工程力学压杆稳定课件

§11-1

压杆的稳定概念§11-2细长压杆临界压力的欧拉公式§11-3欧拉公式的使用范围临界应力总图§11-4压杆的稳定计算§11-5提高压杆稳定性的措施第十一章压杆稳定§11-1压杆的稳定概念第十一章压杆稳定压杆工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆.工程实例液压缸顶杆压杆工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆.工程实例液压缸顶杆木结构中的压杆脚手架中的压杆木结构中的压杆脚手架中的压杆桁架中的压杆桁架中的压杆(a)(b)

拉压杆的强度条件为：

=——[]

FNA第一节压杆的稳定概念(a):木杆的横截面为矩形（12cm),高为3cm，当荷载重量为6kN时杆还不致破坏。

(b)：木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m(细长压杆），当压力为0.1KN时杆被压弯，导致破坏。(a)和(b)竟相差60倍，为什么？

细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。这种现象称为失稳。

问题的提出(a)(b)拉压杆的强度条件为：FN第一节

稳定问题:主要针对细长压杆课堂小实验:横截面为26mm×1mm的钢尺,求其能承受的Fmax=?稳定问题:主要针对细长压杆课堂小实验:横截面为261983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4KN大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤。1983年10月4日，高

2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡，35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工程封

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）失稳：不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。稳定性：平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。小球平衡的三种状态

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）稳定平衡随工程力学压杆稳定课件工程力学压杆稳定课件工程力学压杆稳定课件受压直杆平衡的三种形式

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）受压直杆平衡的三种形式稳定平衡

电子式万能试验机上的压杆稳定实验电子式万能试验机上的第二节细长压杆临界压力的欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界载荷当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡。FcrFNyy第二节细长压杆临界压力的欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临考察微弯状态下局部压杆的平衡:M(x)=Fcry(x)M(x)=–EIdx2d2y二阶常系数线性奇次微分方程FcrFNyy微分方程的解:y=Asinkx+Bcoskx边界条件:y(0)=0,y(l)=00•A+1•B=0sinkl•A+coskl•B=0B=0sinkl•A=0考察微弯状态下局部压杆的平衡:M(x)=Fcry

若A=0，则与压杆处于微弯状态的假设不符，因此可得：FcrFNyy0•A+1•B=0sinkl•A+coskl•B=0B=0sinkl•A=0sinkl=0（n=0、1、2、3……）若A=0，则与压杆处于微弯状态的假设不——两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式最小临界载荷:

屈曲位移函数:

临界载荷:

临界力Fcr

是微弯下的最小压力，故取n=1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。——两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式最小临界载荷:屈二、支承对压杆临界载荷的影响一端自由一端固定一端铰支一端固定两端固定两端铰支二、支承对压杆临界载荷的影响一端自由一端铰支两端固定两端铰支临界载荷欧拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:

＝2.0一端铰支，一端固定:

＝0.7

两端固定:

＝0.5

两端铰支:

＝1.0临界载荷欧拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:欧拉临界力公式中的Imin

如何确定？定性确定

Imin欧拉临界力公式中的Imin如何确定？定性确定Imin例：图示细长圆截面连杆，长度，直径,材料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷Fcr

.解：1、细长压杆的临界载荷2、从强度分析例：图示细长圆截面连杆，长度，直径,材解：1一、临界应力与柔度——临界应力的欧拉公式——压杆的柔度（长细比）压杆容易失稳——惯性半径第三节欧拉公式的使用范围临界应力总图柔度是影响压杆承载能力的综合指标。一、临界应力与柔度——临界应力的欧拉公式——压杆的柔度（长细（细长压杆临界柔度）二、欧拉公式的适用范围例：Q235钢，

欧拉公式的适用围:，

称大柔度杆（细长压杆）ppEspl2=（细长压杆临界柔度）二、欧拉公式的适用范围例：Q235钢，1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。临界压力：临界压应力：Pl细长压杆。三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。临界压力：临界压应Pl细长压杆。sl——直线型经验公式2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。——直线型经验公式是与材料性能有关的常数。Pl细长压杆。sl——直线型经验公式2：中柔度杆（中长压杆）材料a(MPa)b(MPa)硅钢5773.7410060铬钼钢9805.29550硬铝3722.14500铸铁331.91.453松木39.20.19959

直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。——直线型经验公式

是与材料性能有关的常数。材料a(MPa)b(MPa)硅钢5773.7410060铬钼Pl细长压杆。sl——直线型经验公式3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。Pl细长压杆。sl——直线型经验公式3：小柔度杆（短粗压杆）Pl细长压杆。sl——直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆细长杆—发生弹性屈曲(p)中长杆—发生弹塑性屈曲(s<p)粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(<s)临界应力总图[a]Pl细长压杆。sl——直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆细临界应力总图[b]细长压杆在我国钢结构规范中采用的抛物线经验公式为

对于的非细长杆，临界应力采用抛物线公式进行计算。

中柔度杆临界应力总图[b]细长压杆在我国钢结构规范中采用的抛物线经验

抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔度压杆。四、注意问题：1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度计算时需按削弱后的尺寸计算。抛物线型经验公式抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔临界力计算的步骤临界力计算的步骤例：一压杆长L=1.5m，由两根56566

等边角钢组成，两端铰支，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压力（σcr

=304-1.12λ

）。解：查表：一个角钢：两根角钢图示组合之后例：一压杆长L=1.5m，由两根56566等边角钢组所以，应由经验公式求临界压力。σcr=304-1.12λ=304-1.12×89.3=204（MPa）临界压力所以，应由经验公式求临界压力。σcr=304-1.12λ=3

例

两端铰支压杆的长度L=1.2m，材料为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，σp=200MPa。已知截面的面积A=900mm2，若截面的形状分别为圆形、正方形、d⁄D=0.7的空心圆管。试分别计算各杆的临界力。

解

（1）圆形截面直径

惯性半径

柔度

因为，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力例两端铰支压杆的长度L=1.2m，材料为

（2）正方形截面截面边长

因为，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力。柔度计算（2）正方形截面因为

（3）空心圆管截面因为，所以

得D=47.4×10-3m，d=33.18×10-3m

因为，所以属中长压杆，用直线公式计算临界力。惯性矩柔度计算（3）空心圆管截面得例

图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试求：1.那一根杆的临界荷载较大？2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。解

1.计算柔度判断两杆的临界荷载两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。例图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但2.计算各杆的临界荷载2.计算各杆的临界荷载解:例:有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大高度l=50cm,求临界载荷.(已知

)柔度:惯性半径:A3钢:可查得F0<p可用直线公式.因此解:例:有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最解:在屏幕平面内（xy）失稳时柱的两端可视为铰支端(图a)；

若在垂直于屏幕平面内（xz）失稳时，柱的两端可视为固定端(图b)。例:截面为120mm200mm的矩形木柱，长l=7m，材料的弹性模量E=10GPa,p=8MPa。试求该木柱的临界力。(b)(a)讨论：

由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同，因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？∵两端铰支∴z=1在屏幕平面（xy）内绕z轴失稳时解:在屏幕平面内（xy）失稳时柱的两端可例:截面为120m∵两端固定∴y=0.5∵z>y

∴木柱失稳将在垂直于屏幕平面内绕y轴失稳。

在垂直于屏幕平面（xz）内绕y轴失稳时(b)(a)∵两端固定∴y=0.5∵z>y∴z>p∴应采用欧拉公式计算

木柱的临界力为选用计算公式(b)(a)z>p∴应采用欧拉公式计算木柱的临界

例．截面为120×200mm的矩形木柱，材料的弹性模量E=1×104Mpa。其支承情况为：在xoz平面失稳（即绕y轴失稳）时柱的两端可视为固定端（图a）；在xoy平面失稳（即绕z轴失稳）时，柱的两端可视为铰支端（图b）。试求该木柱的临界力。

解：(1)计算绕y轴失稳时的柔度

μy=0.5（两端固定）例．截面为120×200mm的矩形木柱，材料的弹性(2)计算绕z轴失稳时的柔度

μz=1（两端铰支）

(3)计算临界力

从上面计算可知：λz>λy（绕z失稳）

(2)计算绕z轴失稳时的柔度μz=1（两端铰支）(3)计λmax>λp，可由欧拉公式计算临界力该柱将可能在xoy平面失稳（绕z轴）。λmax>λp，可由欧拉公式计算临界力该柱将可能在xoy平1、安全系数法:一、稳定条件－稳定安全系数；－稳定许用压力。－稳定许用压应力。2、折减系数法:－许用应力；－折减系数，与压杆的柔度和材料有关。第四节压杆的稳定计算1、安全系数法:一、稳定条件－稳定安全系数；－稳定许用压力。注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别.

强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。二、稳定计算1)校核稳定性；2)设计截面尺寸；3)确定外荷载。1、安全系数法:注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别.应用上式的稳定条件，能够解决压杆下列三方面的问题。①验算压杆的稳定性

②确定容许荷载

③选择压杆的截面尺寸和形状

由于上式中，A和都是未知的，所以需采用逐次渐近法进行计算。2、折减系数法:先算出λ查表得稳定条件：先算出λ

查表得应用上式的稳定条件，能够解决压杆下列三方面的问题。①验算压

a．BC杆绕y失稳时，B端可视为铰支，长度系数为：

例．结构受力如图示，BC杆采用No18工字钢(Iz=1660cm4,iz=7.36cm,Iy=122cm4,iy=2cm,A=30.6cm2)。材料的弹性模量

E=2×105Mpa，比例极限，稳定安全系数

nW=3。试确定容许荷载[G]。解（一）求λmaxa．BC杆绕y失稳时，B端例．结构受力如图示即可能首先绕y轴失稳（二）确定BC杆的临界荷载BC杆的临界力可用欧拉公式计算

b．BC杆绕z失稳时，B端可视为自由端，长度系数为：即可能首先绕y轴失稳（二）确定BC杆的临界荷载BC杆（三）确定结构的容许荷载BC杆能承受的容许荷载为：结构的容许荷载:（三）确定结构的容许荷载BC杆能承受的容许荷载为：结构的解：折减系数法1、最大柔度xy平面内，z=1.0zy平面内，y=2.0例：图示起重机，AB杆为圆松木，长L=6m，[]=11MPa，直径为：d=0.3m，试求此杆的许用压力。（xy

面两端视为铰支；xz

面一端视为固定，一端视为自由）AF1BWF2xyzo解：折减系数法1、最大柔度xy平面内，z=1.0zy平面2、求折减系数3、求许用压力AF1BWF22、求折减系数3、求许用压力AF1BWF2例：一等直压杆长L=3.4m，A=14.72cm2，I=79.95cm4，E=210GPa，F=60kN，材料为A3钢，两端为铰支座。试进行稳定校核。1)nw=2；2)〔σ〕=140MPa。解：1)安全系数法：例：一等直压杆长L=3.4m，A=14.72cm2，2)折减系数法查表:λ=140，φ=0.349；λ=150，φ=0.306。2)折减系数法查表:λ=140，φ=0.349；λ=1

解：（一）由平衡条件解出两杆内力与荷载P的关系。

例．AB、AC杆材料相同为低碳钢，直径为d=6cm,lAB=3m,lAC=2m，.考虑图示平面内稳定时，结构的容许荷载[F]。

查表得：

（二）用折减系数法求容许荷载[P]a．由AB杆确定容许荷载[P1]。

解：（一）由平衡条件解出两杆内力与荷载P的关系。AB杆的容许荷载为：代入(1)后得：查表得：AB杆的容许荷载为：代入(1)后得：查b．由AC杆确定容许荷载[F2]。采用插入法确定：（见图）AC杆的容许荷载为：

b．由AC杆确定容许荷载[F2]。采用插入法确定：（c．比较[F1]和[F2]确定[F]=162KN（取小者）

代入(2)后得：c．比较[F1]和[F2]确定[F]=162KN（取小者）

提高压杆稳定性的措施，可从决定压杆临界力的各种因素去考虑。

第五节提高压杆的稳定的措施一、材料方面对于的细长压杆，临界应力

由于各种钢材的E大致相等，所以选用优质钢材与普通钢材并无很大差别。

采用高强度优质钢在一定程度上可以提高中长压杆的稳定性。

对于短粗杆，本身就是强度问题，采用高强度材料则可相应提高强度，其优越性自然是明显的。提高压杆稳定性的措施，可从决定压杆临界力的各种二、柔度方面——压杆的柔度（长细比）

柔度越小，稳定性就越好，为了减小柔度，在可能的情况下可采取如下一些措施：

1、改善支承情况

压杆两端固定得越牢固，临界应力就大。所以采用值小的支承情况，可以提高压杆的稳定性。

两端铰支(图a)的细长压杆，若在杆件中点增加一支承(图b)，则计算长度为原来的一半，柔度相应减小一半，而其临界应力则是原来的4倍。2、减小杆的长度二、柔度方面——压杆的柔度（长细比）柔度越小，稳三、整个结构的综合考虑3、选择合理的截面

如果截面面积一定时，应设法增大惯性矩I。工程中的压杆常采用空心截面或组合截面。例如，同样截面的实心圆杆改成空心圆杆。

又如，由四根角钢组成的立柱，角钢应分散放置在截面的四个角（见图a），而不是集中放置在截面的形心附近（见图b）。

当压杆在各个弯曲平面内的约束条件相同时，则压杆的失稳发生在最小刚度平面内。因此，当截面面积一定时，应使，而且还要尽量使值大些（例如，空心圆等），从而提高其抗失稳的能力。

如压杆在两个弯曲平面内的约束条件不同，这就要求在两个弯曲平面内的柔度相等或相近，从而达到在两个方向上抵抗失稳的能力一样或相近的目的。三、整个结构的综合考虑3、选择合理的截面如例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问a=？时，立柱的临界压力最大值为多少？解：1、对于单个10号槽钢，

形心在C1点。两根槽钢图示组合之后:（z1）例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定（z1）2、求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力。a=4.32cm当时最为合理：（z1）2、求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力。a=4.§11-1

压杆的稳定概念§11-2细长压杆临界压力的欧拉公式§11-3欧拉公式的使用范围临界应力总图§11-4压杆的稳定计算§11-5提高压杆稳定性的措施第十一章压杆稳定§11-1压杆的稳定概念第十一章压杆稳定压杆工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆.工程实例液压缸顶杆压杆工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆.工程实例液压缸顶杆木结构中的压杆脚手架中的压杆木结构中的压杆脚手架中的压杆桁架中的压杆桁架中的压杆(a)(b)

拉压杆的强度条件为：

=——[]

FNA第一节压杆的稳定概念(a):木杆的横截面为矩形（12cm),高为3cm，当荷载重量为6kN时杆还不致破坏。

(b)：木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m(细长压杆），当压力为0.1KN时杆被压弯，导致破坏。(a)和(b)竟相差60倍，为什么？

细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。这种现象称为失稳。

问题的提出(a)(b)拉压杆的强度条件为：FN第一节

稳定问题:主要针对细长压杆课堂小实验:横截面为26mm×1mm的钢尺,求其能承受的Fmax=?稳定问题:主要针对细长压杆课堂小实验:横截面为261983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4KN大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤。1983年10月4日，高

2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡，35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工程封

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）失稳：不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。稳定性：平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。小球平衡的三种状态

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）稳定平衡随工程力学压杆稳定课件工程力学压杆稳定课件工程力学压杆稳定课件受压直杆平衡的三种形式

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）受压直杆平衡的三种形式稳定平衡

电子式万能试验机上的压杆稳定实验电子式万能试验机上的第二节细长压杆临界压力的欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界载荷当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡。FcrFNyy第二节细长压杆临界压力的欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临考察微弯状态下局部压杆的平衡:M(x)=Fcry(x)M(x)=–EIdx2d2y二阶常系数线性奇次微分方程FcrFNyy微分方程的解:y=Asinkx+Bcoskx边界条件:y(0)=0,y(l)=00•A+1•B=0sinkl•A+coskl•B=0B=0sinkl•A=0考察微弯状态下局部压杆的平衡:M(x)=Fcry

若A=0，则与压杆处于微弯状态的假设不符，因此可得：FcrFNyy0•A+1•B=0sinkl•A+coskl•B=0B=0sinkl•A=0sinkl=0（n=0、1、2、3……）若A=0，则与压杆处于微弯状态的假设不——两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式最小临界载荷:

屈曲位移函数:

临界载荷:

临界力Fcr

是微弯下的最小压力，故取n=1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。——两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式最小临界载荷:屈二、支承对压杆临界载荷的影响一端自由一端固定一端铰支一端固定两端固定两端铰支二、支承对压杆临界载荷的影响一端自由一端铰支两端固定两端铰支临界载荷欧拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:

＝2.0一端铰支，一端固定:

＝0.7

两端固定:

＝0.5

两端铰支:

＝1.0临界载荷欧拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:欧拉临界力公式中的Imin

如何确定？定性确定

Imin欧拉临界力公式中的Imin如何确定？定性确定Imin例：图示细长圆截面连杆，长度，直径,材料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷Fcr

.解：1、细长压杆的临界载荷2、从强度分析例：图示细长圆截面连杆，长度，直径,材解：1一、临界应力与柔度——临界应力的欧拉公式——压杆的柔度（长细比）压杆容易失稳——惯性半径第三节欧拉公式的使用范围临界应力总图柔度是影响压杆承载能力的综合指标。一、临界应力与柔度——临界应力的欧拉公式——压杆的柔度（长细（细长压杆临界柔度）二、欧拉公式的适用范围例：Q235钢，

欧拉公式的适用围:，

称大柔度杆（细长压杆）ppEspl2=（细长压杆临界柔度）二、欧拉公式的适用范围例：Q235钢，1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。临界压力：临界压应力：Pl细长压杆。三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。临界压力：临界压应Pl细长压杆。sl——直线型经验公式2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。——直线型经验公式是与材料性能有关的常数。Pl细长压杆。sl——直线型经验公式2：中柔度杆（中长压杆）材料a(MPa)b(MPa)硅钢5773.7410060铬钼钢9805.29550硬铝3722.14500铸铁331.91.453松木39.20.19959

直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。——直线型经验公式

是与材料性能有关的常数。材料a(MPa)b(MPa)硅钢5773.7410060铬钼Pl细长压杆。sl——直线型经验公式3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。Pl细长压杆。sl——直线型经验公式3：小柔度杆（短粗压杆）Pl细长压杆。sl——直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆细长杆—发生弹性屈曲(p)中长杆—发生弹塑性屈曲(s<p)粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(<s)临界应力总图[a]Pl细长压杆。sl——直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆细临界应力总图[b]细长压杆在我国钢结构规范中采用的抛物线经验公式为

对于的非细长杆，临界应力采用抛物线公式进行计算。

中柔度杆临界应力总图[b]细长压杆在我国钢结构规范中采用的抛物线经验

抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔度压杆。四、注意问题：1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度计算时需按削弱后的尺寸计算。抛物线型经验公式抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔临界力计算的步骤临界力计算的步骤例：一压杆长L=1.5m，由两根56566

等边角钢组成，两端铰支，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压力（σcr

=304-1.12λ

）。解：查表：一个角钢：两根角钢图示组合之后例：一压杆长L=1.5m，由两根56566等边角钢组所以，应由经验公式求临界压力。σcr=304-1.12λ=304-1.12×89.3=204（MPa）临界压力所以，应由经验公式求临界压力。σcr=304-1.12λ=3

例

两端铰支压杆的长度L=1.2m，材料为Q235钢，E=200GPa，σs=240MPa，σp=200MPa。已知截面的面积A=900mm2，若截面的形状分别为圆形、正方形、d⁄D=0.7的空心圆管。试分别计算各杆的临界力。

解

（1）圆形截面直径

惯性半径

柔度

因为，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力例两端铰支压杆的长度L=1.2m，材料为

（2）正方形截面截面边长

因为，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力。柔度计算（2）正方形截面因为

（3）空心圆管截面因为，所以

得D=47.4×10-3m，d=33.18×10-3m

因为，所以属中长压杆，用直线公式计算临界力。惯性矩柔度计算（3）空心圆管截面得例

图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试求：1.那一根杆的临界荷载较大？2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。解

1.计算柔度判断两杆的临界荷载两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。例图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但2.计算各杆的临界荷载2.计算各杆的临界荷载解:例:有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大高度l=50cm,求临界载荷.(已知

)柔度:惯性半径:A3钢:可查得F0<p可用直线公式.因此解:例:有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最解:在屏幕平面内（xy）失稳时柱的两端可视为铰支端(图a)；

若在垂直于屏幕平面内（xz）失稳时，柱的两端可视为固定端(图b)。例:截面为120mm200mm的矩形木柱，长l=7m，材料的弹性模量E=10GPa,p=8MPa。试求该木柱的临界力。(b)(a)讨论：

由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同，因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？∵两端铰支∴z=1在屏幕平面（xy）内绕z轴失稳时解:在屏幕平面内（xy）失稳时柱的两端可例:截面为120m∵两端固定∴y=0.5∵z>y

∴木柱失稳将在垂直于屏幕平面内绕y轴失稳。

在垂直于屏幕平面（xz）内绕y轴失稳时(b)(a)∵两端固定∴y=0.5∵z>y∴z>p∴应采用欧拉公式计算

木柱的临界力为选用计算公式(b)(a)z>p∴应采用欧拉公式计算木柱的临界

例．截面为120×200mm的矩形木柱，材料的弹性模量E=1×104Mpa。其支承情况为：在xoz平面失稳（即绕y轴失稳）时柱的两端可视为固定端（图a）；在xoy平面失稳（即绕z轴失稳）时，柱的两端可视为铰支端（图b）。试求该木柱的临界力。

解：(1)计算绕y轴失稳时的柔度

μy=0.5（两端固定）例．截面为120×200mm的矩形木柱，材料的弹性(2)计算绕z轴失稳时的柔度

μz=1（两端铰支）

(3)计算临界力

从上面计算可知：λz>λy（绕z失稳）

(2)计算绕z轴失稳时的柔度μz=1（两端铰支）(3)计λmax>λp，可由欧拉公式计算临界力该柱将可能在xoy平面失稳（绕z轴）。λmax>λp，可由欧拉公式计算临界力该柱将可能在xoy平1、安全系数法:一、稳定条件－稳定安全系数；－稳定许用压力。－稳定许用压应力。2、折减系数法:－许用应力；－折减系数，与压杆的柔度和材料有关。第四节压杆的稳定计算1、安全系数法:一、稳定条件－稳定安全系数；－稳定许用压力。注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别.

强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。二、稳定计算1)校核稳定性；2)设计截面尺寸；3)确定外荷载。1、安全系数法:注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别.应用上式的稳定条件，能够解决压杆下列三方面的问题。①验算压杆的稳定性

②确定容许荷载

③选择压杆的截面尺寸和形状

由于上式中，A和都是未知的，所以需采用逐次渐近法进行计算。2、折减系数法:先算出λ查表得稳定条件：先算出λ

查表得应用上式的稳定条件，能够解决压杆下列三方面的问题。①验算压

a．BC杆绕y失稳时，B端可视为铰支，长度系数为：

例．结构受力如图示，BC杆采用No18工字钢(Iz=1660cm4,iz=7.36cm,Iy=122cm4,iy=2cm,A=30.6cm2)。材料的弹性模量

E=2×105Mpa，比例极限，稳定安全系数

nW=3。试确定容许荷载[G]。解（一）求λmaxa．BC杆绕y失稳时，B端例．结构受力如图示即可能首先绕y轴失稳（二）确定BC杆的临界荷载BC杆的临界力可用欧拉公式计算

b．BC杆绕z失稳时，B端可视为自由端，长度系数为：即可能首先绕y轴失稳（二）确定BC杆的临界荷载BC杆（三）确定结构的容许荷载BC杆能承受的容许荷载为：结构的容许荷载:（三）确定结构的容许荷载BC杆能承受的容许荷载为：结构的解：折减系数法1、最大柔度xy平面内，z=1.0zy平面内，y=2.0例：图示起重机，AB杆为圆松木，长L=6m，[]=11MPa，直径为：d=0.3m，试求此杆的许用压力。（xy

面两端视为铰支；xz

面一端视为固定，一端视为自由）AF1BWF2xyzo解：折减系数法1、最大柔度xy平面内，z=1.0zy平面2、求折减系数3、求许用压力AF1BWF2