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文档简介
平面的基本性质—共点共线共面平面的基本性质—共点共线共面公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面推论1
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面知识回顾公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所(2)公理2:
“共点”、“共线”、“共面”问题(3)公理3,推论1、2、3:2、反证法1、理论依据:(1)公理1:判定两平面相交证点、线共面的依据,确定平面也是作辅助面的依据(“点共线”,“线共点”)判断或证明直线是否在平面内确定两个平面的交线,(2)公理2:“共点”、“共线”、“共面”问题(3)公理点共面、线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法.1.证明若干点或直线共面通常有两种思路(1)先由部分元素确定一个平面,再证明其余元素在这平面内.(2)先由部分元素确定若干平面,再证明这些平面重合。2.证明三点共线,通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线,再证明第三点是这两个平面的公共点,即该点分别在这两个平面内.3.证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点,然后再证第三条直线经过这一点。点共面、线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法.1.证明若已知:如图1-26,α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,b∩c=p.求证:p∈a.证明:∵b∩c=p,∴p∈b.∵β∩γ=b,∴p∈β.同理,p∈α.又∵α∩β=a,∴p∈a.例、两个平面两两相交,有三条交线,若其中两条相交于一点,证明第三条交线也过这一点.证法:先证两条交线交于一点,再证第三条直线也过改点已知:如图1-26,α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,b∩例2、如图:在四面体ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,G,H分别在CD,AD上,且DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)求证:直线EH与FG,BD相交于一点例2、如图:在四面体ABCD中,E,F分别BAQRCP证明:同理Q、R也为公共点所以P、Q、R共线要证明各点共线,只要证明它们是两个平面的公共点例2、已知△ABC在平面α外,它的的三条边所在直线分别交平面α于P、Q、R
求证:P、Q、R共线BAQRCP证明:同理Q、R也为公共点所以P、Q、R共线要证3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面经过D,E两点(1)求直线AB与平面的交点P(2)求证:D,E,P三点共线.ABCDEP3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,A例1、已知四条直线两两相交,且不共点,求证这四条直线在同一平面内已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点求证:a、
b、c、d在同一平面内分析:四条直线两两相交且不共点,可能有两种:一是有三条直线共点;二是没有三条直线共点,故证明要分两种情况.例1、已知四条直线两两相交,且不共点,求证这四条直线在同一平(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.d∩c=R,a、b、c相交于点O.求证:a、b、c、d共面.证明:∵d∩a=P,∴过d、a确定一个平面α(推论2).同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ.∵O∈a,O∈b,O∈c,∴O∈α,O∈β,O∈γ.∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O.∴α、β、γ重合.∴a、b、c、d共面.注:本题的方法是“同一法”.(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.d∩c=R,a、b、c相(2)已知:d∩a=P,d∩b=Q,d∩c=R,a∩b=M,b∩c=N,a∩c=S,且无三线共点.求证:a、b、c、d共面证明:∵d∩a=P,∴d和a确定一个平面α(推论2).∵a∩b=M,d∩b=Q,∴M∈α,Q∈α.∴a、b、c、d四线共面.(2)已知:d∩a=P,d∩b=Q,d∩c=R,a∩b=M,已知:直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C求证:a,b,c,l共面aA证明:又∵a∩l=A,b∩l=B,
∵a∥b∴a,b,c,l共面bcBCl已知:直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=CaA例1:已知:Al,
Bl,Cl,Dl,求证:直线AD,BD,CD在同一平面内.证明:∵Dl,
∴点D与直线l可以确定平面(推论1)lBACD∵Al∴A
又D∴AD平面(公理1)同理:BD平面,CD平面∴直线AD,BD,CD在同一平面内例1:已知:Al,Bl,Cl,Dl,证明:∵共面问题:例题4:已知三条平行线a,b,c都与直线d相交,求证:四条直线共面。Cd共面问题:Cd2.已知:空间四点A、B、C、D不在同一个平面内,求证:直线AB和CD既不相交也不平行.反证法
ABCD2.已知:空间四点A、B、C、D不在同一个平面内,反证法AB1、要证“点共面”
、“线共面”可先由部分点、直线确定一平面,在证其余点、直线也在此平面内,小结2、反证法的应用的意识即纳入法1、要证“点共面”、“线共面”可先由部分点、直线确定一平面1.空间四点A、B、C、D共面但不共线,则下列结论成立的是()A.四点中必有三点共线.B.四点中有三点不共线.C.AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条平行.D.直线AB与CD必相交.课堂练习1.空间四点A、B、C、D共面但不共线,则下列结论成立的是(2.下列命题中,①有三个公共点的两个平面重合;②梯形的四个顶点在同一平面内;③三条互相平行的直线必共面;④两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题个数是()A.0B.1C.2D.32.下列命题中,①有三个公共点的两个平面重合;②梯形的四个顶3.空间五个点,没有三点共线,但有四点共面,这样的五个点可以确定平面数最多为()A.3B.5C.6D.74.直线l1//l2,在l1上取三点,在l2上取两点,由这五个点能确_____个平面.3.空间五个点,没有三点共线,但有四点共面,这样的五个点可以
填空题:(2)两个平面可以把空间分成________部分,三个平面呢?_________________。(1)三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,四条直线相交于一点呢?_____________。最多确定的平面数是_______;看看答案吧看看答案吧363或44,6或7,8看看答案吧填空题:(2)两个平面可以把空间分成________部3条直线相交于一点时:三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确定3个。(1)、3条直线共面时(2)、每2条直线确定一平面时3条直线相交于一点时:三条直线相交于一点,用其4条直线相交于一点时:三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确定6个。(1)、4条直线全共面时(2)、有3条直线共面时(c)、每2条直线都确定一平面时4条直线相交于一点时:三条直线相交于一点,用2个平面分空间有两种情况:两个平面把空间分成3或4个部分。(1)两平面没有公共点时(2)两平面有公共点时2个平面分空间有两种情况:两个平面把空间分成3或4个部分。(3个平面(2)(1)(3)(4)(5)3个平面把空间分成4,6,7或8个部分。3个平面(2)(1)(3)(4)(5)3个平面把空间分成4,平面的基本性质—共点共线共面平面的基本性质—共点共线共面公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面推论1
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面知识回顾公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所(2)公理2:
“共点”、“共线”、“共面”问题(3)公理3,推论1、2、3:2、反证法1、理论依据:(1)公理1:判定两平面相交证点、线共面的依据,确定平面也是作辅助面的依据(“点共线”,“线共点”)判断或证明直线是否在平面内确定两个平面的交线,(2)公理2:“共点”、“共线”、“共面”问题(3)公理点共面、线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法.1.证明若干点或直线共面通常有两种思路(1)先由部分元素确定一个平面,再证明其余元素在这平面内.(2)先由部分元素确定若干平面,再证明这些平面重合。2.证明三点共线,通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线,再证明第三点是这两个平面的公共点,即该点分别在这两个平面内.3.证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点,然后再证第三条直线经过这一点。点共面、线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法.1.证明若已知:如图1-26,α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,b∩c=p.求证:p∈a.证明:∵b∩c=p,∴p∈b.∵β∩γ=b,∴p∈β.同理,p∈α.又∵α∩β=a,∴p∈a.例、两个平面两两相交,有三条交线,若其中两条相交于一点,证明第三条交线也过这一点.证法:先证两条交线交于一点,再证第三条直线也过改点已知:如图1-26,α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,b∩例2、如图:在四面体ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,G,H分别在CD,AD上,且DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)求证:直线EH与FG,BD相交于一点例2、如图:在四面体ABCD中,E,F分别BAQRCP证明:同理Q、R也为公共点所以P、Q、R共线要证明各点共线,只要证明它们是两个平面的公共点例2、已知△ABC在平面α外,它的的三条边所在直线分别交平面α于P、Q、R
求证:P、Q、R共线BAQRCP证明:同理Q、R也为公共点所以P、Q、R共线要证3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面经过D,E两点(1)求直线AB与平面的交点P(2)求证:D,E,P三点共线.ABCDEP3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,A例1、已知四条直线两两相交,且不共点,求证这四条直线在同一平面内已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点求证:a、
b、c、d在同一平面内分析:四条直线两两相交且不共点,可能有两种:一是有三条直线共点;二是没有三条直线共点,故证明要分两种情况.例1、已知四条直线两两相交,且不共点,求证这四条直线在同一平(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.d∩c=R,a、b、c相交于点O.求证:a、b、c、d共面.证明:∵d∩a=P,∴过d、a确定一个平面α(推论2).同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ.∵O∈a,O∈b,O∈c,∴O∈α,O∈β,O∈γ.∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O.∴α、β、γ重合.∴a、b、c、d共面.注:本题的方法是“同一法”.(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.d∩c=R,a、b、c相(2)已知:d∩a=P,d∩b=Q,d∩c=R,a∩b=M,b∩c=N,a∩c=S,且无三线共点.求证:a、b、c、d共面证明:∵d∩a=P,∴d和a确定一个平面α(推论2).∵a∩b=M,d∩b=Q,∴M∈α,Q∈α.∴a、b、c、d四线共面.(2)已知:d∩a=P,d∩b=Q,d∩c=R,a∩b=M,已知:直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C求证:a,b,c,l共面aA证明:又∵a∩l=A,b∩l=B,
∵a∥b∴a,b,c,l共面bcBCl已知:直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=CaA例1:已知:Al,
Bl,Cl,Dl,求证:直线AD,BD,CD在同一平面内.证明:∵Dl,
∴点D与直线l可以确定平面(推论1)lBACD∵Al∴A
又D∴AD平面(公理1)同理:BD平面,CD平面∴直线AD,BD,CD在同一平面内例1:已知:Al,Bl,Cl,Dl,证明:∵共面问题:例题4:已知三条平行线a,b,c都与直线d相交,求证:四条直线共面。Cd共面问题:Cd2.已知:空间四点A、B、C、D不在同一个平面内,求证:直线AB和CD既不相交也不平行.反证法
ABCD2.已知:空间四点A、B、C、D不在同一个平面内,反证法AB1、要证“点共面”
、“线共面”可先由部分点、直线确定一平面,在证其余点、直线也在此平面内,小结2、反证法的应用的意识即纳入法1、要证“点共面”、“线共面”可先由部分点、直线确定一平面1.空间四点A、B、C、D共面但不共线,则下列结论成立的是()A.四点中必有三点共线.B.四点中有三点不共线.C.AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条平行.D.直线AB与CD必相交.课堂练习1.空间四点A、B、C、D共面但不共线,则下列结论成立的是(2.下列命题中,①有三个公共点的两个平面重合;②梯形的四个顶点在同一平面内;③三条互相平行的直线必共面;④两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题个数是()A.0B.1C.2D.32.下列命题中,①有三个公共点的两个平面重合;②梯形的四个顶3.空间五个点,没有三点共线,但有四点共面,这样的五个点可以确定平面数最多为
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