线性系统理论第1章绪论

线性系统理论主讲教师陈玮2022/12/161微机原理及应用参考教材1、线性系统理论郑大钟编著清华大学出版社2、线性系统理论 段广仁编著哈尔滨工业大学出版社3、MATLAB科学计算 李敏波译清华大学出版社2022/12/162微机原理及应用第1章绪论一、系统控制理论的研究对象二、线性系统理论的基本概貌三、本课程的论述范围2022/12/163微机原理及应用一、系统控制理论的研究对象 *系统 *动态系统 *线性系统 *系统模型2022/12/164微机原理及应用系统从系统控制理论的角度，将系统定义为是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。1、整体性 2、抽象性 3、相对性2022/12/165微机原理及应用1、整体性整体性包含了两层基本含义：（1）强调系统在结构上的整体性，即系统由“部分”组成，各组成部分之间的相互作用是通过物质、能量和信息的交换来实现的；（2）突出系统行为和功能由整体所决定的特点，系统可以具有其组成部分所没有的功能。2022/12/166微机原理及应用2、抽象性在现实世界中，一个系统总是具有具体的物理、自然或社会属性。作为系统控制理论的研究对象的系统，常常是抽去了具体系统的物理、自然或社会含义，而把它抽象化为一个一般意义下的系统而加以研究；系统概念的这种抽象化处理，有助于揭示系统的一般特性和规律，使系统控制理论的理论和方法具有普适性。2022/12/167微机原理及应用3、相对性在系统的定义中，所谓“系统”和“部分”具有相对的“属性”：对于一个系统而言，其组成部分通常也是由若干个更小部分所组成的一个系统；而这个系统往往又是另一个系统的一个组成部分。2022/12/168微机原理及应用动态系统所谓动态系统（动力学系统），就是运动状态按确定规律或确定统计规律、按时间演化的一类系统。动态系统是系统控制理论研究的主体，其行为由其各类变量间的关系来表征。系统的变量可区分为三类形式：一是反映外部对系统的影响或作用的输入变量组如控制、投入、扰动等；二是表征系统状态行为的内部状态变量组；三是反映系统对外部作用或影响的输出变量组如响应、产出等。2022/12/169微机原理及应用动态系统表征系统动态过程的数学描述具有两类基本形式。1、系统的内部描述，通常也被称为“白箱描述”，它是建立在系统的内部机理为已知的前提之上的。内部描述由两部分组成：一部分是反映输入变量组对状态变量组的动态影响关系，其描述具有微分方程组或差分方程组的形式；另一部分是反映输入变量组和状态变量组两者到输出变量组间的变换影响关系，其描述呈现为代数方程的形式。2022/12/1610微机原理及应用动态系统2、系统的外部描述，通常也被称为“黑箱描述”或输入输出描述，它是建立在系统的内部机理为未知的前提之上的。外部描述反映的是输入变量组对输出变量组间的动态影响关系，描述具有高阶微分方程组或高阶差分方程组的形式。动态系统按照不同角度进行不同的分类：*从机制角度*从特性角度*从时间角度2022/12/1611微机原理及应用从机制角度的动态系统分类1、连续变量动态系统（ContinuousVariableDynamicSystems，简称CVDS）2、离散事件动态系统（Discreteeventdynamicsystems，简称DVDS）2022/12/1612微机原理及应用1、连续变量动态系统(CVDS)连续变量动态系统(CVDS)—服从于物理学定律（如电学的、力学的、热学的定律等）或广义物理学规律（如经济学规律、人口学规律、生态学规律、社会学规律等），其数学模型可表示为微分方程和差分方程。借助于数学理论所提供的问题描述与求解方法，可对这类系统的建模、分析、控制和优化进行研究。大量的自然系统和工程系统都可归属于CVDS的范畴。

本课程主要研究连续变量动态系统分析和综合的理论和方法。2022/12/1613微机原理及应用2、离散事件动态系统（DEDS）

离散事件动态系统来源于一批反映近年来技术发展方向的人造系统，其典型例子如柔性生产线或装配线、大规模计算机/通讯网络、空中或机场交通管理系统、军事上的3C系统等。在DEDS中，对系统行为进程起决定作用的是一批异步离散时刻的离散事件，并由离散事件驱动且按照一些复杂的人为规则相互作用来导致系统状态的演化。对DEDS，按照不同的层次，需要分别采用排队论、极大极小代数、自动机理论、佩特里（Petri）网等数学工具来进行建模和分析。2022/12/1614微机原理及应用从特性角度的动态系统分类1、线性系统（linearsystems）和非线性系统（non-linearsystems）2、集中参数系统（lumpedparametersystems）和分布参数系统(distributedparametersystems)2022/12/1615微机原理及应用1、线性系统和非线性系统描述系统模型的数学方程具有线性属性的系统被称为线性系统，相应地模型数学方程具有非线性属性地系统被称为非线性系统。相比于线性系统，非线性系统在运动行为上要丰富得多，而在分析上则要复杂得多。研究表明，如分叉(bifurcation)、混沌(chaos)、奇异吸引子(strangeattractor)等一些重要的现象，都只可能出现在非线性系统中。

在现今的非线性系统控制理论中，线性系统的理论和方法，仍然是不可缺少的基础。

2022/12/1616微机原理及应用2、集中参数系统和分布参数系统集中参数系统是一类不存在或不考虑参数的空间分布性的连续变量动态系统。在模型形式上，连续时间的集中参数系统可以由常微分方程来描述，属于有穷维系统。在现实世界中，大量的连续变量动态系统都归属于或近似化为集中参数系统。分布参数系统是必须考虑其参数的空间分布性一类连续变量动态系统，需要采用偏微分方程来描述，属于无穷维系统。相比于集中参数系统，分布参数系统的分析要复杂得多。

本课程我们限于研究线性系统和集中参数系统，包括系统分析和综合的理论和方法。

2022/12/1617微机原理及应用从作用时间角度的动态系统分类1、连续时间系统(CongtinuousTimeSystems)2、离散时间系统(DiscreteTimeSystems)2022/12/1618微机原理及应用连续时间系统和离散时间系统连续时间系统中变量的作用时刻是连续的，描述系统动态过程的模型呈现为微分方程的形式，从本质上来说，大多数动态系统都属于连续时间系统的范畴。离散时间系统中变量的作用时刻是离散的采样时刻，描述系统动态过程的模型呈现为差分方程的形式。相比于连续时间系统，离散时间系统在分析和计算上要简单得多。

2022/12/1619微机原理及应用连续时间系统和离散时间系统随着数字计算机的普及和在系统控制中的应用，离散时间系统日益显出其重要性。大量的连续时间系统被通过采样的途径而化为时间离散化系统来进行分析和控制。数据采样系统(data-sampledsystems)已成为系统控制理论中的一个重要分支。

本课程我们将同时涉及连续时间系统和离散时间系统的分析和综合的理论和方法，并以连续时间系统为主。2022/12/1620微机原理及应用线性系统线性系统理论的研究对象为线性系统。线性系统是最为简单和最为基本的一类动态系统。线性系统理论是系统控制理论中研究最为充分、发展最为成熟和应用最为广泛的一个分支。线性系统理论中的很多概念和方法，对于研究系统控制理论的其他分支，如非线性系统理论、最优控制理论、自适应控制理论、鲁棒控制理论、随机控制理论等，同样也是不可缺少的基础。

2022/12/1621微机原理及应用线性系统线性系统的一个基本特征是其模型方程具有线性属性，即满足叠加原理。叠加原理——若系统的数学描述为L，那么对任意两个输入变量u1和u2以及任意两个非零有限常数c1和c2，必成立如下关系式： L(c1

u1+c2

u2)=c1

L(u1)+c2

L(u2)2022/12/1622微机原理及应用线性系统线性系统的定义及其相关属性：（1）严格性——只有基于叠加原理的定义才是严格的；（2）对叠加原理的限制——限于有限项和；（3）叠加原理所导致的研究上的简便性；（4）线性系统的现实性——相当一部分实际系统的主要关系特性可以在一定范围内足够精确地用线性系统来代表；（5）实际系统可否按线性系统处理的判断问题——对常见的实际工程系统，这种判断并不是一件复杂的事情。2022/12/1623微机原理及应用线性系统

线性时不变系统（线性定常系统）——其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系数都是不随时间变化的常数。

线性时变系统——其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，至少包含一个参数为随时间变化的函数。

线性时不变系统和线性时变系统在系统描述上的这种区别，既决定了两者在运动状态特性上的实质性差别，也决定了两者在分析和综合方法的复杂程度上的重要差别。2022/12/1624微机原理及应用系统模型

系统模型就是对现实世界中的系统或其部分属性的一个简化的描述。

建模的目的在于深入和定量地揭示系统行为的规律性或因果关系性。建模的实质是对系统的动态过程即各个变量和参量间的关系按照研究需要的角度进行描述。2022/12/1625微机原理及应用系统模型（1）系统模型的作用——仿真、预测、设计控制器；（2）模型类型的多样性——不仅仅是数学模型；（3）数学模型的基本性——是实际系统的行为和特征的描述；（4）建立数学模型的途径——机理建模、系统辨识；（5）系统建模的准则——系统模型的简单性和分析结果的准确性之间折衷。2022/12/1626微机原理及应用系统模型（1）系统模型的作用*仿真——通过对实际系统建立模型，以实现在计算机上对系统进行数学仿真；*预测——用以预测或预报实际系统的某些状态的发展态势；*对系统综合或设计控制器——基于被控对象的模型和期望指标，运用控制理论方法及算法来设计控制器。2022/12/1627微机原理及应用系统模型（2）模型类型的多样性实际系统并不是都可以采用数学模型来表征；按照系统的不同类型，有的只能采用语言、数据、图标或计算机程序来描述；有的只能采用逻辑关系、映射关系或数学方程来描述。2022/12/1628微机原理及应用系统模型（3）数学模型的基本性系统控制理论着重于研究可以采用数学模型表征的系统；

数学模型就是用数学语言描述的一类系统模型：*方程描述：代数方程、微分方程、差分方程、积分方程或随机方程；*其他数学形式：代数、几何、拓扑、数理逻辑等。

数学模型只是对实际系统的行为和特征的描述，并不能反映系统的实际结构。2022/12/1629微机原理及应用系统模型（4）建立数学模型的途径*机理建模——利用物理学定律或化学规律，建立系统各个变量和各个参量间建立起对应的数学方程；*系统辨识——基于一定条件下对系统引入典型激励信号所获得的输入输出数据，利用相应的数学方法，建立反映系统变量关系的数学方程；

2022/12/1630微机原理及应用系统模型（5）系统建模的准则*在保持系统的一些本质特征的前提下，使系统的模型尽可能简单，利于对系统的分析和综合；*基于系统模型的分析和综合结果，能足够准确地反映实际系统的行为。

系统模型的简单性和分析结果的准确性之间做出适当折衷。2022/12/1631微机原理及应用二、线性系统理论的基本概貌 *线性系统理论的主要内容 *线性系统理论的发展过程 *线性系统理论的主要学派2022/12/1632微机原理及应用线性系统理论的主要内容线性系统理论着重于研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。分析问题——研究系统运动规律；综合问题——研究改变运动规律的可能性和方法。从哲学角度来看，前者属于认识系统的范畴，后者属于改造系统的范围。2022/12/1633微机原理及应用线性系统理论的主要内容线性系统的理论和方法是建立在其模型基础之上的。不管是对系统进行分析还是综合，首先是建立系统的数学模型。

线性系统的数学模型有两种形式：时间域模型和频率域模型。

时间域模型——表现为微分方程组或差分方程组，可同时适用于线性时不变系统和线性时变系统。

频率域模型——表现为传递函数和频率响应，只适用于线性时不变系统。2022/12/1634微机原理及应用线性系统理论的主要内容在系统数学模型的基础上，线性系统理论可区分为：（1）线性系统分析理论（2）线性系统综合理论2022/12/1635微机原理及应用（1）线性系统分析理论

*定量分析 *定性分析2022/12/1636微机原理及应用（1）线性系统分析理论定量分析——主要是建立系统状态或输出相对于输入的因果关系的一般表达式，以作为分析系统的响应和性能的基础。从数学的角度，系统分析归结为求解作为系统数学模型的微分方程组或差分方程组。

2022/12/1637微机原理及应用（1）线性系统分析理论定性分析——主要研究对系统性能和控制具有重要意义的基本结构特性。结构特性主要包括稳定性、能控性与能观测性、互质性等。对系统结构特性的分析，既是对线性系统特性本身的揭示，也是进一步研究系统综合问题的需要。线性系统的定性分析理论，在线性系统理论中占有重要的位置。2022/12/1638微机原理及应用（2）线性系统综合理论综合是分析的一个反命题。对系统的综合是建立在系统分析基础上的。系统综合的目的是使系统的性能达到期望的指标或实现最优化。系统综合就是同时基于系统模型和期望性能指标确定满足综合要求的控制器。控制器的基本形式为反馈控制，包括状态反馈和输出反馈，在一些情况下还需同时引入附加的补偿器。2022/12/1639微机原理及应用（2）线性系统综合理论系统综合的研究面临三个基本问题：

一、可综合性问题。其含义是，对应于给定的系统和给定的期望性能指标，建立起系统能够实现综合指标所需满足的条件。

二、综合算法。其含义是，对满足可综合性条件的系统，建立用来确定控制器的计算方法，通常总是要求这种算法可在计算机上实现。

三、综合得到的控制系统在工程实现中出现的理论性问题。这是因为，系统的综合是相对于系统模型进行的，而所导出的控制器将施加和作用于实际系统，由此必然产生一系列实际性问题。2022/12/1640微机原理及应用线性系统理论的发展过程线性系统理论的发展过程（1）经典线性系统理论；（2）现代线性系统理论。2022/12/1641微机原理及应用（1）经典线性系统理论线性系统的经典理论形成于20世纪三四十年代，以三项理论性结果为标志。一、奈奎斯特1932年提出的关于反馈放大器稳定性的准则即奈奎斯特判据，提供了避免不稳定振荡的方法。二、波特（Bode）在20世纪40年代初引入的相对于对数频率的对数增益图和线性相位图即波特图，波特图大大简化了当时已经十分流行的频率响应特性的运算和作图过程，使基于频率响应的分析和综合反馈控制系统的使用理论和方法得以形成。三、伊万思(W.R.Evans)1948年提出的根轨迹法，这种方法为以复变量理论为基础的控制系统的分析和设计理论和方法开辟了新的途径。2022/12/1642微机原理及应用（2）现代线性系统理论20世纪50年代兴起的航天技术需求的推动下，线性系统理论在1960年前后开始了从经典理论到现代理论的过渡。重要标志性成果是，卡尔曼(R.E.Kalman)把在分析力学中的状态空间引入到线性系统控制理论，并在此基础上引入了对研究系统结构和控制具有基本意义的能控性和能观测性的概念。经过60、70年代的发展，系统地形成了基于状态空间描述地分析与综合线性系统的状态空间法。2022/12/1643微机原理及应用（2）现代线性系统理论状态空间法的基本特点是，采用状态空间描述（系统内部描述）来取代经典线性系统理论中习以为常的传递函数形式的外部输入输出描述，并将对系统的分析和综合直接置于时间域内来进行。状态空间法可同时适用于单输入单输出系统和多输入多输出系统，线性时不变系统和线性时变系统，大大拓宽了所能处理问题的领域。在状态空间描述基础上的能控性和能观测性概念，已被证明是线性系统理论中两个最为基本的特性。2022/12/1644微机原理及应用线性系统理论的主要学派在线性系统理论的领域中，基于所采用的分析工具和所采用的系统描述的不同，已经形成了四个平行的分支。通常认为，它们以不同的研究方法构成了线性系统理论中四个主要学派。（1）线性系统的状态空间法；（2）线性系统的几何理论；（3）线性系统的代数理论；（4）线性系统的多变量频域方法。2022/12/1645微机原理及应用（1）线性系统的状态空间法

状态空间法是线性系统理论中形成最早和影响最广的一个分支。*表征系统动态过程的数学模型是反映输入变量、状态变量和输出变量间关系的一对向量方程，称状态方程和输出方程。*本质上是一种时间域方法，主要的数学基础是线性代数和矩阵理论，系统分析和综合中所涉及的计算主要为矩阵运算和矩阵变换。2022/12/1646微机原理及应用（2）线性系统的几何理论几何理论的特点是，把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题，并采用几何语言来对系统进行描述、分析和综合。*主要数学工具是以几何形式表述的线性代数，基本思想是把能控性和能观测性等系统结构特性表述为不同的状态子空间的几何属性。*几何方法的特点是简洁明了，避免了状态空间法中大量繁杂的矩阵推演计算，同时又能比较容易地转化为相应的矩阵运算。2022/12/1647微机原理及应用（3）线性系统的代数理论采用抽象代数工具表征和研究线性系统的一种方法。*特点是把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系，从而实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化，使之转化为纯粹的一些抽象代数问题。*代数理论的研究起源于卡尔曼(R.E.Kalman)在20世纪60年代末运用模论工具对域上线性系统的研究。*在模论方法的影响下，在比域更弱和更一般的代数系上，如环、群、范代数、集合上，相继建立了相应的线性系统代数理论。*在这些研究中，发现了不同于状态空间描述的某些属性，并且还试图把线性系统代数理论和计算机科学结合起来建立起统一的理论。2022/12/1648微机原理及应用（4）线性系统的多变量频域方法

多变量频域方法的实质是以状态空间法为基础，采用频率域的系统描述和频率域的计算方法，以分析和综合线性时不变系统。在多变量频域方法中，平行和独立地发展了两类分析综合方法。一、频率域方法二、多项式矩阵方法2022/12/1649微机原理及应用（4）线性系统的多变量频域方法

一、频率域方法，其特点是把一个多输入多输出系统化为一组单输入单输出系统来处理，并把经典线性系统控制理论的频率响应方法中许多行之有效地分析综合技术和方法推广到多输入多输出系统中来。由此导出的综合理论和方法可以通过计算机辅助设计而方便地用于系统的综合。本方法是由罗森布罗克(H.H.Rosenbrock)、麦克法伦(A.G.J.MacFalane)等英国学者所建立的，习惯地被称为英国学派。2022/12/1650微机原理及应用（4）线性系统的多变量频