ch02第二章导数与微分-01第一节概念

第二章为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.“16第一节数概15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代.而十六世纪的欧洲，正处在萌芽时期，生产力得到了很大的发展.生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展.在各类学科对数学种种要求中，所谓函数的变化率问题.牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的分布图

★引 ★变速直线运动的瞬时速★平面曲线的切 ★导数的定（12）★例 ★例 ★例 ★例★★★★★★★★★★★★内容要★习题2-一、引例1:2:f

)limy

f(x0x)f(x0 x0

理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质:yyx

xy

yx

yf(xx)f

y

f(xx)f(x)

y

y

x01yf(xx0yf(xx0处的左、右导数均存定理 如果函数yf(x)在点x0处可导，则它在x0处连续.1872学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而了数学和思想界.这促使人们在积分研究中从依赖于观转向理性思，大.例题选1E01)yx3x1f(1解x1变到1x f(1)limy

x

x

x0 2E02)

f(2x)f

f

f(0)解

xf(2x)fx

2

f(2x)f(2a)1(2x2a)2

(2)f(0)0

22

f(2x)f(2a)2f(2a);2x2alimf(x)limf(x)f(0)

f

x3E04)f(xC(C为常数)的导数 f(x)limf(xh)f(x)limCC

即(C)

4E05)f(xsin

求(sinx)及(sinx)|x4解(sinx)limsinxhsinxlimcos(xh

sin2

cosx即(sinx)cos 2(sin cos 22

2 5(E06)yxn(n为正整数)的导数解

n)

(xh)nh

n1

n(n

h

]

即(xn)nxn1.更一般地(x)x1(例如(x)x.x(1)x11.11例如(x)x.x(1)x11.x x x6E07)f(xax(a0a1的导数x anh

ah

x

x 解

)

a

aln

即

)

lna,

)e例 求函数ylogax(a0,a1)的导数log(xh)log

log(1h

h ylim a

)h

logae即

x)1log

x(lnx)1

x 例 求函数f(x)sin

xx

x0处的导数解当x0时 yf(0x)f(0)sinx0sin

y

sinxx0 当x0时 yf(0x)f(0)x0

y

x1f(0f(01,

f(0)

yx0

x0

x09f(xf(0存在.f(0)证f(xf(xff(0)

f(0h)fh

f(h)fh

f(h)f

f(h)f(0)f

f(0f(0f(0f(0)f(0f(0)f(0)10y1在点1,2处的切线的斜率,2 2 程解 1

k

1 xx xx xxy24x1

即4xy4y21x1

2即2x8y15 4 211E08)y解

x在点(4,2处的切线方程y

x) 1

yx4

112122y21(x24

即x4y412E09)f(x|x|x0处的连续性与可导性解如图2-1-3f(xxx0处是连续的.f(xxx处的可导性f(0hf(0)

hh

f(0h)f

h h0

f(0h)f(0)

h1f(0f(0f(xx0点不可导 证毕

h0注：yf(x)x0处出现尖点，则它在该点不可导.因此，如果函数 13(E10)f(xxsinx

xx0处的连续性与可导性x sin1是有界函数,limxsin1

f(0limf(x0f(xx0处的连续不存在

x0y

(0x)

0

1当x0时

y在1和1f(xx0处不可导14f(x

x

f(x为可导函数x2

0x 只须讨论在x0处f(x)为可导时a的取值情况.在x0处，因

y

f(0x)f(0)

(x)21

x0

y

f(0x)f(0)

a1x0

x0x

a10a1x0f(x为可导函数课堂练f(xx0f(x0f(x有什么区别与联系设(xxa处连续

f(xx2a2)(x),f(ay2xx3x轴平行的切线方程（Friedrich 称号闻名于世。莱布尼兹对微积分的研究始于31岁，那时他在巴黎任官，有幸结识数学家、物理学家惠更斯等人。在名师指导下系统研究了数学著作，1673年他在伦敦结识了巴罗和牛顿等名，（无穷小的“0）作是无穷小的和，并引入积分符号，它是把拉丁文“SummaS拉长。他的这个符号，”a/ba:b富于想象，勇于推广，结果造成创作年代上牛顿先于莱布尼兹10年，而在的时间上，莱布尼狐死归首丘，故乡忘牛顿（NewtonNewtan数学和科学中的巨大进展,几乎总是建立在作出一点一点滴贡献的许多人的工作之上.需要一个人来走那最高和最后的一步,这个人要能够从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值牛顿(164-1727生于英格兰乌尔斯帕的一个小村里,父亲是在他出生前两个月的,母亲管理着丈夫留下的农庄,母亲改嫁后,是由外祖母把他抚养大.并供他上学.他从小在低标准的地方学校接受教育,除对机械设计有外,是个没有什么特殊的青年人,161年他进入大学的三一学院学习,大学期间除了巴罗(arrow)外,他从他的老师那里只得到了很少的一点鼓舞,他自己做实验,如ecresaeo,Kpr敦地区流行关闭回到家过了1665和1666年并那里开了他在机械、数学和光学上伟大的工作，这时他了引力的平方反比定律（曾早已有人提出过，这是打开那所不包力学科的他获得解微积分问的一般法，并通过光实验，作出了划时代的发现，即象光那样的白光，实际上是从紫到红的各种颜色混合而成的“所有这些”牛后来说是在165和166两中做的，为在这日子里我正处发现力最旺盛的时期，而且对于数学和（自然）有，667他回到获得，并被为三一院的研员。169年他的（Lca）26岁的牛顿这事成了学史上一段佳牛并不一个成功教员创性的料也没有受到同们的注起初顿并没他发人们说有一种的害批评的理在1672年和1675年光方面的篇到暴般的批评，他决死后才开它的果，虽然，后来是《自然学的数原理光》和《普的算术等有限一些成。牛顿是他时代的界著名物理学数家和文学家牛顿工的最大点是辛劳动和独立考他时不分夜地工常好几星期一直渡过总是不中自己的成就，是个非常谦虚的人。他说“我不知道，在别人看来，我是什么样的人。但在自己看来，我不过就是一个海滨玩的小为不发现寻常更为滑的一卵石或寻常更美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。牛顿对于科学的比对于学的大的多在当了5的教授后他决定弃研并于16