工程塑性理论主应力法课件

8.4主应力法

主应力法作为求塑性加工问题近似解的一种方法，在工程上得到了广泛的应用。该方法是以均匀变形假设为前提，将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程，将米塞斯屈服准则的二次方程简化为线性方程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题，从而获得工程上所需要的解。8.4主应力法

主应力法作为求塑性加工问题近似解的一种方法1主应力法的数学运算是比较简单的，由此可以确定材料特性、变形体几何尺寸、摩擦系数等工艺参数对变形力、变形功的影响；可确定可能的最大变形量、最小可轧厚度、镦粗或轧制时的中性面位置等。但是，由于上述基本假设的限制，采用主应力法无法分析变形体内的应力分布。

主应力法又称切块法、初等解析法、力平衡法等。

主应力法的数学运算是比较简单的，由此可以确定材料特性、变形体28.4.1主应力法的基本原理

（1）将问题简化成平面问题或轴对称问题，假设变形是均匀的。在平面应变条件下，变形前的平截面在变形后仍为平截面，且与原截面平行；8.4.1主应力法的基本原理

（1）将问题简化成平面问题或轴3在轴对称变形条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为圆柱面，且与原圆柱面同轴。对于形状复杂的变形体，可以根据变形体流动规律，将其划分成若干部分，对每一部分分别按平面问题或轴对称问题进行处理，最后“拼合”在一起，即可得到整个问题的解。在轴对称变形条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为圆柱面，且与原4（2）根据变形体的塑性流动规律切取单元体，单元体包含接触表面在内，因此，通常所切取的单元体高度等于变形区的高度，将剖切面上的正应力假设为均匀分布的主应力，因此，正应力的分布只随单一坐标变化，由此将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程。（2）根据变形体的塑性流动规律切取单元体，单元体包含接触表面5（3）在应用米塞斯屈服准则时，忽略切应力和摩擦切应力的影响，将米塞斯屈服准则二次方程简化为线性方程。即在主应力法中所采用的屈服准则为:

◆对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示，即（3）在应用米塞斯屈服准则时，忽略切应力和摩擦切应力的影响，6对于轴对称问题，习惯用屈服应力σs表示，即对于轴对称问题，习惯用屈服应力σs表示，即7（4）接触表面上的摩擦切应力分布采用简单的模型，例如库仑摩擦模型和常摩擦力模型式等。

（4）接触表面上的摩擦切应力分布采用简单的模型，例如库仑摩擦88.4.2长矩形板镦粗问题p8.4.2长矩形板镦粗问题p9假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。pl假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿10（1）切取单元体（1）切取单元体11（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡方程，即（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡12（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定13（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力p取为正值。沿y方向列平衡方程：

pldx+σyldx=0

p=-σy（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力14根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，屈服准则式变为如下形式，即根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，15将上式微分，可得dσx=-dp，

将上式微分，可得dσx=-dp，16（5）积分并确定积分常数（5）积分并确定积分常数17根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服准则式可知：

根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服18

19（6）求变形力P

变形力可由下式求出，即（6）求变形力P

变形力可由下式求出，即20（7）求平均压力（7）求平均压力21（8）变形功W

设矩形板变形前的高度为h0、变形后的高度为h1，在变形的某一瞬时，矩形板高度为h，在变形力P作用下，高度发生变化dh，则变形功为（8）变形功W

设矩形板变形前的高度为h0、变形后的高度为h22根据体积不变条件，可得b=V/lh，可得根据体积不变条件，可得b=V/lh，可得238.4.2长矩形板镦粗问题p8.4.2长矩形板镦粗问题p24假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。pl假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿25（1）切取单元体（1）切取单元体26（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡方程，即（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡27（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定28（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力p取为正值。沿y方向列平衡方程：

pldx+σyldx=0

p=-σy（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力29根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，屈服准则式变为如下形式，即根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，30将上式微分，可得dσx=-dp，

将上式微分，可得dσx=-dp，31（5）积分并确定积分常数（5）积分并确定积分常数32根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服准则式可知：

根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服33

34（6）求变形力P

变形力可由下式求出，即（6）求变形力P

变形力可由下式求出，即35（7）求平均压力（7）求平均压力368.4.2长矩形板镦粗问题pq8.4.2长矩形板镦粗问题pq37假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。pl假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿38（1）切取单元体（1）切取单元体39（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡方程，即（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡40（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定41（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力p取为正值。沿y方向列平衡方程：

pldx+σyldx=0

p=-σy（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力42根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，屈服准则式变为如下形式，即根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，43将上式微分，可得dσx=-dp，

将上式微分，可得dσx=-dp，44（5）积分并确定积分常数（5）积分并确定积分常数45根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=-q，由屈服准则式可知：

根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=-q，由屈46

478.4.2长矩形板镦粗问题pq8.4.2长矩形板镦粗问题pq488.4.3圆柱体镦粗问题8.4.3圆柱体镦粗问题49在均匀变形假设条件下，圆柱体在压缩过程中，不会出现鼓形，因此，圆柱体镦粗属于轴对称问题，宜采用圆柱坐标（r,θ,z）。设

h为圆柱体的高度

R为半径

σr为径向正应力

σθ为子午面上的正应力

τf为接触表面上的摩擦切应力。在均匀变形假设条件下，圆柱体在压缩过程中，不会出现鼓形，因此50

51沿径向列出单元体的静力平衡方程，即

沿径向列出单元体的静力平衡方程，即52

rdr

rdr53

54假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即55

56

根据应力应变顺序对应规律εr>εz，所以，σr>σz，因此，屈服准则式变为如下形式，即

根据应力应变顺序对应规律εr>εz，所以，σr>σz，因此57沿y方向列平衡方程：

p2πrdr+σz2πrdr=0

p=-σz

沿y方向列平衡方程：

p2πrdr58

59应力边界条件为，当r=R时，σr=0，

由屈服准则式可知:

应力边界条件为，当r=R时，σr=0，

由屈服准则式可知:60变形力为:变形力为:61平均压力为:平均压力为:628.4.4拉拔

8.4.4.1平面应变拉拔8.4.4拉拔

8.4.4.1平面应变拉拔63（1）拉拔应力（1）拉拔应力64沿坐标方向列出单元体的静力平衡方程，即沿坐标方向列出单元体的静力平衡方程，即65假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即66由图中几何关系可得

为了确定pn与σx之间的关系，首先需要找pn与σh之间的关系，为此沿h坐标轴方向列出静力平衡方程，即由图中几何关系可得为了确定pn与σx之间的关系，首先需要找67对于大多数拉拔过程，模具的半锥角α是比较小的，并且润滑条件也较好，因此，摩擦系数μ很小，上式中的μtanα远小于1，可略去。则有

对于大多数拉拔过程，模具的半锥角α是比较小的，并且润滑条件也68根据应力应变顺序对应规律可知，εx>εh，则σx>σh，可得根据应力应变顺序对应规律可知，εx>εh，则σx>σh，69应力边界条件为：当h=h0时，σx=σx0，代入上式，可得积分常数，即应力边界条件为：当h=h0时，σx=σx0，代入上式，可得积70模具上的压力分布，即模具上的压力分布，即71

当h=h1时，σx=σx1，σx1称为拉拔应力，即

当h=h1时，σx=σx1，72拉拔时的变形量通常用面缩率r来表示，在平面应变条件下，面缩率r可用下式来表示，即拉拔时的变形量通常用面缩率r来表示，在平面应变条件下，面缩率73（2）拉拔时一道次的最大面缩率

拉拔应力随道次面缩率的增加而增大，当拉拔应力达到拉拔模出口端外部产品的屈服应力，也就是材料的瞬时屈服应力时，拉拔产品将产生塑性变形，其应力和应变状态与单向拉伸实验完全相同，此时拉拔过程无法稳定进行。因此，拉拔时一道次最大面缩率的计算依据是拉拔应力等于拉拔模出口端外部材料的瞬时屈服应力。（2）拉拔时一道次的最大面缩率

拉拔应力随道次面缩率的增加而74

75

76在无摩擦条件下，最大面缩率为在无摩擦条件下，最大面缩率为77在无摩擦条件下，当后张力σx0=0时，最大面缩率rmax为在无摩擦条件下，当后张力σx0=0时，最大面缩率rmax为788.4.4.2轴对称拉拔8.4.4.2轴对称拉拔79（1）拉拔应力

沿z坐标方向列出单元体的静力平衡方程，即（1）拉拔应力

沿z坐标方向列出单元体的静力平衡方程，即80由图中的几何关系可得由图中的几何关系可得81

82沿r坐标轴方向列出静力平衡方程，即沿r坐标轴方向列出静力平衡方程，即83同平面应变拉拔的情况一样，对于大多数拉拔过程，模具的半锥角是比较小的，并且润滑条件也较好，因此，摩擦系数μ很小，上式中的μtanα远小于1，可略去，则有

同平面应变拉拔的情况一样，对于大多数拉拔过程，模具的半锥角是84与圆柱体镦粗问题相同，对于实心材轴对称拉拔问题：与圆柱体镦粗问题相同，对于实心材轴对称拉拔问题：85

根据应力应变顺序对应规律可知，εz>εr，则σz>σr，可得

根据应力应变顺序对应规律可知，εz>εr，则σz>σr86

87应力边界条件为：当D=D0时，σz=σz0，代入上式，可得积分常数，即应力边界条件为：当D=D0时，σz=σz0，代入上式，可得积88当D=D1时，σz=σz1，

σz1称为拉拔应力，即模具上的压力分布：当D=D1时，σz=σz1，

σz1称为拉拔应力，即模具上的89拉拔时的变形量通常用面缩率r表示，在轴对称条件下，面缩率r用下式来表示，即拉拔时的变形量通常用面缩率r表示，在轴对称条件下，面缩率r用90（2）拉拔时一道次的最大面缩率（2）拉拔时一道次的最大面缩率918.4.5轧制

轧制是金属塑性加工领域中应用最广泛、最重要的加工方式，轧制压力是轧钢工艺和设备设计的基本参数之一。目前对于板带轧制时的轧制压力计算大多是在平面应变条件下进行的。事实上，对于板带轧制，由于板材宽而薄，忽略宽展，将轧制过程假设为平面应变问题是比较准确的。8.4.5轧制

轧制是金属塑性加工领域中应用最广泛、最重要928.4.5.1以平板间均匀镦粗代替轧制过程

将板带轧制过程视为轧件在具有良好润滑的两平行平板间的均匀镦粗，可以得到求解轧制力的最简单公式。忽略宽展，将轧制过程视为平面应变问题，在宽度方向上取一个单位，设接触弧长的水平投影为l，轧件的平均屈服应力为2k，则单位宽度上的轧制力为8.4.5.1以平板间均匀镦粗代替轧制过程

将板带轧制过程93式中：R—轧辊半径；Δh=h0-h—轧件的压下量。

式中：R—轧辊半径；Δh=h0-h—轧件的压下量。

94在板带轧制时，压下量Δh远小于轧辊半径R，因此，可以忽略Δh的平方项，即

在板带轧制时，压下量Δh远小于轧辊半径R，因此，可以忽略Δh95式中没有考虑摩擦的影响，由此式可给出轧制力的下限。根据一些典型轧制过程的研究结果，奥洛万认为，摩擦对轧制力的影响大约为20%，因此，可将修正为式中没有考虑摩擦的影响，由此式可给出轧制力的下限。根据一些典96显然上式并不是计算轧制力的严密公式，但是，该式简单，便于记忆，当需要快速确定一个近似的轧制力时，采用上式是非常方便的。显然上式并不是计算轧制力的严密公式，但是，该式简单，便于记忆978.4.5.2卡尔曼方程

卡尔曼方程是求解轧制压力的基本微分方程式。假设

（a）轧件的宽度方向尺寸远大于厚度及变形区长度，因此，宽展可忽略不计，将轧制过程视为为平面应变问题。

8.4.5.2卡尔曼方程

卡尔曼方程是求解轧制压力的基本微分98（b）轧件的变形是均匀的，变形前的垂直横断面，在变形后仍保持为平面。

（c）在垂直横断面上没有切应力作用，水平正应力沿轧件高度方向均匀分布。（b）轧件的变形是均匀的，变形前的垂直横断面，在变形后仍保持99采用主应力法求解板带轧制压力时，所切取单元体的受力情况与平面应变拉拔时基本相同，但是，轧制时的材料流动规律与平面应变拉拔的情况不同。采用主应力法求解板带轧制压力时，所切取单元体的受力情况与平面100在轧制过程中，靠近变形区的出口端，轧件的流动速度大于轧辊的线速度，而在靠近变形区的入口端，轧件的流动速度小于轧辊的线速度，在均匀变形假设条件下，变形区内一定存在着轧件的流动速度等于轧辊线速度的平面，称为中性面。由中性面至出口端，称为前滑区，中性面至入口端，称为后滑区。在轧制过程中，靠近变形区的出口端，轧件的流动速度大于轧辊的线101中性面与接触弧的交点，称为中性点。中性点两侧的摩擦力方向是相反的，并且均指向中性点。中性点所对应的圆周角γ，称为中性角。整个接触弧所对应的圆周角α，称为咬入角。中性面与接触弧的交点，称为中性点。中性点两侧的摩擦力方向是相102

103由于轧制时金属流动规律的特殊性，建立轧制过程平衡方程，需要在中性面两侧的前滑区和后滑区分别切取单元体。在直角坐标系下，横坐标用x表示，纵坐标用h表示。设轧件变形前的高度为h0、变形后的高度为h1，pn为轧辊作用在单元体上的径向应力，取单位宽度的单元体，可以得到如下平衡方程，即由于轧制时金属流动规律的特殊性，建立轧制过程平衡方程，需要在104

105

106式中K通常取入口端与出口端轧件屈服应力的平均值，并设其为常数，即式中K通常取入口端与出口端轧件屈服应力的平均值，并设其为常数107由于K为常数，因此，式(8-51)变为如下形式，即由于K为常数，因此，式(8-51)变为如下形式，即108从式(8-52)中可以看出，为了求解卡尔曼方程，还需给定摩擦条件τf及θ角，τf

、θ不同，所得到的结果也不同。在轧制过程中，轧辊通常是要产生弹性变形的，轧辊与轧件的接触弧并非总是呈圆弧形，因此，在轧制理论中，为了简化计算，常常采用直线或某些特殊的曲线来代替实际的接触弧曲线。常用的接触弧曲线方程入表8-1所示。从式(8-52)中可以看出，为了求解卡尔曼方程，还需给定摩擦109

1108.4主应力法

主应力法作为求塑性加工问题近似解的一种方法，在工程上得到了广泛的应用。该方法是以均匀变形假设为前提，将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程，将米塞斯屈服准则的二次方程简化为线性方程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题，从而获得工程上所需要的解。8.4主应力法

主应力法作为求塑性加工问题近似解的一种方法111主应力法的数学运算是比较简单的，由此可以确定材料特性、变形体几何尺寸、摩擦系数等工艺参数对变形力、变形功的影响；可确定可能的最大变形量、最小可轧厚度、镦粗或轧制时的中性面位置等。但是，由于上述基本假设的限制，采用主应力法无法分析变形体内的应力分布。

主应力法又称切块法、初等解析法、力平衡法等。

主应力法的数学运算是比较简单的，由此可以确定材料特性、变形体1128.4.1主应力法的基本原理

（1）将问题简化成平面问题或轴对称问题，假设变形是均匀的。在平面应变条件下，变形前的平截面在变形后仍为平截面，且与原截面平行；8.4.1主应力法的基本原理

（1）将问题简化成平面问题或轴113在轴对称变形条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为圆柱面，且与原圆柱面同轴。对于形状复杂的变形体，可以根据变形体流动规律，将其划分成若干部分，对每一部分分别按平面问题或轴对称问题进行处理，最后“拼合”在一起，即可得到整个问题的解。在轴对称变形条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为圆柱面，且与原114（2）根据变形体的塑性流动规律切取单元体，单元体包含接触表面在内，因此，通常所切取的单元体高度等于变形区的高度，将剖切面上的正应力假设为均匀分布的主应力，因此，正应力的分布只随单一坐标变化，由此将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程。（2）根据变形体的塑性流动规律切取单元体，单元体包含接触表面115（3）在应用米塞斯屈服准则时，忽略切应力和摩擦切应力的影响，将米塞斯屈服准则二次方程简化为线性方程。即在主应力法中所采用的屈服准则为:

◆对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示，即（3）在应用米塞斯屈服准则时，忽略切应力和摩擦切应力的影响，116对于轴对称问题，习惯用屈服应力σs表示，即对于轴对称问题，习惯用屈服应力σs表示，即117（4）接触表面上的摩擦切应力分布采用简单的模型，例如库仑摩擦模型和常摩擦力模型式等。

（4）接触表面上的摩擦切应力分布采用简单的模型，例如库仑摩擦1188.4.2长矩形板镦粗问题p8.4.2长矩形板镦粗问题p119假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。pl假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿120（1）切取单元体（1）切取单元体121（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡方程，即（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡122（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定123（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力p取为正值。沿y方向列平衡方程：

pldx+σyldx=0

p=-σy（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力124根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，屈服准则式变为如下形式，即根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，125将上式微分，可得dσx=-dp，

将上式微分，可得dσx=-dp，126（5）积分并确定积分常数（5）积分并确定积分常数127根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服准则式可知：

根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服128

129（6）求变形力P

变形力可由下式求出，即（6）求变形力P

变形力可由下式求出，即130（7）求平均压力（7）求平均压力131（8）变形功W

设矩形板变形前的高度为h0、变形后的高度为h1，在变形的某一瞬时，矩形板高度为h，在变形力P作用下，高度发生变化dh，则变形功为（8）变形功W

设矩形板变形前的高度为h0、变形后的高度为h132根据体积不变条件，可得b=V/lh，可得根据体积不变条件，可得b=V/lh，可得1338.4.2长矩形板镦粗问题p8.4.2长矩形板镦粗问题p134假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。pl假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿135（1）切取单元体（1）切取单元体136（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡方程，即（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡137（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定138（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力p取为正值。沿y方向列平衡方程：

pldx+σyldx=0

p=-σy（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力139根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，屈服准则式变为如下形式，即根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，140将上式微分，可得dσx=-dp，

将上式微分，可得dσx=-dp，141（5）积分并确定积分常数（5）积分并确定积分常数142根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服准则式可知：

根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=0，由屈服143

144（6）求变形力P

变形力可由下式求出，即（6）求变形力P

变形力可由下式求出，即145（7）求平均压力（7）求平均压力1468.4.2长矩形板镦粗问题pq8.4.2长矩形板镦粗问题pq147假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零，由此可将长矩形板镦粗视为平面应变问题。pl假设矩形板长度l远大于高度h和宽度b，则可近似地认为矩形板沿148（1）切取单元体（1）切取单元体149（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡方程，即（2）列出单元体的静力平衡方程

沿x方向列出单元体的静力平衡150（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即（3）代入摩擦条件

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定151（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力p取为正值。沿y方向列平衡方程：

pldx+σyldx=0

p=-σy（4）引用屈服准则

工程上习惯将工具作用在变形体上的单位压力152根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，屈服准则式变为如下形式，即根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所以，σx>σy，因此，153将上式微分，可得dσx=-dp，

将上式微分，可得dσx=-dp，154（5）积分并确定积分常数（5）积分并确定积分常数155根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=-q，由屈服准则式可知：

根据应力边界条件定积分常数。当x=b/2时，σx=-q，由屈156

1578.4.2长矩形板镦粗问题pq8.4.2长矩形板镦粗问题pq1588.4.3圆柱体镦粗问题8.4.3圆柱体镦粗问题159在均匀变形假设条件下，圆柱体在压缩过程中，不会出现鼓形，因此，圆柱体镦粗属于轴对称问题，宜采用圆柱坐标（r,θ,z）。设

h为圆柱体的高度

R为半径

σr为径向正应力

σθ为子午面上的正应力

τf为接触表面上的摩擦切应力。在均匀变形假设条件下，圆柱体在压缩过程中，不会出现鼓形，因此160

161沿径向列出单元体的静力平衡方程，即

沿径向列出单元体的静力平衡方程，即162

rdr

rdr163

164假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即165

166

根据应力应变顺序对应规律εr>εz，所以，σr>σz，因此，屈服准则式变为如下形式，即

根据应力应变顺序对应规律εr>εz，所以，σr>σz，因此167沿y方向列平衡方程：

p2πrdr+σz2πrdr=0

p=-σz

沿y方向列平衡方程：

p2πrdr168

169应力边界条件为，当r=R时，σr=0，

由屈服准则式可知:

应力边界条件为，当r=R时，σr=0，

由屈服准则式可知:170变形力为:变形力为:171平均压力为:平均压力为:1728.4.4拉拔

8.4.4.1平面应变拉拔8.4.4拉拔

8.4.4.1平面应变拉拔173（1）拉拔应力（1）拉拔应力174沿坐标方向列出单元体的静力平衡方程，即沿坐标方向列出单元体的静力平衡方程，即175假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即

假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律，即176由图中几何关系可得

为了确定pn与σx之间的关系，首先需要找pn与σh之间的关系，为此沿h坐标轴方向列出静力平衡方程，即由图中几何关系可得为了确定pn与σx之间的关系，首先需要找177对于大多数拉拔过程，模具的半锥角α是比较小的，并且润滑条件也较好，因此，摩擦系数μ很小，上式中的μtanα远小于1，可略去。则有

对于大多数拉拔过程，模具的半锥角α是比较小的，并且润滑条件也178根据应力应变顺序对应规律可知，εx>εh，则σx>σh，可得根据应力应变顺序对应规律可知，εx>εh，则σx>σh，179应力边界条件为：当h=h0时，σx=σx0，代入上式，可得积分常数，即应力边界条件为：当h=h0时，σx=σx0，代入上式，可得积180模具上的压力分布，即模具上的压力分布，即181

当h=h1时，σx=σx1，σx1称为拉拔应力，即

当h=h1时，σx=σx1，182拉拔时的变形量通常用面缩率r来表示，在平面应变条件下，面缩率r可用下式来表示，即拉拔时的变形量通常用面缩率r来表示，在平面应变条件下，面缩率183（2）拉拔时一道次的最大面缩率

拉拔应力随道次面缩率的增加而增大，当拉拔应力达到拉拔模出口端外部产品的屈服应力，也就是材料的瞬时屈服应力时，拉拔产品将产生塑性变形，其应力和应变状态与单向拉伸实验完全相同，此时拉拔过程无法稳定进行。因此，拉拔时一道次最大面缩率的计算依据是拉拔应力等于拉拔模出口端外部材料的瞬时屈服应力。（2）拉拔时一道次的最大面缩率

拉拔应力随道次面缩率的增加而184

185

186在无摩擦条件下，最大面缩率为在无摩擦条件下，最大面缩率为187在无摩擦条件下，当后张力σx0=0时，最大面缩率rmax为在无摩擦条件下，当后张力σx0=0时，最大面缩率rmax为1888.4.4.2轴对称拉拔8.4.4.2轴对称拉拔189（1）拉拔应力

沿z坐标方向列出单元体的静力平衡方程，即（1）拉拔应力

沿z坐标方向列出单元体的静力平衡方程，即190由图中的几何关系可得由图中的几何关系可得191

192沿r坐标轴方向列出静力平衡方程，即沿r坐标轴方向列出静力平衡方程，即193同平面应变拉拔的情况一样，对于大多数拉拔过程，模具的半锥角是比较小的，并且润滑条件也较好，因此，摩擦系数μ很小，上式中的μtanα远小于1，可略去，则有

同平面应变拉拔的情况一样，对于大多数拉拔过程，模具的半锥角是194与圆柱体镦粗问题相同，对于实心材轴对称拉拔问题：与圆柱体镦粗问题相同，对于实心材轴对称拉拔问题：195

根据应力应变顺序对应规律可知，εz>εr，则σz>σr，可得

根据应力应变顺序对应规律可知，εz>εr，则σz>σr196

197应力边界条件为：当D=D0时，σz=σz0，代入上式，可得积分常数，即应力边界条件为：当D=D0时，σz=σz0，代入上式，可得积198当D=D1时，σz=σz1，

σz1称为拉拔应力，即模具上的压力分布：当D=D1时，σz=σz1，

σz1称为拉拔应力，即模具上的199拉拔时的变形量通常用面缩率r表示，在轴对称条件下，面缩率r用下式来表示，即拉拔时的变形量通常用面缩率r表示，在轴对称条件下，面缩率r用200（2）拉拔时一道次的最大面缩率（2）拉拔时一道次的最大面缩率2018.4.5轧制

轧制是金属塑性加工领域中应用最广泛、最重要的加工方式，轧制压力是轧钢工艺和设备设计的基本参数之一。目前对于板带轧制时的轧制压力计算大多是在平面应变条件下进行的。事实上，对于板带轧制，由于板材宽而薄，忽略宽展，将轧制过程假设为平面应变问题是比较准确的。8.4.5轧制

轧制是金属塑性加工领域中应用最广泛、最重要2028.4.5.1以平板间均匀镦粗代替轧制过程

将板带轧制过程视为轧件在具有良好润滑的两平行平板间的均匀镦粗，可以得到求解轧制力的最简单公式。忽略宽展，将轧制过程视为平面应变问题，在宽度方向上取一个单位，设接触弧长的水平投影为l，轧件的平均屈服应力为2k，则单位宽度上的轧制力为8.4.5.1以平板间均匀镦