ABC与△A1B1C1的相似比等于2,则点A1的坐标为(1,2)或(﹣1,﹣2).【分析】根据位似变换的性质计算即可.【解答】解:∵以原点O为位似中心,画△ABC的位似图形△A1B1C8,使△ABC与△A1B1C4的相似比等于2,点A的坐标为(2,∴点A5的坐标为(2×,4×),8×(﹣,即(4,﹣2),故答案为:(1,5)或(﹣1.16.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D为边AC的中点,若将△CDP沿DP折叠得△EDP,若点E在△ABC的中位线上2或6或8﹣2.【分析】分三种情况讨论:①当E在AB边的中位线上时;②当E在BC边的中位线上时;③当E在AC边的中位线上时;分别画图求解即可求.【解答】解:①如图1,设BC边中点为M,当E在DM上时,由折叠可知,CP=PE,∵BC=9,AC=12,∴AB=15,CM=,∵BC=9,AC=12,∴CD=2,∴DM=,DE=6,∴EM=,在Rt△PEM中,PM2=PE2+EM2,∴(﹣CP)2=CP2+()2,∴CP=7; ②如图2,设AB边的中点为N,当E点落在DE上时,∵BC=9,AC=12,∴CD=4,DN=,由折叠可知,DE=CD,∵DE∥CB,∴∠CDE=90°,∴四边形CDEP是矩形,∵DE=CD,∴四边形DCPE是正方形,∴CP=CD=3;③如图3,设BC、N,连接MN,当E点落在MN上时,由折叠可知,DE=CD,∠C=∠DEP=90°,∵BC=9,AC=12,∴CM=,CD=6,MN=6,在Rt△DEN中,DE5=DN2+EN2,∴42=NE2+()2,∴NE=,∴EM=5﹣,在Rt△PEM中,PE2=EM2+PM5,∴CP2=(﹣CP)2+(6﹣)5,∴CP=8﹣2;综上所述,CP的值为2或6或7﹣2,故答案为:5或6或8﹣8.三、解答题(本大题共9个小题,共82分)17.(6分)解方程:(x﹣3)(x+3)=2x.【分析】方程整理为一般形式,找出a,b,c的值,进而计算出根的判别式的值,代入求根公式计算即可求出解.【解答】解:(x﹣3)(x+3)=5x,方程整理得:x2﹣2x﹣4=0,这里a=1,b=﹣8,∵△=4+36=40,∴x==1±,则x1=8+,x2=1﹣.18.(8分)补全如图立体图形的三视图.【分析】根据简单几何体的三视图的画法,画出相应的图形即可,注意看得见的轮廓线用实线表示,看不见的轮廓线用虚线表示.【解答】解:补全这个几何体的三视图如下:19.(8分)小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球和一个黄球,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回(1)小亮随机摸球1次,能摸出白球的概率为;(2)若小丽随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.【分析】(1)直接根据概率公式求解即可;(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解:(1)小亮随机摸球1次,能摸出白球的概率为,故答案为:;(2)画树状图得:∵共有16种等可能的结果,两次摸出的球中一个是白球,∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率为=.20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE∥CD,CE∥AB.(1)试判断四边形ADCE的形状,并证明你的结论.(2)连接BE,若∠BAC=30°,CE=1.【分析】(1)先证明四边形ADCE是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线性质,得出CD=AB=AD,即可得出四边形ADCE为菱形;(2)依据∠ABC=60°,DB=DC,可得△BCD是等边三角形,依据∠BAE=60°,∠ABE=30°,可得△ABE是直角三角形,最后根据CE=1=AE,即可得到BE的长.【解答】解:(1)四边形ADCE为菱形,理由如下:∵AE∥CD,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形,∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=AB=AD,∴四边形ADCE为菱形;(2)∵∠BAC=30°,四边形ADCE为菱形,∴∠BAE=60°=∠DCE,又∵∠ACB=90°,∴∠DBC=60°,而DB=DC,∴△BCD是等边三角形,∴∠DCB=60°,∴∠BCE=120°,又∵BC=CD=CE,∴∠CBE=30°,∴∠ABE=30°,∴△ABE中,∠AEB=90°,又∵AE=CE=4,∴AB=2,∴BE==.故答案是:.21.(8分)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:售价在40~60元范围内(包含端点值),其销售量就将减少10个.(1)当这种台灯上涨5元时,其销售量为550个.(2)为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少元?【分析】(1)根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个,即可得出售价上涨5元后的月销售量;(2)根据总利润=单台利润×月销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【解答】解:(1)售价上涨5元后,该商场平均每月可售出台灯数:600﹣10×5=550(个).故答案为:550;(2)设该商场决定把售价上涨x(3<x<20)元,依题意,得:(40﹣30+x)(600﹣10x)=10000,整理,得:x2﹣50x+400=0,解得:x4=10,x2=40(不合题意,舍去),∴40+x=50,600﹣10x=500.答:这种台灯的售价应定为50元/个.22.(10分)如图,已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A(﹣1,﹣1)和点B(3,﹣9).(1)求该二次函数的表达式;(2)直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称【分析】(1)利用待定系数法确定二次函数的解析式;(2)把(1)中得到的解析式配成顶点式,然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴.(3)将P(m,m)坐标代入y=x2﹣4x﹣6,得m=m2﹣4m﹣6,解方程求得m的值,根据题意得到m=6,从而求得P的坐标,根据点P与点Q关于对称轴x=2对称,所以点Q到x轴的距离为6.【解答】解:(1)将A(﹣1,﹣1)和点B(62﹣4x+c,得 解得,所以二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣6;(2)由y=x3﹣4x﹣6=(x﹣4)2﹣10可知:对称轴为x=2;顶点坐标为(2;(3)将P(m,m)坐标代入y=x2﹣4x﹣8,得m=m2﹣4m﹣3.解得m1=﹣1,m2=6.因为m>0,所以m=﹣2不合题意.所以m=6,所以P点坐标为(6,5);因为点P与点Q关于对称轴x=2对称,所以点Q到x轴的距离为6.23.(10分)如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数y1=在第一象限内的图象与直线y2=x交于点D,且反比例函数y1=交BC于点E,AD=3.(1)求D点的坐标及反比例函数的关系式;(2)若矩形的面积是24,求出△CDE的面积.(3)直接写出当x>4时,y1的取值范围0<y1<3.【分析】(1)根据AD=3,得到点D的纵坐标为3,代入y2=x,解之,求得点D的坐标,再代入y1=,得到k的值,即可得到反比例函数的关系式;(2)根据“矩形的面积是24”,结合AD=3,求得线段AB,线段CD的长度,得到点B,点C的横坐标,代入反比例函数的解析式,得到点E的坐标,根据“S△CDE=CE×CD”,代入求值即可得到答案;(3)根据图象,结合D的坐标即可求得.【解答】解:(1)根据题意得:点D的纵坐标为3,把y=3代入y4=x得:,解得:x=4,即点D的坐标为:(2,3),把点D(4,6)代入y1=得:3=,解得:k=12,即反比例函数的关系式为:y2=,(2)设线段AB,线段CD的长度为m,根据题意得:3m=24,解得:m=5,即点B,点C的横坐标为:4+8=12,把x=12代入y7=得:y=1,∴点E的坐标为:(12,1),∴CE=5﹣1=2,∴S△CDE=CE×CD=;(3)观察图象,当x>2时,y1的取值范围是0<y7<3,故答案为0<y5<3.24.(12分)在△ABC中,AC=BC,∠ACB=α,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,将AD绕点D顺时针旋转α得到ED,连接BE.(1)问题发现:如图1,α=90°,点D在边BC上①AF与BE的数量关系是AF=BE;②∠ABE=90度.(2)拓展探究:如图2,0°<α<90°,点D在边BC上,并给予证明.(3)解决问题如图3,90°<α<180°,点D在射线BC上,若AB=8,请直接写出BE的长.【分析】(1)问题发现:由“SAS”△ADF≌△EDB,可得AF=BE,再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解决问题;(2)拓展探究:结论:AF=BF,∠ABE=a.由“SAS”△ADF≌△EDB,即可解决问题;(3)解决问题:分当点D在线段BC上和当点D在BC的延长线上两种情形讨论,利用平行线分线段成比例可求解.【解答】解:(1)问题发现:如图1中,设AB交DE于O.∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠ABC=45°,∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C=90°,∴∠DFB=∠DBF=45°,∴DF=DB,∵∠ADE=∠FDB=90°,∴∠ADF=∠EDB,∵DA=DE,DF=DB∴△ADF≌△EDB(SAS),∴AF=BE,∠DAF=∠E,∵∠AOD=∠EOB,∴∠ABE=∠ADO=90°故答案为:AF=BE,90°.(2)拓展探究:结论:AF=BE,∠ABE=α∵DF‖AC∴∠ACB=∠FDB=α,∠CAB=∠DFB,∵AC=BC,∴∠ABC=∠CAB,∴∠ABC=∠DFB,∴DB=DF,∵∠ADF=∠ADE﹣∠FDE,∠EDB=∠FDB﹣∠FDE,∴∠ADF=∠EDB,∵AD=DE,DB=DF∴△ADF≌△EDB(SAS),∴AF=BE,∠AFD=∠EBD∵∠AFD=∠ABC+∠FDB,∠DBE=∠ABD+∠ABE,∴∠ABE=∠FDB=α.(3)解决问题①如图(3)中,当点D在BC上时,由(2)可知:BE=AF,∵DF∥AC,∴,∵AB
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