理论力学动力学课件

理论力学

（运动学）教材:《理论力学》陈国平罗高作主编武汉理工大学出版社参考书:《建筑力学》钟光珞张为民编著中国建材工业出版社《建筑力学》周国瑾等编著同济大学出版社《理论力学》范钦珊主编清华大学出版社理论力学

（运动学）教材:《理论力学》陈110质点动力学10质点动力学2第10章

质点动力学的基本方程§10-1动力学的基本定律★第一定律（惯性定律）★第二定律（力与加速度之间的关系的定律）★第三定律（作用与反作用定律）第10章质点动力学的基本方程§10-1动力学3将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。1.矢量形式2.直角坐标形式§10-2质点运动微分方程的形式X=maxY=may将动力学基本方程表示为微分形式的方程4

3.自然形式质点运动微分方程还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。3.自然形式质点运动微分方程还可有极坐标形51.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）

§10-3质点动力学两类问题解题步骤和要点：①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。⑤求解未知量。1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）6桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：①选重物(抽象为质点)为研究对象

②受力分析如图所示③运动分析，沿以O为圆心,L为半径的圆弧摆动。例1桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度7例题1.曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,

OA=AB=r.滑块B的运动方程为x=2rcos.如滑块B的质量为m,

摩擦及连杆AB的质量不计.求当=t=0时连杆AB所受的力.OAB例题1.曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,8B解:取滑块B为研究对象.由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑块受力如图。NmgFx=2rcos=tax=-2r2cosmax=-FcosF=-2mr2B解:取滑块B为研究对象.由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑9umgs例：质量为m长为l的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u,=0。分析小球的运动。解：1、取研究对象画受力图、确定坐标系2、建立微分方程3、求解并分析小球运动Fn运动微分方程分析小球的运动（微幅摆动）umgs例：质量为m长为l的摆在铅垂面内摆动。初始10④列出自然形式的质点运动微方程⑤求解未知量[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。

②拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。④列出自然形式的质点运动微方程⑤求解未知量11FNa

已知：P，

。求fmin。解:（1）

取物块为研究对象，画受力图PFa

（2）

研究对象运动分析

（3）

列方程求解求知量yx例题2FNa已知：P，。求fmin。解:（1）12§11-1动量与冲量质点的动量——质点的质量与质点速度的乘积质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质点速度的方向一致。其单位为kg·m/s或N·s1动量质点系的动量——质点系中各质点动量的矢量和，称为质点系的动量，又称为质点系动量的主矢。11动量定理§11-1动量与冲量质点的动量——质点的质量与质点速13m1m2mn根据质点系质心的位矢公式zoxyrCCrimivCOvCOCCm1m2mn根据质点系质心的位矢公式zoxyrCCrimiv142冲量力在作用时间上的累积效应——力的冲量

a.常力b.变力冲量为矢量，其单位与动量单位相同为N·s2冲量力在作用时间上的累积效应——力的冲量a.15§11-2动量定理1.质点的动量定理质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上的力在同一时间内的冲量。§11-2动量定理1.质点的动量定理质点动量的增162.质点系的动量定理其中：或：微分形式积分形式2.质点系的动量定理其中：或：微分形式积分形式171.质点的动量矩12.1质点和质点系的动量矩Mo(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxz

MO(mv)=mvh=2△OABMO(mv)定位矢量12动量矩定理1.质点的动量矩12.1质点和质点系的动量矩Mo(182.质点系的动量矩Oriviyxzm1mim2

质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，称为质点系对点O的动量矩。2.质点系的动量矩Oriviyxzm1mim2质19virimiyxz令：

Jz——刚体对z轴的转动惯量★绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。3.定轴转动刚体对转轴的动量矩virimiyxz令：Jz——刚体对z轴的转动惯量202.定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。三、刚体动量矩计算1.平移刚体平移刚体可视为质量集中于质心的质点来计算对点（或轴）的动量矩。

对转轴的动量矩2.定轴转动刚体定轴转动刚213.平面运动刚体质点系对质心的动量矩Oxyzx`y`z`Cmivi动坐标为平移坐标系质点系对O点的动量矩平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。对质心的动量矩用绝对速度和用相对速度计算是相等的。3.平面运动刚体质点系对质心的动量矩Oxyzx`y`z`Cm22动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩平动刚体对转动轴的动量矩wzzJL=刚体平面运动的动量矩动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩平动刚体对转动轴的动量矩wz23解：[例1]滑轮A：m1，R1，J1

滑轮B：m2，R2，J2；R1=2R2

物体C：m3求系统对O轴的动量矩。解：[例1]滑轮A：m1，R1，J124解:v=r。

例2求系统对O轴的动量矩。解:v=r。例2求系统对O轴的动量矩。25例题3.重150N的均质圆盘B与重60N,长24cm的均质直杆AB在B处用铰链连接如图.求系统对A点的动量矩。BABC圆盘B平动,杆AB作定轴转动.例题3.重150N的均质圆盘B与重60N,长24cm的均26=+wlvgWJBBAwvB=+wlvgWJBBAwvB271)质点的动量矩定理★质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。4.动量矩定理)()()()(FMFrvvvrvrvrvMOOmmdtdmdtdmdtdmdtd=´+´=´+´=´=)()(FMvMOOmdtd=1)质点的动量矩定理★质点对某定点的动283.质点系的动量矩定理其中：=)((e)izzMLdtdF★质点系对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和。3.质点系的动量矩定理其中：=)((e)izzML29解：取系统为研究对象

均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OPWvmgFOxFOyWRMoe=)(应用动量矩定理)(eOMotdLd=例题1vRgWJLOO+=wRv=wvRgWRJLOO)(+=WRdtdvRgWRJO=+)(解：取系统为研究对象均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对30virimiF1F2FnFiyxz★质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。12.2刚体绕定轴的转动微分方程)(F=zzΣMJavirimiF1F2FnFiyxz★质刚体对定31aCmgO解：取摆为研究对象求：微小摆动的运动方程已知：m，a，JO。jjsin22mgadtdJO-=摆作微小摆动，有：jjsin022=+jjOJmgadtd例题2aCmgO解：取摆为研究对象求：微小摆动的运动方程已知3212.3刚体对轴的转动惯量2mdJzCJz+=:物体对平行轴的转动惯量dJzJzC:物体对质心轴的转动惯量m:物体的质量:质心轴与平行轴间的距离CBAzCz2)2(lmJCzJz+==212lm+24lm231ml=1.平行轴定理12.3刚体对轴的转动惯量2mdJzCJz+=:物体对平335.回转半径2mρJz=惯性半径(回转半径)=mJzzr5.回转半径2mρJz=惯性半径(回转半径)=mJzzr34OC已知：m，R。解：取圆轮为研究对象mgFOyFOxmgRJO=a2222321mRmRmRJO=+=解得：例题3求：角加速度aOC已知：m，R。解：取圆轮为研究对象mgFOyF3512.4刚体的平面运动微分方程刚体平面运动=刚体随质心平动+刚体绕质心转动刚体平面运动微分方程==yΣFxΣFCxm..Cym..=)(eiCΣMFCJj..12.4刚体的平面运动微分方程刚体平面运动=刚体平36已知：m

，R,f，。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg(a)斜面光滑aC解：取圆轮为研究对象sinΣ===CCxxmamamgFjjajcos0sinmgFgaNC===

圆盘作平动0cos==-=CyNymaFmgFjΣ0==CCMJaΣ例题4已知：m，R,f，。就下列各种情况分析圆盘的运37(b)斜面足够粗糙aRaC=jjjajcossin31sin32sin32mgFmgFRggaNC====CFNaCmgF由

得：

NfFF≤jtan31gf≥满足纯滚的条件：jmaFmgCaFRJC==-=sinΣxFjFmgN=-=0cosΣyF(b)斜面足够粗糙aRaC=jjjajcossin31s38解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：v=r由动量矩定理：已知:。求

;e滑轮重P；半径为r；

PPBA>例5解:取整个系统为研究对象，由动量矩定理：已知:。求3913动能定理13动能定理40质点的动能221mvT=质点系的动能动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同，也为J。13.1质点系和刚体的动能=iiivmT221Σ质点的动能221mvT=质点系的动能动能和动量41刚体的动能a.平动刚体的动能b.定轴转动刚体的动能221CmvT=virimiyxz21wzJT=2刚体的动能a.平动刚体的动能b.定轴转动刚体的动能242c.平面运动刚体的动能PCdvC222121wCCJmvT+=c.平面运动刚体的动能PCdvC222121wCCJm43CvC均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能均质圆盘在平板上作纯滚动时的动能wv例1CvC均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能均质圆盘在平板上作纯滚44vABC解：PP为AB杆的瞬心均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。例2vABC解：PP为AB杆的瞬心均质细杆长为l，质量为m，45a.常力的功b.变力的功FMM1M2S·sFW=jcos功是代数量，其国际单位制为

J（焦耳）。dsFWqdcos=∫=sdsFW0cosq13.2力的功a.常力的功b.变力的功FMM1M2S·sFW=j46c.（1）重力的功x=12-)(21zzmgW重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，与运动轨迹形状无关。质点系：)(2112CCzzmgΣW-=几种常见力的功c.（1）重力的功x=12-)(21zzmgW重47（2）弹性力的功)(22221dd-=kW弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，与力作用点的路径无关。（2）弹性力的功)(22221dd-=kW弹性力的功只与弹簧48当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为力F在刚体从角j1转到j2所作的功为作用于转动刚体上的力的功，力偶的功作用面垂直转轴的常力偶M，则力偶作的功为（3）dsj=dR12)Mj=W1-(j2定轴转动刚体上作用力的功当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为力F在刚体从角j1转到j49（4）平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。（4）平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功等于力系向50MiCFidrCdriCdMiCFidrCdriCd51（5）只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。

刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。但变形体内力功之和不为零。质点系内力的功

刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。（5）只要A、B两点间距离保持不变，内力的元52约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。5.柔索约束（不可伸长的绳索）

拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。3.刚体沿固定面作纯滚动4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）2.固定铰支座、活动铰支座和向心轴承1.光滑固定面约束理想约束力的功（6）约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。5.柔索约束53法向力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(b)圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功(a)动滑动摩擦力的功FN=常量时,W=－f´FNS,与质点的路径有关。圆轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力，不作功!(7)摩擦力的功法向力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(b)54a如图所示滑块重P＝9.8N，弹簧刚度系数k＝0.5N/cm，滑块在A位置时弹簧对滑块的拉力为2.5N，滑块在20N的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B，求作用于滑块上所有力的功的和。解：滑块在任一瞬时受力如图。由于P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算T与F的功。先计算T的功：在运动过程中，T的大小不变，但方向在变，因此T的元功为TPFFN因此T在整个过程中所作的功为T15cmBA20cmx例1a如图所示滑块重P＝9.8N，弹簧刚度系数k＝0.5N/55再计算F的功：由题意：因此F在整个过程中所作的功为因此所有力的功为T15cmBA20cm另外F=kd再计算F的功：由题意：因此F在整个过程中所作的功为因此所有力56一、质点的动能定理：动能定理的微分形式动能定理的积分形式13.3动能定理一、质点的动能定理：动能定理的微分形式动能定理的积分形式1357因此动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得动能定理的积分形式两边点乘以，有牛顿定律因此动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得动能定58OPWv均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度s解：取系统为研究对象222121210wOJvgWTT+==主动力的功：Rv=wWsW=12由动能定理得：WsvRJvgWO=-+02121222将上式对时间求导，并注意vdtdsadtdv==,例题1OPWv均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为J59OPWvs解得：OPWvs解得：60已知：m

，R,f，。求：

纯滚时盘心的加速度。CFNmgvCF解：取系统为研究对象s222121210wCCJmvTT+==RvC=w主动力的功：jsin12mgsW=由动能定理得：jsin0432mgsmvC=-2243CmvT=解得：例题2已知：m，R,f，。求：纯滚时盘61例题3图示系统中,重物A质量为m1,系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D并绕在鼓轮B上，由于重物下降，带动了轮C，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r，轮C的半径为R，两者固连在一起，总，质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为ρ。求重物A下落距离h时的加速度。(绳重不计，绳不可伸长，初始时系统静止)OBCDA例题3图示系统中,重物A质量为m1,系在绳子上，绳子跨过62OBCDAm1gsv解：取系统为研究对象2212121210wPJvmTT+==PrRv+=w由运动学可知：2222RmmJP+=r主动力的功：gsmW112=2222212))((21vrRRmmT+++=r由动能定理得：gsmvrRRmm12222210))((21=-+++rOBCDAm1gsv解：取系统为研究对象22121212163OBCDAm1gsvP解得：OBCDAm1gsvP解得：64OCBPOACBPF已知：轮O质量为m，P，f。求：轮O移动距离S时轮的角速度、角加速度。FTFNmg解：取轮O为研究对象2222222143)21(21210wwwmRmRmRJTTC=+===力的功：mgfsPsW212-=由动能定理得：mgfsPsmR204322-=-w例题4OCBPOACBPF已知：轮O质量为m，P，f。求：65OCBPOACBPFFTFNmg解得：OCBPOACBPFFTFNmg解得：66卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为α，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程

的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为系统在初始及终了两状态的动能分别为aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC例5卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径67其中于是由得解之得aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC其中于是由得解之得aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC68作业求物块A由静止下降至任意位置(x)时的加速度?k,l0OxxABRCrmgmgmg作业求物块A由静止下降至任意位置(x)时的加速度?k,l69人用手推车力是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。一、惯性力的概念[注]质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体反作用力的合力。14动静法14.1.1质点的达朗伯原理

定义：质点惯性力加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。ma=-G14.1达朗伯原理人用手推车力是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状70二、质点的达朗伯原理G=–ma质点的达朗伯原理=maFΣ–=ma0FΣ0+G=FΣ即：在质点运动的任一瞬时,作用于质点上的主动力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。14.1.2质点系的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理G=–ma质点的达朗伯原理=maFΣ–=71列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度。例题1列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运72

角随着加速度的变化而变化，当不变时，角也不变。只要测出角，就能知道列车的加速度。摆式加速计的原理。由动静法,有解得选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力解：角随着加速度的变化而变化，当73O1x1y1离心调速器已知：m1－球A、B的质量；m2－重锤C的质量；l－杆件的长度；－O1y1轴的旋转角速度。求：－的关系。BACllll解：1、分析受力：以球B(或A)和重锤C为研究对象，分析所受的主动力和约束力BFT1FT2m1

gCFT3m2

gFT1′2、分析运动：施加惯性力。球绕O1y1轴作等速圆周运动，惯性力方向与法向加速度方向相反，其值为G＝m1l2sin重锤静止，无惯性力。FI例题2O1x1y1离心调速器已知：m1－球A、B的质量；求：－74BFT1FT2m1

gCFT3m2

gFT1′FI3、应用动静法：对于重锤C对于球BBFT1FT2m1gCFT3m2gFT1′FI3、应用动7514.2刚体惯性力系的简化一、平动刚体的惯性力Gc=–acM作用在质心上二、定轴转动刚体的惯性力Go=–acMGo=–JoM作用在定点三、平面运动刚体的惯性力Gc=–acM=–JcGcM作用在质心上14.2刚体惯性力系的简化一、平动刚体的惯性力Gc=–a76习题1AOCanGτGGcMOCanGτGGcMnma=nGcτma=τGcCaGcMacGGcM习题1AOCanGτGGcMOCanGτGGcMnma=nG77qrC重P、半径为r的均质圆轮沿倾角为q的斜面向下滚动。求轮心C

的加速度。解：以圆轮为研究对象,受力如图,建立如图坐标。圆轮作平面运动,轮心作直线运动,则将惯性力系向质心简化,惯性力和惯性力偶矩的大小为qCrFSFgMgFNPaxyaC则由质点系的达朗伯原理例3qrC重P、半径为r的均质圆轮沿倾角为q的斜面向下滚78

解之得qrCFSFgMgFNPaxyaC解之得qrCFSFgMgFNPaxyaC79均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置，由静止落下。求刚开始落下时杆AB的角加速度及A支座的约束力。解：选杆AB为研究对象，虚加惯性力系：根据动静法，有g2RmlFte=例4gRmaFt=tgRFn==mωR2man均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位80单个物体的动力学问题，用动静法或动力学普遍方程求解区别不大。但是物体系统的动力学问题，用动静法求解比用动力学普遍方程求解简单得多。解方程得：特别注意：在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时，必须按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向相反(考虑负号)的原则画出。在方程中只需按其数值的大小代入，不能再带负号！单个物体的动力学问题，用动静法或解方程得：特别注意：在画虚加81质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。取系统为研究对象解：方法1用达朗伯原理求解例质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半82虚加惯性力和惯性力偶：由质点系的达兰贝尔原理：列补充方程： 代入上式得：虚加惯性力和惯性力偶：由质点系的达兰贝尔原理：列补充方程： 83习题2CAO1BO2AO1CABnGnma=nGcτma=τGc2L=mα2L=mω2Go=JoMnG习题2CAO1BO2AO1CABnGnma=nGcτma84习题3一

图示系统中，物块A和半径为R的均质圆轮B的质量均为m1，圆轮B可在水平面上作纯滚动；均质定滑轮C的半径为r，质量为m2，弹簧刚度为k，初始时系统处于静止，且弹簧恰为原长。试用动能定理求物块A下降距离s时的速度和加速度。绳子的质量和轴C处的摩擦忽略不计。

AkCB习题3一图示系统中，物块A和半径为R的均质圆轮B的质量均为85AkCB2T=10T=p21pJ2Bω+21CJ2Cω+221v1m2Rv=BωW=pJ=231m212R+1m2R=1m2RCJ=2m212rrv=Cω1mg–21k21(s)22T=–1TW41128212mmksgma+-=4112162122mmksgsmV+-=AkCB2T=10T=p21pJ2Bω+21CJ2Cω+2286理论力学

（运动学）教材:《理论力学》陈国平罗高作主编武汉理工大学出版社参考书:《建筑力学》钟光珞张为民编著中国建材工业出版社《建筑力学》周国瑾等编著同济大学出版社《理论力学》范钦珊主编清华大学出版社理论力学

（运动学）教材:《理论力学》陈8710质点动力学10质点动力学88第10章

质点动力学的基本方程§10-1动力学的基本定律★第一定律（惯性定律）★第二定律（力与加速度之间的关系的定律）★第三定律（作用与反作用定律）第10章质点动力学的基本方程§10-1动力学89将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。1.矢量形式2.直角坐标形式§10-2质点运动微分方程的形式X=maxY=may将动力学基本方程表示为微分形式的方程90

3.自然形式质点运动微分方程还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。3.自然形式质点运动微分方程还可有极坐标形911.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）

§10-3质点动力学两类问题解题步骤和要点：①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。⑤求解未知量。1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）92桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：①选重物(抽象为质点)为研究对象

②受力分析如图所示③运动分析，沿以O为圆心,L为半径的圆弧摆动。例1桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度93例题1.曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,

OA=AB=r.滑块B的运动方程为x=2rcos.如滑块B的质量为m,

摩擦及连杆AB的质量不计.求当=t=0时连杆AB所受的力.OAB例题1.曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,94B解:取滑块B为研究对象.由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑块受力如图。NmgFx=2rcos=tax=-2r2cosmax=-FcosF=-2mr2B解:取滑块B为研究对象.由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑95umgs例：质量为m长为l的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u,=0。分析小球的运动。解：1、取研究对象画受力图、确定坐标系2、建立微分方程3、求解并分析小球运动Fn运动微分方程分析小球的运动（微幅摆动）umgs例：质量为m长为l的摆在铅垂面内摆动。初始96④列出自然形式的质点运动微方程⑤求解未知量[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。

②拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。④列出自然形式的质点运动微方程⑤求解未知量97FNa

已知：P，

。求fmin。解:（1）

取物块为研究对象，画受力图PFa

（2）

研究对象运动分析

（3）

列方程求解求知量yx例题2FNa已知：P，。求fmin。解:（1）98§11-1动量与冲量质点的动量——质点的质量与质点速度的乘积质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质点速度的方向一致。其单位为kg·m/s或N·s1动量质点系的动量——质点系中各质点动量的矢量和，称为质点系的动量，又称为质点系动量的主矢。11动量定理§11-1动量与冲量质点的动量——质点的质量与质点速99m1m2mn根据质点系质心的位矢公式zoxyrCCrimivCOvCOCCm1m2mn根据质点系质心的位矢公式zoxyrCCrimiv1002冲量力在作用时间上的累积效应——力的冲量

a.常力b.变力冲量为矢量，其单位与动量单位相同为N·s2冲量力在作用时间上的累积效应——力的冲量a.101§11-2动量定理1.质点的动量定理质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上的力在同一时间内的冲量。§11-2动量定理1.质点的动量定理质点动量的增1022.质点系的动量定理其中：或：微分形式积分形式2.质点系的动量定理其中：或：微分形式积分形式1031.质点的动量矩12.1质点和质点系的动量矩Mo(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxz

MO(mv)=mvh=2△OABMO(mv)定位矢量12动量矩定理1.质点的动量矩12.1质点和质点系的动量矩Mo(1042.质点系的动量矩Oriviyxzm1mim2

质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，称为质点系对点O的动量矩。2.质点系的动量矩Oriviyxzm1mim2质105virimiyxz令：

Jz——刚体对z轴的转动惯量★绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。3.定轴转动刚体对转轴的动量矩virimiyxz令：Jz——刚体对z轴的转动惯量1062.定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。三、刚体动量矩计算1.平移刚体平移刚体可视为质量集中于质心的质点来计算对点（或轴）的动量矩。

对转轴的动量矩2.定轴转动刚体定轴转动刚1073.平面运动刚体质点系对质心的动量矩Oxyzx`y`z`Cmivi动坐标为平移坐标系质点系对O点的动量矩平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。对质心的动量矩用绝对速度和用相对速度计算是相等的。3.平面运动刚体质点系对质心的动量矩Oxyzx`y`z`Cm108动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩平动刚体对转动轴的动量矩wzzJL=刚体平面运动的动量矩动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩平动刚体对转动轴的动量矩wz109解：[例1]滑轮A：m1，R1，J1

滑轮B：m2，R2，J2；R1=2R2

物体C：m3求系统对O轴的动量矩。解：[例1]滑轮A：m1，R1，J1110解:v=r。

例2求系统对O轴的动量矩。解:v=r。例2求系统对O轴的动量矩。111例题3.重150N的均质圆盘B与重60N,长24cm的均质直杆AB在B处用铰链连接如图.求系统对A点的动量矩。BABC圆盘B平动,杆AB作定轴转动.例题3.重150N的均质圆盘B与重60N,长24cm的均112=+wlvgWJBBAwvB=+wlvgWJBBAwvB1131)质点的动量矩定理★质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。4.动量矩定理)()()()(FMFrvvvrvrvrvMOOmmdtdmdtdmdtdmdtd=´+´=´+´=´=)()(FMvMOOmdtd=1)质点的动量矩定理★质点对某定点的动1143.质点系的动量矩定理其中：=)((e)izzMLdtdF★质点系对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和。3.质点系的动量矩定理其中：=)((e)izzML115解：取系统为研究对象

均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OPWvmgFOxFOyWRMoe=)(应用动量矩定理)(eOMotdLd=例题1vRgWJLOO+=wRv=wvRgWRJLOO)(+=WRdtdvRgWRJO=+)(解：取系统为研究对象均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对116virimiF1F2FnFiyxz★质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。12.2刚体绕定轴的转动微分方程)(F=zzΣMJavirimiF1F2FnFiyxz★质刚体对定117aCmgO解：取摆为研究对象求：微小摆动的运动方程已知：m，a，JO。jjsin22mgadtdJO-=摆作微小摆动，有：jjsin022=+jjOJmgadtd例题2aCmgO解：取摆为研究对象求：微小摆动的运动方程已知11812.3刚体对轴的转动惯量2mdJzCJz+=:物体对平行轴的转动惯量dJzJzC:物体对质心轴的转动惯量m:物体的质量:质心轴与平行轴间的距离CBAzCz2)2(lmJCzJz+==212lm+24lm231ml=1.平行轴定理12.3刚体对轴的转动惯量2mdJzCJz+=:物体对平1195.回转半径2mρJz=惯性半径(回转半径)=mJzzr5.回转半径2mρJz=惯性半径(回转半径)=mJzzr120OC已知：m，R。解：取圆轮为研究对象mgFOyFOxmgRJO=a2222321mRmRmRJO=+=解得：例题3求：角加速度aOC已知：m，R。解：取圆轮为研究对象mgFOyF12112.4刚体的平面运动微分方程刚体平面运动=刚体随质心平动+刚体绕质心转动刚体平面运动微分方程==yΣFxΣFCxm..Cym..=)(eiCΣMFCJj..12.4刚体的平面运动微分方程刚体平面运动=刚体平122已知：m

，R,f，。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg(a)斜面光滑aC解：取圆轮为研究对象sinΣ===CCxxmamamgFjjajcos0sinmgFgaNC===

圆盘作平动0cos==-=CyNymaFmgFjΣ0==CCMJaΣ例题4已知：m，R,f，。就下列各种情况分析圆盘的运123(b)斜面足够粗糙aRaC=jjjajcossin31sin32sin32mgFmgFRggaNC====CFNaCmgF由

得：

NfFF≤jtan31gf≥满足纯滚的条件：jmaFmgCaFRJC==-=sinΣxFjFmgN=-=0cosΣyF(b)斜面足够粗糙aRaC=jjjajcossin31s124解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：v=r由动量矩定理：已知:。求

;e滑轮重P；半径为r；

PPBA>例5解:取整个系统为研究对象，由动量矩定理：已知:。求12513动能定理13动能定理126质点的动能221mvT=质点系的动能动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同，也为J。13.1质点系和刚体的动能=iiivmT221Σ质点的动能221mvT=质点系的动能动能和动量127刚体的动能a.平动刚体的动能b.定轴转动刚体的动能221CmvT=virimiyxz21wzJT=2刚体的动能a.平动刚体的动能b.定轴转动刚体的动能2128c.平面运动刚体的动能PCdvC222121wCCJmvT+=c.平面运动刚体的动能PCdvC222121wCCJm129CvC均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能均质圆盘在平板上作纯滚动时的动能wv例1CvC均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能均质圆盘在平板上作纯滚130vABC解：PP为AB杆的瞬心均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。例2vABC解：PP为AB杆的瞬心均质细杆长为l，质量为m，131a.常力的功b.变力的功FMM1M2S·sFW=jcos功是代数量，其国际单位制为

J（焦耳）。dsFWqdcos=∫=sdsFW0cosq13.2力的功a.常力的功b.变力的功FMM1M2S·sFW=j132c.（1）重力的功x=12-)(21zzmgW重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，与运动轨迹形状无关。质点系：)(2112CCzzmgΣW-=几种常见力的功c.（1）重力的功x=12-)(21zzmgW重133（2）弹性力的功)(22221dd-=kW弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，与力作用点的路径无关。（2）弹性力的功)(22221dd-=kW弹性力的功只与弹簧134当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为力F在刚体从角j1转到j2所作的功为作用于转动刚体上的力的功，力偶的功作用面垂直转轴的常力偶M，则力偶作的功为（3）dsj=dR12)Mj=W1-(j2定轴转动刚体上作用力的功当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为力F在刚体从角j1转到j135（4）平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。（4）平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功等于力系向136MiCFidrCdriCdMiCFidrCdriCd137（5）只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。

刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。但变形体内力功之和不为零。质点系内力的功

刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。（5）只要A、B两点间距离保持不变，内力的元138约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。5.柔索约束（不可伸长的绳索）

拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。3.刚体沿固定面作纯滚动4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）2.固定铰支座、活动铰支座和向心轴承1.光滑固定面约束理想约束力的功（6）约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。5.柔索约束139法向力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(b)圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功(a)动滑动摩擦力的功FN=常量时,W=－f´FNS,与质点的路径有关。圆轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力，不作功!(7)摩擦力的功法向力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(b)140a如图所示滑块重P＝9.8N，弹簧刚度系数k＝0.5N/cm，滑块在A位置时弹簧对滑块的拉力为2.5N，滑块在20N的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B，求作用于滑块上所有力的功的和。解：滑块在任一瞬时受力如图。由于P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算T与F的功。先计算T的功：在运动过程中，T的大小不变，但方向在变，因此T的元功为TPFFN因此T在整个过程中所作的功为T15cmBA20cmx例1a如图所示滑块重P＝9.8N，弹簧刚度系数k＝0.5N/141再计算F的功：由题意：因此F在整个过程中所作的功为因此所有力的功为T15cmBA20cm另外F=kd再计算F的功：由题意：因此F在整个过程中所作的功为因此所有力142一、质点的动能定理：动能定理的微分形式动能定理的积分形式13.3动能定理一、质点的动能定理：动能定理的微分形式动能定理的积分形式13143因此动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得动能定理的积分形式两边点乘以，有牛顿定律因此动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得动能定144OPWv均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度s解：取系统为研究对象222121210wOJvgWTT+==主动力的功：Rv=wWsW=12由动能定理得：WsvRJvgWO=-+02121222将上式对时间求导，并注意vdtdsadtdv==,例题1OPWv均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为J145OPWvs解得：OPWvs解得：146已知：m

，R,f，。求：

纯滚时盘心的加速度。CFNmgvCF解：取系统为研究对象s222121210wCCJmvTT+==RvC=w主动力的功：jsin12mgsW=由动能定理得：jsin0432mgsmvC=-2243CmvT=解得：例题2已知：m，R,f，。求：纯滚时盘147例题3图示系统中,重物A质量为m1,系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D并绕在鼓轮B上，由于重物下降，带动了轮C，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r，轮C的半径为R，两者固连在一起，总，质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为ρ。求重物A下落距离h时的加速度。(绳重不计，绳不可伸长，初始时系统静止)OBCDA例题3图示系统中,重物A质量为m1,系在绳子上，绳子跨过148OBCDAm1gsv解：取系统为研究对象2212121210wPJvmTT+==PrRv+=w由运动学可知：2222RmmJP+=r主动力的功：gsmW112=2222212))((21vrRRmmT+++=r由动能定理得：gsmvrRRmm12222210))((21=-+++rOBCDAm1gsv解：取系统为研究对象221212121149OBCDAm1gsvP解得：OBCDAm1gsvP解得：150OCBPOACBPF已知：轮O质量为m，P，f。求：轮O移动距离S时轮的角速度、角加速度。FTFNmg解：取轮O为研究对象2222222143)21(21210wwwmRmRmRJTTC=+===力的功：mgfsPsW212-=由动能定理得：mgfsPsmR204322-=-w例题4OCBPOACBPF已知：轮O质量为m，P，f。求：151OCBPOACBPFFTFNmg解得：OCBPOACBPFFTFNmg解得：152卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为α，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程

的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为系统在初始及终了两状态的动能分别为aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC例5卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径153其中于是由得解之得aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC其中于是由得解之得aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC154作业求物块A由静止下降至任意位置(x)时的加速度?k,l0OxxABRCrmgmgmg作业求物块A由静止下降至任意位置(x)时的加速度?k,l155人用手推车力是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。一、惯性力的概念[注]质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体反作用力的合力。14动静法14.1.1质点的达朗伯原理

定义：质点惯性力加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。ma=-G14.1达朗伯原理人用手推车力是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状156二、质点的达朗伯原理G=–ma质点的达朗伯原理=maFΣ–=ma0FΣ0+G=FΣ即：在质点运动的任一瞬时,作用于质点上的主动力、约束力和假想加在质点上的惯性力构