大学数学函数的极限课件

类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。对于数列极限故很自然地函数的极限又如：当时，，记作相似地类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中1

或定义1设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ,使得当x

满足不等式0<|x－x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式，|f(x)－A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作语言表述当时有则自变量趋于有限值时函数的极限或定义1设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如21）表示时有无极限与

有无定义没有关系.2）任意给定后，才能找到，依赖于，且越小，越小.3）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.注1）表示3xOy函数极限的几何解释如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ邻域(x0-δ,x0+δ),当x在邻域(x0-δ,x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。xOy函数极限的几何解释如果函数f(x)当x→x0时极限为A4证函数在点x=1处没有定义.例1证明要使只要取当时,就有证函数在点x=1处没有定义.例1证明要使只要取当5例2证明(C为常数)证要使成立,例3证明证取当时,成立,可任取一当时要使例2证明(C为常数6左极限left-handlimit

右极限right-handlimitx仅从x0

的左侧趋于x0，记作或x仅从x0

的右侧趋于x0，记作或左极限与右极限左极限left-handlimit右极限7考虑符号函数现在考虑x

从左右两个方向趋于0时f(x)的极限右极限左极限yxo1-1从右边趋于0从左边趋于0左右极限不相等证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等考虑符号函数现在考虑x从左右两个方向趋于0时f(8例题yxo例题yxo9自变量趋于无穷大时函数的极限设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)－A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限即自变量趋于无穷大时函数的极限设函数f(x)当|x|大于某一10的方式有两种可能：（且无限增大）（且无限增大）注

且若或不存在,则不存在.若,则不存在.几何意义yxO-XX如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A-ε和y=A+ε,则总存在一个正数X，使得当x<－X或x>X时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间.的方式有两种可11yxoy=arctanx观察y=arctanx的图像从图像容易看出结果xyoy=1/x所以yxoy=arctanx观察y=arctanx的12yxoyxo考虑函数f(x)=ax,分a>1,,0<a<1两种情形下，分别求x→+∞,x→－∞，x→∞时f(x)的极限。所以，都不存在。yxoyxo考虑函数f(x)=ax13大学数学函数的极限课件14函数极限的性质唯一性函数f(x)当x→x0时极限存在，则极限必唯一.局部有界性如果存在，则函数在点的某个去心邻域内有界。局部保号性设（1）若（或），则，使得有（或）（2）若存在点的去心邻域，使得，有（或），则推论:

如果，且当时，则，即

函数极限的性质唯一性局部有界性如果存在，则函数15如果函数f(x)在某个极限过程中的极限为零，那么就称f(x)是此极限过程的无穷小（量）无穷小举例

无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固定数。但0可以作为无穷小的唯一一个常数.都是无穷小量是无穷小量是无穷小量与与无穷小不能说函数

f(x)是无穷小,应该说在什么情况下的无穷小.即无穷小与自变量的变化过程有关.如时是无穷小，但时，则不是无穷小。如果函数f(x)在某个极限过程中的极限16无穷小的性质定理1

极限与无穷小的关系即其中两个无穷小的和或差，仍是无穷小。有限个无穷小的代数和仍是无穷小。有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小。例如，因为所以同理无穷小的性质定理1极限与无穷小的关系即其中两个无穷小的17

如果函数f(x)在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值可以无限增大，那么就称f(x)是此极限过程的无穷大（量）。只有一种趋势包括两种趋势

如无穷大如果函数f(x)在某个极限过程中，对应18观察函数y=1/x的图像再考察函数y=lnx注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。xyoy=1/xyxoy=lnx观察函数y=1/x的图像再考察函数y=lnx19无穷小和无穷大的关系

在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且无穷小和无穷大的运算法则以下A表示有极限的函数，K表示有界函数，C代表常数结果不定，称为未定式无穷小和无穷大的关系在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是20极限的四则运算法则注：

设有数列和.如果则1)2)3)当且时,

极限的四则运算法则注：设有数列和21例２求解这里分母的极限不为零,故小结:例１求解例２求解这里分母的极限不为零,故小结:例１求22例３求解例４求解例３求解例４求解23例５求解例６求解例７求解例５求解例６求解例７求解24大学数学函数的极限课件25因式分解消除零因子有理化消除零因子因式分解有理化26消除零因子例９求解消除零因子例９求解27思考由题设知，分子必须是x的零次多项式解答思考由题设知，分子必须是x的零次多项式解28由x→0得3x→0即u→0重要极限Ⅰ的应用举例重要极限Ⅰ重要极限Ⅰ的应用举例重要极限Ⅰ29(6)

(6)30例重要极限Ⅱ的应用举例公式特点：例重要极限Ⅱ的应用举例公式特点：31大学数学函数的极限课件32定义无穷小的比较定义无穷小的比较33例比较下列两个无穷小低阶高阶同阶练一练无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度：高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。例比较下列两个无穷小低阶高阶同阶练一练无穷小的阶34求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可用等价无穷小来替换。适当替换可以简化极限的计算。等价无穷小替换定理证明求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可用等价35常用等价无穷小常用等价无穷小36练一练练一练37例题求极限解原式注意：如果，则，但是不等价。!例题求极限解原式注意：如果，则，但是不等价。!38类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。对于数列极限故很自然地函数的极限又如：当时，，记作相似地类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中39

或定义1设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ,使得当x

满足不等式0<|x－x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式，|f(x)－A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作语言表述当时有则自变量趋于有限值时函数的极限或定义1设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如401）表示时有无极限与

有无定义没有关系.2）任意给定后，才能找到，依赖于，且越小，越小.3）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.注1）表示41xOy函数极限的几何解释如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ邻域(x0-δ,x0+δ),当x在邻域(x0-δ,x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。xOy函数极限的几何解释如果函数f(x)当x→x0时极限为A42证函数在点x=1处没有定义.例1证明要使只要取当时,就有证函数在点x=1处没有定义.例1证明要使只要取当43例2证明(C为常数)证要使成立,例3证明证取当时,成立,可任取一当时要使例2证明(C为常数44左极限left-handlimit

右极限right-handlimitx仅从x0

的左侧趋于x0，记作或x仅从x0

的右侧趋于x0，记作或左极限与右极限左极限left-handlimit右极限45考虑符号函数现在考虑x

从左右两个方向趋于0时f(x)的极限右极限左极限yxo1-1从右边趋于0从左边趋于0左右极限不相等证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等考虑符号函数现在考虑x从左右两个方向趋于0时f(46例题yxo例题yxo47自变量趋于无穷大时函数的极限设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)－A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限即自变量趋于无穷大时函数的极限设函数f(x)当|x|大于某一48的方式有两种可能：（且无限增大）（且无限增大）注

且若或不存在,则不存在.若,则不存在.几何意义yxO-XX如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A-ε和y=A+ε,则总存在一个正数X，使得当x<－X或x>X时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间.的方式有两种可49yxoy=arctanx观察y=arctanx的图像从图像容易看出结果xyoy=1/x所以yxoy=arctanx观察y=arctanx的50yxoyxo考虑函数f(x)=ax,分a>1,,0<a<1两种情形下，分别求x→+∞,x→－∞，x→∞时f(x)的极限。所以，都不存在。yxoyxo考虑函数f(x)=ax51大学数学函数的极限课件52函数极限的性质唯一性函数f(x)当x→x0时极限存在，则极限必唯一.局部有界性如果存在，则函数在点的某个去心邻域内有界。局部保号性设（1）若（或），则，使得有（或）（2）若存在点的去心邻域，使得，有（或），则推论:

如果，且当时，则，即

函数极限的性质唯一性局部有界性如果存在，则函数53如果函数f(x)在某个极限过程中的极限为零，那么就称f(x)是此极限过程的无穷小（量）无穷小举例

无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固定数。但0可以作为无穷小的唯一一个常数.都是无穷小量是无穷小量是无穷小量与与无穷小不能说函数

f(x)是无穷小,应该说在什么情况下的无穷小.即无穷小与自变量的变化过程有关.如时是无穷小，但时，则不是无穷小。如果函数f(x)在某个极限过程中的极限54无穷小的性质定理1

极限与无穷小的关系即其中两个无穷小的和或差，仍是无穷小。有限个无穷小的代数和仍是无穷小。有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小。例如，因为所以同理无穷小的性质定理1极限与无穷小的关系即其中两个无穷小的55

如果函数f(x)在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值可以无限增大，那么就称f(x)是此极限过程的无穷大（量）。只有一种趋势包括两种趋势

如无穷大如果函数f(x)在某个极限过程中，对应56观察函数y=1/x的图像再考察函数y=lnx注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。xyoy=1/xyxoy=lnx观察函数y=1/x的图像再考察函数y=lnx57无穷小和无穷大的关系

在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且无穷小和无穷大的运算法则以下A表示有极限的函数，K表示有界函数，C代表常数结果不定，称为未定式无穷小和无穷大的关系在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是58极限的四则运算法则注：

设有数列