函数的单调性(公开课课件)很赞(教师教材)

1.3.1函数的单调性

第一课时1青苗辅导1.3.1函数的单调性1青苗辅导

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：测试时间t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆保留量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆保留量y是时间t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo204060801002青苗辅导德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲线”，你能发现什么规律？tyo20406080100123函数的单调性思考2:我们发现随着时间t的增加，记忆保留量y在不断减少；从图象上来看，从左至右图象是在逐渐下降的。3青苗辅导思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲线”，你能发现什么规律？tyo2xyo-1xOy1124-1-211.从左至右图象————

2.在区间

(-∞,+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着

————

2.(0,+∞)上从左至右图象上升，

当x增大时f(x)随着增大

1上升增大下降1.(-∞,0]上从左至右图象

当x增大时f(x)随着

减小思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的？4青苗辅导xyo-1xOy1124-1-211.从左至右图象————xyo-1xOy1124-1-211

在某一区间内，当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升；当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？5青苗辅导xyo-1xOy1124-1-211在某一区间内，当x思考3：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？6青苗辅导思考3：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？6青苗辅图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0121y方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∵1<2,f(1)<f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升∞∞7青苗辅导图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0121方案二：8青苗辅导方案二：8青苗辅导对区间D内任意

x1，x2

，当x1<x2时，都有

f(x1)<f(x2)图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0x1x2f(x1)f(x2)方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∵1<2,f(1)<f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升方案2:(0,+)取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2

且x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)∞∞∞y9青苗辅导对区间D内任意x1，x2，图象在区间D逐对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)都设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.定义

任意如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<D称为f(x)的单调增区间.

那么就说f(x)在区间D上是单调增函数，区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升0x1f(x1)f(x2)121y10青苗辅导对区间D内x1，x2，都设函数y=

那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.

如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.

如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，

那么就说在f(x)这个区间上是单调增

函数，D称为f(x)的单调区间.增当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，>单调区间如果函数y=f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有单调性。11青苗辅导那么就说在f(x)这个区间上是单调Oxyx1x2f(x1（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;注意：判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；xyo（2）

x1,x2取值的任意性判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；yxO12f(1)f(2)12青苗辅导（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;注意：解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].例1.

如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数？

其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.-432154312-1-2-1-5-3-2xyO13青苗辅导解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1)练一练根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

2544xyO-1321解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2)，[2，4),[4，5].其中y=f(x)在区间[0，2)，[4，5]上是增函数；在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.14青苗辅导练一练2544xyO-1321解:函数y=f(x)的单调区间例2

证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是增函数．15青苗辅导例2证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是例2

证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是增函数．设x1，x2

是R上任意两个实数，且x1﹤x2证明：则f(x1)-

f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3（x1-x2）由x1﹤x2，得x1-x2﹤0于是f(x1)-

f(x2)﹤0即f(x1)﹤

f(x2)所以f(x)=3x+2在R上是增函数作差设值变形定号下结论16青苗辅导例2证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设值:在所给区间上任意设两个实数（2）作差（3）变形

作差：常通过“因式分解”、“通分”、“配方”等手段将差式变形为因式乘积或平方和形式

判断的符号（4）结论:并作出单调性的结论17青苗辅导用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设值:在所给区间上任意设设量判断差符号作差变形下结论课堂小结1.两个定义：增函数、减函数的定义；②(定义法)证明函数单调性，步骤:①图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右上升下降3.一个数学思想：数形结合2：两种方法18青苗辅导设量判断差符号作差变形下结论课堂小结1.两个定义：增函数、

例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。19青苗辅导例2、物理学中的玻意耳定律证明:12341.设值;2.作差变形;3.定号;4.下结论20青苗辅导证明:12341.设值;2.作差变形;3.定号;4.下结论2？画出函数图象，写出定义域并写出单调区间：xy_____________,讨论：根据函数单调性的定义拓展探究21青苗辅导？画出函数图象，写出定义域并写出单调区间：yOx

在(0,+∞)上任取

x1、x2

当x1<x2时，都有f(x1)

f(x2)>22青苗辅导yOx在(0,+∞)上任取x1、x2>22青yOx-11-11

取自变量－1<

1，而f(－1)f(1)∴不能说在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数要写成(-∞,0)，(0,+∞)的形式。<逗号隔开

巩固23青苗辅导yOx-11-11取自变量－1<1，∴不能说对区间D内任意

x1，x2

，当x1<x2时，都有

f(x1)<f(x2)图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0x1x2f(x1)f(x2)121方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∵1<2,f(1)<f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升方案2:(0,+)取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2

且x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)∞∞∞y24青苗辅导对区间D内任意x1，x2，图象在区间D逐

1.3.1函数的单调性

第一课时25青苗辅导1.3.1函数的单调性1青苗辅导

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：测试时间t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆保留量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆保留量y是时间t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo2040608010026青苗辅导德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲线”，你能发现什么规律？tyo20406080100123函数的单调性思考2:我们发现随着时间t的增加，记忆保留量y在不断减少；从图象上来看，从左至右图象是在逐渐下降的。27青苗辅导思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲线”，你能发现什么规律？tyo2xyo-1xOy1124-1-211.从左至右图象————

2.在区间

(-∞,+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着

————

2.(0,+∞)上从左至右图象上升，

当x增大时f(x)随着增大

1上升增大下降1.(-∞,0]上从左至右图象

当x增大时f(x)随着

减小思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的？28青苗辅导xyo-1xOy1124-1-211.从左至右图象————xyo-1xOy1124-1-211

在某一区间内，当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升；当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？29青苗辅导xyo-1xOy1124-1-211在某一区间内，当x思考3：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？30青苗辅导思考3：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？6青苗辅图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0121y方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∵1<2,f(1)<f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升∞∞31青苗辅导图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0121方案二：32青苗辅导方案二：8青苗辅导对区间D内任意

x1，x2

，当x1<x2时，都有

f(x1)<f(x2)图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0x1x2f(x1)f(x2)方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∵1<2,f(1)<f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升方案2:(0,+)取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2

且x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)∞∞∞y33青苗辅导对区间D内任意x1，x2，图象在区间D逐对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)都设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.定义

任意如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<D称为f(x)的单调增区间.

那么就说f(x)在区间D上是单调增函数，区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升0x1f(x1)f(x2)121y34青苗辅导对区间D内x1，x2，都设函数y=

那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.

如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.

如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，

那么就说在f(x)这个区间上是单调增

函数，D称为f(x)的单调区间.增当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，>单调区间如果函数y=f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有单调性。35青苗辅导那么就说在f(x)这个区间上是单调Oxyx1x2f(x1（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;注意：判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；xyo（2）

x1,x2取值的任意性判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；yxO12f(1)f(2)36青苗辅导（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;注意：解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].例1.

如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数？

其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.-432154312-1-2-1-5-3-2xyO37青苗辅导解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1)练一练根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

2544xyO-1321解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2)，[2，4),[4，5].其中y=f(x)在区间[0，2)，[4，5]上是增函数；在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.38青苗辅导练一练2544xyO-1321解:函数y=f(x)的单调区间例2

证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是增函数．39青苗辅导例2证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是例2

证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是增函数．设x1，x2

是R上任意两个实数，且x1﹤x2证明：则f(x1)-

f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3（x1-x2）由x1﹤x2，得x1-x2﹤0于是f(x1)-

f(x2)﹤0即f(x1)﹤

f(x2)所以f(x)=3x+2在R上是增函数作差设值变形定号下结论40青苗辅导例2证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设值:在所给区间上任意设两个实数（2）作差（3）变形

作差：常通过“因式分解”、“通分”、“配方”等手段将差式变形为因式乘积或平方和形式

判断的符号（4）结论:并作出单调性的结论41青苗辅导用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设值:在所给区间上任意设设量判断差符号作差变形下结论课堂小结1.两个定义：增函数、减函数的定义；②(定义法)证明函数单调性，步骤:①图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右