实二次型的合同标准形与正交标准形模板课件

实二次型的合同标准形与正交标准形xxx莆田学院数学系福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会1谢谢观赏2019-5-23实二次型的合同标准形与正交标准形xxx莆田学院数学系福建省《一、二次型的基本问题（1）（1）可被唯一表示为（2）基本问题：（3）其中,可逆2谢谢观赏2019-5-23一、二次型的基本问题（1）（1）可被唯一表示为（2）基本问题常用的实二次型化简2）（5）（5）中为实二次型的正交标准形.1）（4）称（4）为实二次型的合同标准形.其中,可逆,,为正、负惯性指数.3谢谢观赏2019-5-23常用的实二次型化简2）（5）（5）中二、目前的教材处理情况1.北大教材[1]第五章二次型五节内容基本问题：合同标准形第九章欧几里得空间§9.6实对称矩阵的标准形基本问题：正交标准形第十章双线性函数与辛空间§10.3双线性函数将基本知识分散处理于三部分

距离远、联系差4谢谢观赏2019-5-23二、目前的教材处理情况1.北大教材[1]第五章二次型五2.张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2]第八章欧氏空间和酉空间§8.4对称变换和对称矩阵基本问题：正交标准形第九章二次型§9.1-§9.3基本问题：合同标准形§9.4主轴问题、正交标准形

福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲第六章二次型，第七章欧氏空间），[3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起点）.5谢谢观赏2019-5-232.张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2]第八章欧氏3.非数学专业教材两种标准形是紧密出现的

居余马[4]第五章特征值和特征向量、矩阵的对角化

§5.3实对称矩阵的对角化（正交标准形）第六章二次型（主要是实二次型）

同济线性代数[5]第五章相似矩阵及二次型

§5.4对称矩阵的对角化

§5.5二次型及其标准型

§5.6用配方法化二次型成标准型

§5.7正定二次型6谢谢观赏2019-5-233.非数学专业教材两种标准形是紧密出现的居余马[4]第五

中国人大线性代数[6]第四章矩阵的特征值

§4.4

实对称矩阵的对角化第五章二次型7谢谢观赏2019-5-23中国人大线性代数[6]第四章矩阵的特征值§4.新出版的一些高等代数教材

邱维声[7]第五章矩阵的相抵分类与相似分类第六章二次型、矩阵的合同分类这样可将正交标准形同时纳入教学内容8谢谢观赏2019-5-234.新出版的一些高等代数教材邱维声[7]第五章矩阵的相

姚慕生[8]

实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]）第八章二次型

§8.1正交相似标准形

§8.2合同标准形第九章内积空间第十章双线性型9谢谢观赏2019-5-23姚慕生[8]实对称矩阵的正交相似标准型是比

张贤科[9]结构有较大变化，分三部分：Ⅰ基础内容

多项式线性代数线性空间线性变换Ⅱ

深入内容第七章方阵相似标准形与空间分解第八章双线性型、二次型与方阵相合第九章欧几里德空间与酉空间Ⅲ

选学内容10谢谢观赏2019-5-23张贤科[9]结构有较大变化，分三部分：Ⅰ基础内容多项三、几点看法1.

实二次型两种标准形的重要性数学专业教材

新编教材非数学专业教材2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是二次型的两种标准形作为高数四的新增内容.现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同.11谢谢观赏2019-5-23三、几点看法1.实二次型两种标准形的重要性数学专业教材新2.

要注重讨论的几何背景合同标准形可给出二次曲面的仿射分类[9,§8.8二次曲面的仿射分类,定理8.13]定理8.13

对中二次超曲面记分别为的秩、正惯性指数、负惯性指数、符号差；分别为相应的值.则可经仿射变换化此二次超曲面的方程为当当当1）2）3）12谢谢观赏2019-5-232.要注重讨论的几何背景合同标准形可给出二次曲面的仿射分类[9,§9.5二次曲面的正交分解,定理9.12]

定理9.12

设欧几里得空间中二次超曲面在一标准正交基下的方程为实对称方阵的非零特征值，则可经过正交变换化此曲面为下列情形之一：1）（当为的秩）2）（当）

（）3）（当）13谢谢观赏2019-5-23[9,§9.5二次曲面的正交分解,定理9.12]3.

要加强对正交矩阵相关性质的教学

运算性质

与正交标准形相关的矩阵分解

结构性质i)

行(列)向量标准基ii)

元素与代数余子式iii)

特征值14谢谢观赏2019-5-233.要加强对正交矩阵相关性质的教学运算性质与正交标准形应用:i)

分解设,如果,则有唯一的正交矩阵和正上三角矩阵使得.（文献[1]第九章习题14）①

设为阶正定矩阵,则有正上三角矩阵

使（文献[1]第九章习题20）②

设证明存在正交矩阵,使为三角阵的充分必要条件是的特征多项式的根全部是实的.15谢谢观赏2019-5-23应用:i)分解设ⅱ)

矩阵偶(文献[1]第九章补充题10)设

都是实对称矩阵且

是正定的,证明存在实可逆矩阵

,使与同时为对角矩阵.ⅲ)

正定矩阵的正定平方根设

是一个正定矩阵,证明存在一个正定矩阵

,使得

.①可以证明

是唯一的,因此可记②你能否证明:对任意正整数

,正定矩阵

有唯一的

次正定方根使得?③

正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？④

正定矩阵乘积的特征值都是正实数？16谢谢观赏2019-5-23ⅱ)矩阵偶(文献[1]第九章补充题10)设ⅳ)极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）设为可逆矩阵,证明存在正定矩阵和正交矩阵,使得.

①

这种分解是唯一的吗?②

是否有分解形式?

17谢谢观赏2019-5-23ⅳ)极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）设ⅴ)奇异值分解设为可逆矩阵,证明存在正交矩阵和使得①

当

时,上述分解形式有什么变化?②

称为的奇异值,与的特征值是什么关系?18谢谢观赏2019-5-23ⅴ)奇异值分解设为可逆矩阵,参考文献：[1]北京大学编,高等代数（第三版）,高等教育出版社,2003年.[2]张禾瑞,郝鈵新编,高等代数(第四版),高等教育出版社,1999年.[3]陈昭木,陈清华,王华雄,林亚南编著,高等代数(下),福建教育出版社,1992年.[4]居余马,线性代数(第二版),清华大学出版社,2002年.[5]同济大学应用数学系编,线性代数(第四版),高等教育出版社,2003年.[6]吴赣昌主编,线性代数(理工类),中国人民大学出版社,2006年.[7]邱维声,高等代数(上册),高等教育出版社,北京,2002年.[8]姚慕生,高等代数(大学数学学习方法指导丛书),复旦大学出版社,2002年.[9]张贤科,许甫华,高等代数学(第二版),清华大学出版社,2004年.19谢谢观赏2019-5-23参考文献：[1]北京大学编,高等代数（第三版）,高等谢谢!20谢谢观赏2019-5-23谢谢!20谢谢观赏2019-5-23实二次型的合同标准形与正交标准形xxx莆田学院数学系福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会21谢谢观赏2019-5-23实二次型的合同标准形与正交标准形xxx莆田学院数学系福建省《一、二次型的基本问题（1）（1）可被唯一表示为（2）基本问题：（3）其中,可逆22谢谢观赏2019-5-23一、二次型的基本问题（1）（1）可被唯一表示为（2）基本问题常用的实二次型化简2）（5）（5）中为实二次型的正交标准形.1）（4）称（4）为实二次型的合同标准形.其中,可逆,,为正、负惯性指数.23谢谢观赏2019-5-23常用的实二次型化简2）（5）（5）中二、目前的教材处理情况1.北大教材[1]第五章二次型五节内容基本问题：合同标准形第九章欧几里得空间§9.6实对称矩阵的标准形基本问题：正交标准形第十章双线性函数与辛空间§10.3双线性函数将基本知识分散处理于三部分

距离远、联系差24谢谢观赏2019-5-23二、目前的教材处理情况1.北大教材[1]第五章二次型五2.张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2]第八章欧氏空间和酉空间§8.4对称变换和对称矩阵基本问题：正交标准形第九章二次型§9.1-§9.3基本问题：合同标准形§9.4主轴问题、正交标准形

福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲第六章二次型，第七章欧氏空间），[3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起点）.25谢谢观赏2019-5-232.张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2]第八章欧氏3.非数学专业教材两种标准形是紧密出现的

居余马[4]第五章特征值和特征向量、矩阵的对角化

§5.3实对称矩阵的对角化（正交标准形）第六章二次型（主要是实二次型）

同济线性代数[5]第五章相似矩阵及二次型

§5.4对称矩阵的对角化

§5.5二次型及其标准型

§5.6用配方法化二次型成标准型

§5.7正定二次型26谢谢观赏2019-5-233.非数学专业教材两种标准形是紧密出现的居余马[4]第五

中国人大线性代数[6]第四章矩阵的特征值

§4.4

实对称矩阵的对角化第五章二次型27谢谢观赏2019-5-23中国人大线性代数[6]第四章矩阵的特征值§4.新出版的一些高等代数教材

邱维声[7]第五章矩阵的相抵分类与相似分类第六章二次型、矩阵的合同分类这样可将正交标准形同时纳入教学内容28谢谢观赏2019-5-234.新出版的一些高等代数教材邱维声[7]第五章矩阵的相

姚慕生[8]

实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]）第八章二次型

§8.1正交相似标准形

§8.2合同标准形第九章内积空间第十章双线性型29谢谢观赏2019-5-23姚慕生[8]实对称矩阵的正交相似标准型是比

张贤科[9]结构有较大变化，分三部分：Ⅰ基础内容

多项式线性代数线性空间线性变换Ⅱ

深入内容第七章方阵相似标准形与空间分解第八章双线性型、二次型与方阵相合第九章欧几里德空间与酉空间Ⅲ

选学内容30谢谢观赏2019-5-23张贤科[9]结构有较大变化，分三部分：Ⅰ基础内容多项三、几点看法1.

实二次型两种标准形的重要性数学专业教材

新编教材非数学专业教材2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是二次型的两种标准形作为高数四的新增内容.现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同.31谢谢观赏2019-5-23三、几点看法1.实二次型两种标准形的重要性数学专业教材新2.

要注重讨论的几何背景合同标准形可给出二次曲面的仿射分类[9,§8.8二次曲面的仿射分类,定理8.13]定理8.13

对中二次超曲面记分别为的秩、正惯性指数、负惯性指数、符号差；分别为相应的值.则可经仿射变换化此二次超曲面的方程为当当当1）2）3）32谢谢观赏2019-5-232.要注重讨论的几何背景合同标准形可给出二次曲面的仿射分类[9,§9.5二次曲面的正交分解,定理9.12]

定理9.12

设欧几里得空间中二次超曲面在一标准正交基下的方程为实对称方阵的非零特征值，则可经过正交变换化此曲面为下列情形之一：1）（当为的秩）2）（当）

（）3）（当）33谢谢观赏2019-5-23[9,§9.5二次曲面的正交分解,定理9.12]3.

要加强对正交矩阵相关性质的教学

运算性质

与正交标准形相关的矩阵分解

结构性质i)

行(列)向量标准基ii)

元素与代数余子式iii)

特征值34谢谢观赏2019-5-233.要加强对正交矩阵相关性质的教学运算性质与正交标准形应用:i)

分解设,如果,则有唯一的正交矩阵和正上三角矩阵使得.（文献[1]第九章习题14）①

设为阶正定矩阵,则有正上三角矩阵

使（文献[1]第九章习题20）②

设证明存在正交矩阵,使为三角阵的充分必要条件是的特征多项式的根全部是实的.35谢谢观赏2019-5-23应用:i)分解设ⅱ)

矩阵偶(文献[1]第九章补充题10)设

都是实对称矩阵且

是正定的,证明存在实可逆矩阵

,使与同时为对角矩阵.ⅲ)

正定矩阵的正定平方根设

是一个正定矩阵,证明存在一个正定矩阵

,使得

.①可以证明

是唯一的,因此可记②你能否证明:对任意正整数

,正定矩阵

有唯一的

次正定方根使得?③

正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？④

正定矩阵乘积的特征值都是正实数？36谢谢观赏2019-5-23ⅱ)矩阵偶(文献[1]第九章补充题10)设ⅳ)极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）设为可逆矩阵,证明存在正定矩阵和正交矩阵,使得