二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法Companynumber：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢例1、求方程 y''xy0的通解解：设 ya0

axa1

x2…an

xn…为方程的解，这里ai

(i0,1,2,…,n,…)是待定常系数，将它对x微分两次，有将y，y'的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x21a2

0 ，32aa3 0

0, 43aa4 1

0, 54aa5 2

0,或一般的可推得a ，a 03k 2356 (3k1)3ka ，11a3k

3467 3k(3k1)其中aa1

是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数a及a0

）便是所要求的通解。例6 求方程y2xy'4y0的满足初值条件y(0)0及y'(0)1的解。解 设级数ya0可以得到

axa1

x2…an

xn为方程的解。首先，利用初值条件，a 0，a0

1，因而将y，y'，y''的表达式带入原方程，合并x的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到因而最后得a 1 1 1 , a

0,2k

k (k1)! k! 2k对一切正整数k成立。a

(i0,1,2, ya0

axa1

x2…an

xn就得到这就是方程的满足所给初值条件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢级数的形式怎样其收敛区间又如何这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。考虑二阶齐次线性微分方程及初值条件y(x0

)y0

及y'(x0

)y'0

的情况。不失一般性，可设x0

0，否则，我们引进新变量txx0

，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于xx的就是t 0了，因此，今后我们0 0总认为x0

0。10d2ydx2

p(x)dydx

q(xy0p(x和q(x都能展成x的幂级数，且收敛区间为

|x

d2ydx2

p(x)dydx

q(xy0有形如的特解，也以|x|R为级数的收敛区间。在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x2x和可看作是在如n阶贝赛尔方程这里n

，不一定是正整数，（d2ydx2

p(x)dydx

q(xy0）在此p(x)

1，q(x)1n2

，显然它不满足定理10的条件，因而不能肯定有形如x x2y axnnn0

的特解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。d2y定理11若方程dx2

p(x)dydx

q(xy0

p(x)

，q(x)

具有这样的性质，即xp(x)和x2q(x均能展成x的幂级数，且收敛区间为|xR，若d2y

p(x)

q(x)y0 0a 0，则方程dx2 dx0即

有形如

yxn0

axnn的特解，

y是一个特定的常数，级数

n0

axnn

m也以|x|R为收m敛区间。若a0

0，或更一般的，i

0(i0,1,2 m1)a

0，则引入mk

mk，则yxnm

axnn

xmk0

a xkmk

xk0

bxk，k，0m这里ba 0，而 仍为待定常数。0md2y dy例7 求解n

阶贝赛尔方程x2

dx2

x (x2dx

n2y0。解将方程改写成d2y1dyx2n2

y0，dx2 xdx x2易见，它满足定理11的条件（xp(x)和x2q(x均能展成x的幂级数，且收敛区间为|xR），且xpx,x2qxx2n2，按展成的幂级数收敛区间为x，由定理11，方程有形如0的解，这里a0

0，而a

y是待定常数，将

k0

axakk 代入： kd kx2 x (x2

n2y0中，得dx2x

dx(x2

n2)k0

axak0，k把 同幂次项归在一起，上式变为令各项的系数等于0，得一系列的代数方程因为a 0，故从a2n2]0解得 的两个值0 0n和 n先考虑

nx2

d2y dy x (x2

n2y0的一个特解，这时dx2 dxk我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数a 。把方程组，得到k

n代入以上a k

ak2k(2nk

k2,3，或按下标为奇数或偶数，我们分别有从而求得一般地a将 k各代

y

axakk 得到方程x2

d2y dy x (x2 n2

的一个k0解

dx2 dxx2

d2y dy x (x2

n2y0的特解，我们不妨令dx2 dx其中函数s定义如下：时，当s时，

s

0

xs1exdx

<0且非整数时，由递推公(s)式

1ss

定义。s具有性质s1ss;n 为正整数

n1n! kay

xn2

! 0

x2kn而 1 0

k

2kk

n 1 n2

nk 变为注意到 函数的性质，即有Jx

x2

d2y dy x (x2

n2y0称 n nn为 阶贝赛尔函。n

dx2 dx

Jx因此，对于

n了求得另一个与J

x

线性无关的特解，我们自然想到，求

时方程d2y dyx2 x (x2

n2y0的形如dx2 dxn n的解，我们注意到只要 不为非负整数，像以上对于 时的求解过程一样，我们总可以求得a2n2]00a1)2

n2]01ak)2使之满足k

n2]a k2

中的一系列方程，因而k2,3,x2

d2y dy x (x2

n2y0的一个特解。此时，若令dx2 dx

kay axn则 2 0

22k

0

x2kn变为J x

k

k!n1

n

nk称 n

为阶贝赛尔函数。利用达朗贝尔判别法不难验证级数yaxn1 0

k

22k

k

ka01n20

kx2kn和y ax2 0

22k

ka 0

x2kn（在k1

k!n1

n

nky

x

ka 0

x2kn中 ）都2 0k

22k

k

n1

n2

nk

x0n是收敛的，因此，当d2y dy

不为非负整数时，Jn

x和Jn

x

都是方程x2dx2

x (x2dx

n2y0的解，而且是线性无关的，因为它们可展为由x 的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可能是常数。于是方程 x2 x (x2 n2y 0

yc1

xcJ2

xdx2 dx n nc这里 1函数。

c J xJ2是任意常数。此情形的 J8x2y''xy'

4x2

9y0的通解。2525解 引入新变量t2x，我们有d2y

d2

dy

4d2ydx2

dt

dt

dx dt2 ，将上述关系代入院方程，得到 d2 t2 t t2

9y0，dt2

dt 253n3这是，

5的贝塞尔方程，由例7可知，方程 d2 t2 t t2

9y0的通解可表为dt2

dt 25ycJ1 35

cJ2 35

，代回原来变量，就得到原方程的通解12其中c,c是任意常数。12第二宇宙速度计算作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在这个速度你下,物体将摆脱地球的引力,向地球一样绕着太阳运行,成为人造卫星..以M和m分别表示地球和物体的质量.按牛顿万有引力定律,作用于物体的引力F(空气阻力忽略不计)为r k这里 表示地球的中心和物理体重心之间的距离， 为万有引力常数。因为，物体运动规律应满足下面的微分方程或这里的负号表示物体的加速度是负的。0设地球半径为R(R63105m)，物理发射速度为v ，因此，当物体刚刚离0开地球表面时，我们有rRdr

，即应取初值条件为d2r 方程 k

dt 0不显含自变量tdt2 r2解得注意到这时初值条件为因而因为物体运动速度必须始终保持是正的，即v22

0，而随着r的不断增大，量kM

变得任意小。因此，由v2

kM v(