内蒙古呼和浩特市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

第19页/共19页2021-2022学年呼和浩特市高一年级质量数据监测数学一､选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：，则.故选：A.2.已知函数，则的值是（）A.8 B.4 C.-8 D.-4【答案】A【解析】【分析】分段函数求函数值.【详解】由题意可得，，所以.故选：A3.如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由斜二侧画法的规则分析判断即可【详解】先作出一个正三角形，然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，画对应的轴，使夹角为，画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A4.已知集合，，则B中所含元素的个数为（）A.3 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】根据集合的形式，逐个验证的值，从而可求出集合中的元素.【详解】因为，所以时，；时，或；时，，或.所以，所以B中所含元素的个数为.故选：B.5.用二分法求方程的近似解，求得函数的部分函数值数据如下：，，，，则方程的一个近似根x所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理可判断出函数零点所在的区间，从而可得到方程近似根x所在的区间.【详解】由题意，知，所以函数的零点在区间内，即方程的一个近似根x所在区间为.故选：B.6.如果且，那么直线不通过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.【详解】因为，所以，所以直线方程可化为．因为且，所以同号，异号，从而有，所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．故选：C．7.已知，则函数的图像必定不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图象与轴无限接近.因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.故选：A．8.如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（）A.平面 B.，C.，平面平面 D.，【答案】D【解析】【分析】A选项利用线面垂直（平面）可推出线线垂直（），B选项利用两组线线垂直（，）推出线面垂直（平面），再推出线垂直（），C选项利用面面垂直的性质定理可推出，D选项不能证明出.【详解】平面，平面，，故A选项可以证明，因此不选.，，平面，平面，平面，.故B选项可以证明，因此不选.平面平面，平面平面，，由面面垂直的性质定理知平面.平面，，故C选项可以证明，因此不选.由D选项，并不能推出.故选：D.9.下列函数图象中，函数的图象不可能的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，验证正确.当时，验证正确.当时，验证正确.【详解】当时，，定义域为关于原点对称.，则为偶函数.当时，.则即函数在上单调递增，则函数在上单调递减.此时函数的图象可能为选项.当时，，定义为且关于原点对称.，则为偶函数.当时，.则当时，即函数在上单调递减当时，即则函数在上单调递增.根据对称性可知，此时函数的图象可能为选项.当时，，定义为关于原点对称.，则为奇函数.当时，.则令，则即并且在上单调递增，并且在上单调递增.根据对称性可知，此时函数的图象可能为选项.故选：C【点睛】本题考查函数的图象，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于较难的题.10.已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是（）A.①②③ B.①③ C.②③ D.①③④【答案】B【解析】【分析】利用面面平行、线面垂直的性质可判断①；直接根据已知条件判断线线位置关系，可判断②；利用线面平行、垂直的性质可判断③；根据已知条件直接判断面面位置关系，可判断④.【详解】因为直线平面，直线平面.对于①，若，则，从而，①对；对于②，若，则或，则与的位置关系不确定，②错；对于③，若，则，因为，则，③对；对于④，因为，，则或，则或、相交、重合，④错.故选：B.11.设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论：①；②；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于点对称；其中，正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】令，①：根据求解出的值并判断；②：根据为奇函数可知，化简此式并进行判断；根据与的图象关系确定出关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.【详解】令，①因为为上的奇函数，所以，所以，故正确；②因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确；因为的图象由的图象向左平移一个单位得到的，又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④，故选：C.【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若为偶函数，则函数的图象关于直线对称；（2）若为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称.12.已知一种放射性元素最初的质量是，按每年10%衰减.（已知，），则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（）（结果精确到0.1）A.7.6年 B.7.8年 C.6.2年 D.6.6年【答案】D【解析】【分析】列出指数方程，两边取对数，进行求解.【详解】设这种元素的半衰期为t，则，两边取常用对数得：.故选：D二､填空题（共8小题，毎小题4分，共32分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程.）13.已知直线l经过，两点，则l的斜率为___________.【答案】【解析】【分析】利用两点斜率公式进行求解.【详解】利用斜率公式：故答案为：14.如果且，则___________.【答案】1【解析】【分析】利用对数运算公式进行计算.【详解】.故答案为：115.函数的定义域为___________.【答案】【解析】【分析】真数大于0，根号下要非负，列出不等式组，求出解集，进而求出定义域.【详解】函数要满足：，解得：，故定义域：故答案为：16.已知，那么___________.【答案】##【解析】【分析】设，利用换元法可求得的表达式，即可得解.【详解】设，则，所以，，则.故答案为：.17.经过两条直线、交点，且与直线平行的直线方程为___________.【答案】【解析】【分析】求出直线、的交点坐标，设所求直线方程为，将交点坐标代入直线方程，求出的值，即可得解.【详解】联立，解得，故直线、交点坐标为，设所求直线方程为，则，解得.故所求直线的方程为.故答案为：.18.已知一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为___________.【答案】##【解析】【分析】分析可知，该几何体为圆锥，确定该圆锥的母线长与半径，可求得该圆锥的侧面积.【详解】由题意可知，该几何体是圆锥，且该圆锥的母线长为，底面半径长为，因此，该圆锥的侧面积为.故答案为：.19.设函数，如果，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】通过分和两种情况进行讨论，从而可求出的取值范围.【详解】因为，所以或，解得或，所以的取值范围是.故答案为：.20.一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线；三种情况得到答案.【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得（3）；当截面过正方体的体对角线时得（2）；当截面既不平行于任何侧面也不过体对角线时得（1）；但无论如何都不能截出（4）.答案：（1）（2）（3）.【点睛】本题考查了截面图形，漏解是容易发生的错误.三､解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21.已知点，点，求线段AB的垂直平分线的方程.【答案】【解析】【分析】法一：利用垂直得到线段AB的垂直平分线的斜率，结合AB的中点为，利用点斜式求出直线方程；法二：设线段AB的垂直平分线上任意一点，利用，建立方程，求出线段AB的垂直平分线的方程.【详解】：（法一）设线段AB的垂直平分线为，因为，所以，所以.又AB的中点为.线段AB的垂直平分线所在直线的方程为即.（法二）设是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则，即化简得：线段AB的垂直平分线的方程为.22.如图，已知矩形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的中点.（1）求证：平面PAD；（2）若，，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取PD的中点E，连接EN，EA，只需证明四边形AMNE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可证明平面PAD；（2）根据，从而只需求即可.【小问1详解】取PD的中点E，连接EN，EA，因为分别为的中点，所以，又因为M为AB的中点，所以，所以，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.【小问2详解】因为矩形ABCD所在平面，，，所以，所以，又因为N为PC的中点，所以.23.已知函数.（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；（2）解不等式.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）根据在区间上单调递增，得到，即可解出的集合.【详解】解：（1）设任意的且，则，且，，，即，即，即对任意的，当时，都有，在区间上是增函数；（2）由（1）知：在区间上是增函数；又，，即，即，解得：，即的解集为：.【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：1.取值：任取，，规定，2.作差：计算，3.定号：确定的正负，4.得出结论：根据同增异减得出结论.24.已知一条动直线，（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，定点；（2）存在，且直线方程为.【解析】【分析】（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标；（2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解.小问1详解】证明：将直线方程变形为，由，可得，因此，直线恒过定点.【小问2详解】解：设点A的坐标为，若，则，则、，直线的斜率为，故直线的方程为，即，此时直线与轴的交点为，则，，，此时的周长为.所以，存在直线满足题意.25.如下图所示，已知棱长为1正方体中，点E，F分别是棱AB，中点.（1）求证：三条直线DA，CE，交于一点；（2）求三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)两条相交直线确定一个平面，三条直线共点，可以通过三点共线得到；(2)运用台体的体积公式求解.【小问1详解】证明：延长CE交DA的延长线于点O，易得.在与中,∴∴∴O､F､三点共线.∴三条直线DA､CE､交于一点O.【小问2详解】26.“菊花”型烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）存在函数关系，并得到相关数据如表：时间t12高度h1923.519（1）根据上表数据，请你从下列函数中选取一个函数，较准确地描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：，，，确定此函数解析式并简单说明你选取该函数模型