多目标决策课件

第六讲多目标决策分析12/15/20221第六讲多目标决策分析12/13/20221概念在社会经济系统的研究控制过程中我们所面临的系统决策问题常常是多目标的，例如我们在研究生产过程的组织决策时，既要考虑生产系统的产量最大，又要使产品质量高，生产成本低等。这些目标之间相互作用和矛盾，使决策过程相当复杂使决策者常常很难轻易作出决策。这类具有多个目标的决策总是就是多目标决策。12/15/20222概念在社会经济系统的研究控制过程中我们所面临的系统概念多目标决策方法现已广泛地应用于工艺过程、工艺设计、配方配比、水资源利用、环境、人口、教育、能源、企业高速武器系统设计和评价、经济管理等领域。12/15/20223概念多目标决策方法现已广泛地应用于工艺过程、工艺根据决策问题背景的不同，多目标决策（多准则决策）问题可分为多属性决策（有限方案多目标决策问题）和多目标决策（无限方案多目标决策问题）两大类。12/15/20224根据决策问题背景的不同，多目标决策（多准则决策）问题可分为多一般来说，这两类多准则决策的主要区别在于：前者的决策空间是离散的，后者的决策空间是连续的；在本质上，前者是研究已知决策方案的评价选择问题，后者是研究未知决策方案的规划设计问题；在解法上，前者的一些理论与方法是求解后者的基础。12/15/20225一般来说，这两类多准则决策的主要区别在于：前者的决策空间是离目标准则决策目标：决策问题要达到的目的。决策准则：用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则。单目标决策也被称为单准则决策。在多目标决策中，决策准则也是多个。多目标决策的关键，是合理的选择和构造目标准则体系，从总体上对可行方案进行比较和选优。12/15/20226目标准则决策目标：决策问题要达到的目的。12/13/2022多目标决策在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准则直接进行评价和比较，有的目标难以直接评价。需要将他们分解成若干级别较低的子目标，直到可以直接用一个或几个准则进行比较和分析为止。形成一个分层结构复杂的目标准则体系。12/15/20227多目标决策在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准目标准则体系12/15/20228目标准则体系12/13/20228目标准则体系说明最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标。

最下一层，其中的每个子目标都可以用单一准则评价，称为准则层。合理的给出表示每个可行方案满意程度的数值，称为满意度。构建多目标决策问题的目标准则体系，是多目标决策分析的前提。

12/15/20229目标准则体系说明最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标。构建目标准则体系的原则

系统性原则

各子目标要反映所有因素对社会经济活动的整体影响，重视决策问题各环境因素层次性和相关性。

可比性原则各子目标的分解和设计既要注意不同社会经济系统的横向比较，又要注意同一系统纵向动态分析。

可操作性原则

各评价子目标设计要含义明确，与现行统计指标口径一致，便于采集数据。

12/15/202210构建目标准则体系的原则系统性原则12/13/202210目标准则体系的结构

单层次目标准则体系序列型多层次目标决则体系非序列型多层次目标准则体系

下部分内容12/15/202211目标准则体系的结构单层次目标准则体系下部分内容12/13/单层次目标准则体系各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。这类多目标决策问题，可以在微观经济管理中经常碰到。比如选购某种设备和装置，一般这都有一些常规的技术和经济指标要求，这些都可以用单层次目标准则体系评价。返回12/15/202212单层次目标准则体系各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就序列型多层次目标决则体系目标准则体系的各个目标，都可以按照序列

分解为若干低一层次的子目标，各子目标又可继续分解，这样一层层按类别有序的进行分解，直到可以按某个准则进行数量评价为止。前面的海港港址的决策，就是这种类型。返回12/15/202213序列型多层次目标决则体系目标准则体系的各个目标，都可以按照序非序列型多层次目标准则体系将所有的子目标按其性质划分为若干层次，最低一层为准则层，构成多层次目标准则体系。但与序列型多层次目标决则体系不同的是，某一层次的各子目标，一般不是相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系。

返回12/15/202214非序列型多层次目标准则体系将所有的子目标按其性质划分为若干层评价准则和效用函数

不同的评价准则度量单位各异，变化方向不同，如何给出可行方案关于全部目标的满意度，是多目标决策的关键。为此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳和综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。如：效用和效用函数

12/15/202215评价准则和效用函数不同的评价准则度量单位各异，变化方向不同评价准则和效用函数（续）目标准则一经确立，任何可行方案实施的效果，均可经过各目标准则而得到的一组效用值，这也表示了该方案对决策主体的价值，都用区间[0，1]上的实数表示。这样任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合可得。

12/15/202216评价准则和效用函数（续）目标准则一经确立，任何可行方案实施的多目标决策问题的共同特点

目标之间的不可公度性

指目标之间没有统一的衡量标准，因此难以比较。

目标之间的矛盾性

某可行方案提高了这一个目标值，可能就会对另一个目标值有所损害。

因而，无法用求解单目标决策问题的分析方法去求解多目标问题。

12/15/202217多目标决策问题的共同特点目标之间的不可公度性12/13/制定多目标决策的过程明确问题，标明目标和辨别属性实施或重新评价开始了解待解决的多目标问题构造模型并估计参数方案集X属性的值f1(x),…,fn(x)决定决策环境和自然状态价值判断12/15/202218制定多目标决策的过程明确问题，标明目标和辨别属性实施或开始了多维效用并合方法

多目标决策问题有s个评价准则，有m个可行方案ai（i=1,2,……,m）。相应的效用函数为u1,u2,……,us，在s个评价准则下的效用值分别是uj(i),j=1,2,……,s。将s个分效用并合为总效用，并依据总效用对可行方案进行评价选优。这种多目标决策方法，称为多维效用并合方法。主要用来解决序列型多层次目标准则体系问题。12/15/202219多维效用并合方法多目标决策问题有s个评价准则，有m个效用并合规则和程序

由下而上，分类逐层进行。首先按某种规则并合最低一层各准则的效用值，得到倒数第二层的并合效用值，称为初级并合，同样，再对初级并合的效用值进行第二级并合，得到第三层各子目标的并合效用值。如此逐层进行，可得到可行方案对整个多层结构目标准则体系的总效用值。总效用值体现了可行方案关于目标准则体系的整体特征以及对于决策主体的总体偏好，称为可行方案的满意度。

12/15/202220效用并合规则和程序由下而上，分类逐层进行。首先按某种规则并多维并合规则

距离规则

代换规则

加法规则乘法规则

混合规则

下部分内容12/15/202221多维并合规则距离规则下部分内容12/13/202221有关定义设效用u1，u2，……，us分别在[0，1]上取值，二元函数W=W（u1，u2，……，us）为二维效用函数。其定义域为n维效用空间上有2n个顶点的凸多面体。曲面W称为n维效用平面。

12/15/202222有关定义设效用u1，u2，……，us分别在[0，1]上取值，距离规则

二维效用的距离规则满足下列条件：

当二效用同时达到最大值时，并合效用才达到最大值

。当二效用同时达到最小值时，并合效用取零效用值。二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离

成正比例。这种规则称为距离规则。

12/15/202223距离规则二维效用的距离规则满足下列条件：12/13/20距离规则的数学描述

W=W（u1，u2）应满足以下条件：

W（1，1）=1

W（0，0）=0

0<W(1，u2)<1，u2∈[0，1]0<W(u1，1)<1，u1∈[0，1]W（u1，u2）与距离d成正比例变化。12/15/202224距离规则的数学描述W=W（u1，u2）应满足以下条件：二维并合的距离规则计算公式

设效用最大值点为Q*(1，1)，最小点为Q(0，0)，两点距离为，点Q(u1，u2)与点Q*之间的距离为d，于是有则

12/15/202225二维并合的距离规则计算公式设效用最大值点为Q*(1，1)，多维并合的距离规则计算公式

n维效用空间是2n个顶点的凸多面体，其中必有一点Q*(1,1,……,1)为最大值点,即W(Q*)=1。也必有一点Q(0,0,……,0)为最小值点。N维效用空间任一点Q与点Q*的距离为d。点Q*与Q之间的距离为，于是：

12/15/202226多维并合的距离规则计算公式n维效用空间是2n个顶点的凸多面代换规则

二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用达到最高水平一样，形象的说，代换规则反映了效用之间的“一好遮百丑”的特征。

12/15/202227代换规则二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主代换规则二维并合公式W=W(u1,u2)为代换规则确定的二维效用函数，应该满足以下条件：W（1，1）=1

W（0，0）=0

0<W(1，u2)<1，u2∈[0，1]0<W(u1，1)<1，u1∈[0，1]公式如下：W(u1,u2)=1–(1–u1)(1–u2)=u1+u2+u1u2

12/15/202228代换规则二维并合公式W=W(u1,u2)为代换规则确定的二维代换规则多维并合公式在n维效用空间中，除Q0的并合效用值为零以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于1。n维效用并合的代换规则公式为

12/15/202229代换规则多维并合公式在n维效用空间中，除Q0的并合效用值为零举例子目标间可以相互替代例如，设备运行可靠性问题。设备运行可靠性目标可以分解为设备自身可靠性和维修保养两个子目标，这两个子目标效用之间可以相互替代。设备可靠性好，即使维修保养差一些，也能保证设备可靠运行。同样，维修保养好，即使设备可靠性较差，也能保证设备运行可靠，故适合代换规则。

返回12/15/202230举例子目标间可以相互替代返回12/13/202230加法规则

二维效用并合的加法规则适用于以下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以相互线性的补偿。完满的总效用只有当二效用值均达到最高水平才能实现，加法规则反映了二目标效用之间“好坏搭配”的特征。

12/15/202231加法规则二维效用并合的加法规则适用于以下情况：二效用的变化加法规则二维并合公式W=W(u1,u2)为加法规则确定的二维效用函数，应该满足以下条件：W（1，1）=1

W（0，0）=0

W(1，0)=ρ1,W(1，0)=ρ2,ρ1+ρ2=1公式：ρ1

，ρ2称为二效用的权系数，表示各自在并合中的重要程度。12/15/202232加法规则二维并合公式W=W(u1,u2)为加法规则确定的二维加法规则多维并合公式n维效用空间各顶点并合效用值，除了Q，Q*以外，其余2n-2个顶点的并合效用值均在0－1间。其中仅有一维效用值为1，其余维效用值为0的n个点并合效用值大小由该效用对并合效用重要程度来决定。

其中，12/15/202233加法规则多维并合公式n维效用空间各顶点并合效用值，除了Q，Q举例例如，居民消费水平目标可以分解为吃和用两个子目标，其中一个效用值减少，而另一个效用值增加，可以认为它们之间相互能够补偿，居民消费水平并没有下降。因此，这里适合与用加法规则。

返回12/15/202234举例例如，居民消费水平目标可以分解为吃和用两个子目标，其中一乘法规则

乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代。只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用为0。这种情况恰好与代换规则相反，乘法规则反映了二目标效用之间“不可偏废”的特征。

12/15/202235乘法规则乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有乘法规则二维合并公式W=W(u1,u2)为乘法规则确定的二维效用函数，应该满足以下条件：W（1，1）=1

W（0，0）=0

W(1，0)=W(1，0)=0公式：ρ1

，ρ2是正常数。12/15/202236乘法规则二维合并公式W=W(u1,u2)为乘法规则确定的二维乘法规则多维合并公式n维效用空间中，除Q*的并合效用值为1以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于0。公式：一般公式：

对数形式：ρi为正常数。

12/15/202237乘法规则多维合并公式n维效用空间中，除Q*的并合效用值为1以举例例如，某管理信息系统的运行功能与可靠性二子目标效用的并合关系，符合乘法法则。功能强而可靠性差的系统，或者可靠性好而功能差的系统，起总体运行质量都是差的，两者之间不能相互代替和补偿。

返回12/15/202238举例例如，某管理信息系统的运行功能与可靠性二子目标效用的并合混合规则

混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换，加法和乘法三规则更为一般的情况。当上面的三个规则选用哪个拿不准时，可以考虑该规则。

混合规则的公式

其中，γ为形式因子。12/15/202239混合规则混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换混合规则的公式变形γ取不同值分别表述上述三种规则之一。当γ

≠

0时，公式化为较为规范的形式当γ

=

0且c1+c2=1时，为加法规则形式当γ

=

0且c1=c2=1时，为代换规则形式

12/15/202240混合规则的公式变形γ取不同值分别表述上述三种规则之一。12/混合规则的公式变形当γ

>>0时，公式近似乘法规则形式

混合规则的n维效用并合公式

返回12/15/202241混合规则的公式变形当γ>>0时，公式近似乘法规则形式返AHP方法概述

AHP（AnalyticHierarchyProcess）方法，又称为层次分析法或多层次权重解析方法，20世纪70年代初美国著名运筹学家Saaty提出。该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效的分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效的综合测度决策者的判断和比较。它能把定性因素定量化，并能在一定程度上检验和减少主观影响，使评价更趋科学化。12/15/202242AHP方法概述AHP（AnalyticHierarchy递阶层次结构模型递阶层次结构模型能够反映系统本质属性和内在联系。构造方法：根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系和隶属关系等，将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。12/15/202243递阶层次结构模型递阶层次结构模型能够反映系统本质属性和内在AHP的层次结构AHP的层次结构既可以是序列型的，也可以是非序列型的。可以分为三个层：最高层。只有一个元素，表示决策分析的总目标，也可称为总目标层。中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的子目标，包括各种约束，准则，策略等，因此，也称为目标层。最低层。表示实现各决策目标的可行方案，措施等，也称为方案层。12/15/202244AHP的层次结构AHP的层次结构既可以是序列型的，也可以是层次结构图下部分内容12/15/202245层次结构图下部分内容12/13/202245层次结构图说明相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存在关系，则没有作用线。如某元素与相邻下一层所有元素都有关系，就称该元素与下一层次存在完全层次关系。在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度而定，不宜过多。每一层次元素一般不要超过9个。构造一个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键。12/15/202246层次结构图说明相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线举例讲义Page52.构造科研课题决策的层次结构模型。层次结构图即前面的例图。看图12/15/202247举例讲义Page52.看图12/13/202247优先权重构造了层次模型后，决策就转化为待评可行方案关于具有层次结构的目标准则体系的排序问题。AHP方法采用优先权作为区分方案优劣程度的指标。优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和1之间。数值越大，方案越优，反之越劣。12/15/202248优先权重构造了层次模型后，决策就转化为待评可行方案关于具有层递阶层次权重解析方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上而下逐层计算得到的。这个过程称为递阶层次权重解析过程。12/15/202249递阶层次权重解析方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，判断矩阵m个物体测重问题（两两比较）设各物体重量组成的向量为G=（g1，g2，…，gm）T12/15/202250判断矩阵m个物体测重问题（两两比较）12/13/202250层次元素排序的特征向量法m为A的最大特征值，G是A属于特征值m的特征向量。

12/15/202251层次元素排序的特征向量法12/13/202251说明一组物体无法直接测出各物体的重量，可以通过两两比较判断，得到每对物体相对重量的判断值，构造判断矩阵。求出判断矩阵的特征值和对应的特征向量，就得到物体的相对重量。对其他领域决策问题，可以通过建立层次结构模型，在相邻两层次间构造两两元素比较判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。12/15/202252说明一组物体无法直接测出各物体的重量，可以通过两两比较判断，互反一致性正矩阵判断矩阵A=（aij）m×m，aij>0。满足以下三个条件的判断矩阵称为互反的一致性正矩阵：aii=1；aij=1/aji;aij=aik/ajk。12/15/202253互反一致性正矩阵判断矩阵A=（aij）m×m，aij>0矩阵的一些概念正矩阵：矩阵A=(aij)m×m

对于中的任何一组值，都有aij>0，记作A>0。正向量：m维向量X=(x1,x2,…,xm)T，其中xi>0，记作X>0。互反正矩阵：对于A=(aij)m×m，aij>0，并满足aii=1，aij=1/aji。一致性矩阵：A=(aij)m×m满足aij=aik/ajk。

12/15/202254矩阵的一些概念正矩阵：矩阵A=(aij)m×m对于中的任何一致性矩阵的性质一致性矩阵也是互反正矩阵AT也是一致性矩阵

A的每一行均为任意指定一行的正数倍数，并且秩（A）=1A最大特征值λmax=m，其他特征值为零若A的属于λmax的特征向量为X=（x1，x2，…，xm）T，则aij=xi/xj。12/15/202255一致性矩阵的性质一致性矩阵也是互反正矩阵12/13/20互反正矩阵的性质设λmax为A的最大特征值，则：λmax≥m对于A来说，A也是一致性矩阵的充分必要条件是：

λmax=m12/15/202256互反正矩阵的性质设λmax为A的最大特征值，则：12/13Saaty的1－9标度法则12/15/202257Saaty的1－9标度法则12/13/202257判断矩阵的一致性按照1-9标度构造的判断矩阵，显然是正矩阵，并也是互反正矩阵。但一般不一定满足一致性条件:aij=aik/ajk。满足一致性条件的矩阵，称之为“具有完全的一致性”。判断矩阵一般不具有完全的一致性。最大特征值λmax≥m，其余特征值并非全为零。12/15/202258判断矩阵的一致性按照1-9标度构造的判断矩阵，显然是正矩阵满意一致性判断矩阵A一般仅仅是互反正矩阵，并且判断值aij与计算值wi/wj并非一致。

尽管判断矩阵一般情况不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值λmax稍大于m，其余特征值接近于零，称之为具有满意的一致性。只有这样计算出的层次单排序结果才是合理的。12/15/202259满意一致性判断矩阵A一般仅仅是互反正矩阵，并且判断值aij判断矩阵的一致性指标CI一般说来，CI越大偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。另外，m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。当m≤2时，CI=0，表示判断矩阵具有完全的一致性。

12/15/202260判断矩阵的一致性指标CI一般说来，CI越大偏离一致性越大。反平均随机一致性指标RIRI指标随判断矩阵的阶数而变化。Saaty计算RI值是用随机方法构造判断矩阵，经过500次以上的重复计算，求出一致性指标，并加以平均而得到的。RI指标参考值见讲义。12/15/202261平均随机一致性指标RIRI指标随判断矩阵的阶数而变化。12/一致性比率CR一致性指标CI与同阶的平均一致性指标RI的比值，称为一致性比率。用一致性比率CR检验判断矩阵一致性，CR越小时，判断矩阵一致性也越好。一般CR≤0.1，认为判断矩阵符合满意的一致性标准，层次单排序的结果可以接受，否则需要修正判断矩阵，直到检验通过。

12/15/202262一致性比率CR一致性指标CI与同阶的平均一致性指标RI的比值判断矩阵的一致性检验步骤求出一致性指标C.I。

查表得到平均随机一致性指标R.I。

计算一致性比率C.R，当C.R≤0.1时，接受判断矩阵，否则，修正该判断矩阵。

12/15/202263判断矩阵的一致性检验步骤求出一致性指标C.I。12/13判断矩阵的求解——根法计算A的每一行元素之积Mi

计算Mi的m次方根ai

对向量a=（a1，a2，…，am）T归一化，得到最大特征值对应的特征向量W。求A最大特征值λmax。

12/15/202264判断矩阵的求解——根法计算A的每一行元素之积Mi12/1举例M1=18,M2=4/3,M3=1/24

a=(a1,a2,a3)T=(2.6207,1.1006,0.3467)T

归一化得特征向量

W=（ω1，ω2，ω3）T=(0.6442,0.2706,0.0852)T

最大特征值为进行一致性检验满足一致性要求。

12/15/202265举例最大特征值为12/13/202265判断矩阵的求解——和法按列归一化判断矩阵A的元素，得到矩阵Q=（qij）m×m

将Q中的元素按行相加，得到向量a=（a1，a2，…，am）T

对a做归一化处理得到最大特征值12/15/202266判断矩阵的求解——和法按列归一化判断矩阵A的元素，得到矩阵Q举例上例矩阵。归一化处理，得到Q的元素按行相加，并归一化处理，得到最大特征值λmax＝3.0541进行一致性检验满足一致性检验12/15/202267举例上例矩阵。归一化处理，得到12/13/202267AHP方法实现的基本步骤明确问题划分和选定有关因素建立层次结构构造各层判断矩阵对层次进行单排序，检验判断矩阵的一致性并修正判断矩阵。确定多层并合的有关因案的总优先次序（层次总排序是从上到下逐层进行的）检验总体一致性分析讨论得出结论12/15/202268AHP方法实现的基本步骤明确问题确定多层并合的有关因案的层次总排序12/15/202269层次总排序12/13/202269举例讲义Page100。构造层次结构模型解题步骤见讲义。12/15/202270举例讲义Page100。12/13/202270DEADEA为DataEnvelopmentAnalysis的简称，即数据包络分析。它以相对效率概念为基础，根据多指标投入和多指标产出对相同类型部门进行有效性或效益评价的一种新方法。1978年，由著名运筹学家查恩斯，库伯以及罗兹首先提出C2R模型并用于评价部门间的相对有效性。12/15/202271DEADEA为DataEnvelopmentAnaly有关概念决策单元投入的指标是指决策单元在管理活动中耗费的经济量。产出指标是决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量。相对有效性：根据投入和产出指标数据评价的决策单元的相对效率。12/15/202272有关概念决策单元12/13/20227212/15/20227312/13/202273C2R模型评价系统设n个决策单元，每单元有m种投入和p种产出

12/15/202274C2R模型评价系统设n个决策单元，每单元有m种投入和p种C2R模型评价系统设投入指标和产出指标的权系数向量分别为v=（v1，v2，…，vm）T

u=（u1，u2，…，up）T

每一个决策单元，都定义效率评价指标

12/15/202275C2R模型评价系统设投入指标和产出指标的权系数向量分别为1C2R模型设第j0

个决策单元的投入向量和产出向量分别为

C2R模型效率指标h0=hj0

12/15/202276C2R模型设第j0个决策单元的投入向量和产出向量分别为1模型说明上述模型称为C2R模型，是最基本的DEA模型。用该模型评价第j0个决策单元的有效性，是相对于其它决策单元而言的，故称为评价相对有效性的DEA模型。

12/15/202277模型说明上述模型称为C2R模型，是最基本的DEA模型。12/C2R模型的矩阵表示令则模型变为以上是一个分式规划，利用变换可以转化为一个等价的线形规划问题。

12/15/202278C2R模型的矩阵表示令12/13/202278C2R模型的等价线形规划对偶规划从略12/15/202279C2R模型的等价线形规划12/13/202279举例模型

12/15/202280举例12/13/202280DEA有效

如果线形规划（P）的最优解ωo，μo满足条件

Vp=μoTyo=1并且ωo>0,μo>0，则决策单元jo为DEA有效。

评价系统DEA有效，就是指决策单元jo相对于其它决策单元，效率评价指标取得最优值，在多指标投入和多指标产出情况下，取得最佳经济效率。

12/15/202281DEA有效如果线形规划（P）的最优解ωo，μo满足条件1C2R模型的性质略12/15/202282C2R模型的性质略12/13/202282DEA有效性的经济意义

如果把相同类型的决策单元看成是某种“生产”活动，则DEA有效性具有一定的经济含义：在C2R模型下为DEA有效的决策单元，从生产函数的角度讲，既是“技术有效”，也是“规模有效”的。（其他内容略）

12/15/202283DEA有效性的经济意义如果把相同类型的决策单元看成是某种“第六讲多目标决策分析12/15/202284第六讲多目标决策分析12/13/20221概念在社会经济系统的研究控制过程中我们所面临的系统决策问题常常是多目标的，例如我们在研究生产过程的组织决策时，既要考虑生产系统的产量最大，又要使产品质量高，生产成本低等。这些目标之间相互作用和矛盾，使决策过程相当复杂使决策者常常很难轻易作出决策。这类具有多个目标的决策总是就是多目标决策。12/15/202285概念在社会经济系统的研究控制过程中我们所面临的系统概念多目标决策方法现已广泛地应用于工艺过程、工艺设计、配方配比、水资源利用、环境、人口、教育、能源、企业高速武器系统设计和评价、经济管理等领域。12/15/202286概念多目标决策方法现已广泛地应用于工艺过程、工艺根据决策问题背景的不同，多目标决策（多准则决策）问题可分为多属性决策（有限方案多目标决策问题）和多目标决策（无限方案多目标决策问题）两大类。12/15/202287根据决策问题背景的不同，多目标决策（多准则决策）问题可分为多一般来说，这两类多准则决策的主要区别在于：前者的决策空间是离散的，后者的决策空间是连续的；在本质上，前者是研究已知决策方案的评价选择问题，后者是研究未知决策方案的规划设计问题；在解法上，前者的一些理论与方法是求解后者的基础。12/15/202288一般来说，这两类多准则决策的主要区别在于：前者的决策空间是离目标准则决策目标：决策问题要达到的目的。决策准则：用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则。单目标决策也被称为单准则决策。在多目标决策中，决策准则也是多个。多目标决策的关键，是合理的选择和构造目标准则体系，从总体上对可行方案进行比较和选优。12/15/202289目标准则决策目标：决策问题要达到的目的。12/13/2022多目标决策在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准则直接进行评价和比较，有的目标难以直接评价。需要将他们分解成若干级别较低的子目标，直到可以直接用一个或几个准则进行比较和分析为止。形成一个分层结构复杂的目标准则体系。12/15/202290多目标决策在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准目标准则体系12/15/202291目标准则体系12/13/20228目标准则体系说明最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标。

最下一层，其中的每个子目标都可以用单一准则评价，称为准则层。合理的给出表示每个可行方案满意程度的数值，称为满意度。构建多目标决策问题的目标准则体系，是多目标决策分析的前提。

12/15/202292目标准则体系说明最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标。构建目标准则体系的原则

系统性原则

各子目标要反映所有因素对社会经济活动的整体影响，重视决策问题各环境因素层次性和相关性。

可比性原则各子目标的分解和设计既要注意不同社会经济系统的横向比较，又要注意同一系统纵向动态分析。

可操作性原则

各评价子目标设计要含义明确，与现行统计指标口径一致，便于采集数据。

12/15/202293构建目标准则体系的原则系统性原则12/13/202210目标准则体系的结构

单层次目标准则体系序列型多层次目标决则体系非序列型多层次目标准则体系

下部分内容12/15/202294目标准则体系的结构单层次目标准则体系下部分内容12/13/单层次目标准则体系各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。这类多目标决策问题，可以在微观经济管理中经常碰到。比如选购某种设备和装置，一般这都有一些常规的技术和经济指标要求，这些都可以用单层次目标准则体系评价。返回12/15/202295单层次目标准则体系各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就序列型多层次目标决则体系目标准则体系的各个目标，都可以按照序列

分解为若干低一层次的子目标，各子目标又可继续分解，这样一层层按类别有序的进行分解，直到可以按某个准则进行数量评价为止。前面的海港港址的决策，就是这种类型。返回12/15/202296序列型多层次目标决则体系目标准则体系的各个目标，都可以按照序非序列型多层次目标准则体系将所有的子目标按其性质划分为若干层次，最低一层为准则层，构成多层次目标准则体系。但与序列型多层次目标决则体系不同的是，某一层次的各子目标，一般不是相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系。

返回12/15/202297非序列型多层次目标准则体系将所有的子目标按其性质划分为若干层评价准则和效用函数

不同的评价准则度量单位各异，变化方向不同，如何给出可行方案关于全部目标的满意度，是多目标决策的关键。为此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳和综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。如：效用和效用函数

12/15/202298评价准则和效用函数不同的评价准则度量单位各异，变化方向不同评价准则和效用函数（续）目标准则一经确立，任何可行方案实施的效果，均可经过各目标准则而得到的一组效用值，这也表示了该方案对决策主体的价值，都用区间[0，1]上的实数表示。这样任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合可得。

12/15/202299评价准则和效用函数（续）目标准则一经确立，任何可行方案实施的多目标决策问题的共同特点

目标之间的不可公度性

指目标之间没有统一的衡量标准，因此难以比较。

目标之间的矛盾性

某可行方案提高了这一个目标值，可能就会对另一个目标值有所损害。

因而，无法用求解单目标决策问题的分析方法去求解多目标问题。

12/15/2022100多目标决策问题的共同特点目标之间的不可公度性12/13/制定多目标决策的过程明确问题，标明目标和辨别属性实施或重新评价开始了解待解决的多目标问题构造模型并估计参数方案集X属性的值f1(x),…,fn(x)决定决策环境和自然状态价值判断12/15/2022101制定多目标决策的过程明确问题，标明目标和辨别属性实施或开始了多维效用并合方法

多目标决策问题有s个评价准则，有m个可行方案ai（i=1,2,……,m）。相应的效用函数为u1,u2,……,us，在s个评价准则下的效用值分别是uj(i),j=1,2,……,s。将s个分效用并合为总效用，并依据总效用对可行方案进行评价选优。这种多目标决策方法，称为多维效用并合方法。主要用来解决序列型多层次目标准则体系问题。12/15/2022102多维效用并合方法多目标决策问题有s个评价准则，有m个效用并合规则和程序

由下而上，分类逐层进行。首先按某种规则并合最低一层各准则的效用值，得到倒数第二层的并合效用值，称为初级并合，同样，再对初级并合的效用值进行第二级并合，得到第三层各子目标的并合效用值。如此逐层进行，可得到可行方案对整个多层结构目标准则体系的总效用值。总效用值体现了可行方案关于目标准则体系的整体特征以及对于决策主体的总体偏好，称为可行方案的满意度。

12/15/2022103效用并合规则和程序由下而上，分类逐层进行。首先按某种规则并多维并合规则

距离规则

代换规则

加法规则乘法规则

混合规则

下部分内容12/15/2022104多维并合规则距离规则下部分内容12/13/202221有关定义设效用u1，u2，……，us分别在[0，1]上取值，二元函数W=W（u1，u2，……，us）为二维效用函数。其定义域为n维效用空间上有2n个顶点的凸多面体。曲面W称为n维效用平面。

12/15/2022105有关定义设效用u1，u2，……，us分别在[0，1]上取值，距离规则

二维效用的距离规则满足下列条件：

当二效用同时达到最大值时，并合效用才达到最大值

。当二效用同时达到最小值时，并合效用取零效用值。二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离

成正比例。这种规则称为距离规则。

12/15/2022106距离规则二维效用的距离规则满足下列条件：12/13/20距离规则的数学描述

W=W（u1，u2）应满足以下条件：

W（1，1）=1

W（0，0）=0

0<W(1，u2)<1，u2∈[0，1]0<W(u1，1)<1，u1∈[0，1]W（u1，u2）与距离d成正比例变化。12/15/2022107距离规则的数学描述W=W（u1，u2）应满足以下条件：二维并合的距离规则计算公式

设效用最大值点为Q*(1，1)，最小点为Q(0，0)，两点距离为，点Q(u1，u2)与点Q*之间的距离为d，于是有则

12/15/2022108二维并合的距离规则计算公式设效用最大值点为Q*(1，1)，多维并合的距离规则计算公式

n维效用空间是2n个顶点的凸多面体，其中必有一点Q*(1,1,……,1)为最大值点,即W(Q*)=1。也必有一点Q(0,0,……,0)为最小值点。N维效用空间任一点Q与点Q*的距离为d。点Q*与Q之间的距离为，于是：

12/15/2022109多维并合的距离规则计算公式n维效用空间是2n个顶点的凸多面代换规则

二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用达到最高水平一样，形象的说，代换规则反映了效用之间的“一好遮百丑”的特征。

12/15/2022110代换规则二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主代换规则二维并合公式W=W(u1,u2)为代换规则确定的二维效用函数，应该满足以下条件：W（1，1）=1

W（0，0）=0

0<W(1，u2)<1，u2∈[0，1]0<W(u1，1)<1，u1∈[0，1]公式如下：W(u1,u2)=1–(1–u1)(1–u2)=u1+u2+u1u2

12/15/2022111代换规则二维并合公式W=W(u1,u2)为代换规则确定的二维代换规则多维并合公式在n维效用空间中，除Q0的并合效用值为零以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于1。n维效用并合的代换规则公式为

12/15/2022112代换规则多维并合公式在n维效用空间中，除Q0的并合效用值为零举例子目标间可以相互替代例如，设备运行可靠性问题。设备运行可靠性目标可以分解为设备自身可靠性和维修保养两个子目标，这两个子目标效用之间可以相互替代。设备可靠性好，即使维修保养差一些，也能保证设备可靠运行。同样，维修保养好，即使设备可靠性较差，也能保证设备运行可靠，故适合代换规则。

返回12/15/2022113举例子目标间可以相互替代返回12/13/202230加法规则

二维效用并合的加法规则适用于以下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以相互线性的补偿。完满的总效用只有当二效用值均达到最高水平才能实现，加法规则反映了二目标效用之间“好坏搭配”的特征。

12/15/2022114加法规则二维效用并合的加法规则适用于以下情况：二效用的变化加法规则二维并合公式W=W(u1,u2)为加法规则确定的二维效用函数，应该满足以下条件：W（1，1）=1

W（0，0）=0

W(1，0)=ρ1,W(1，0)=ρ2,ρ1+ρ2=1公式：ρ1

，ρ2称为二效用的权系数，表示各自在并合中的重要程度。12/15/2022115加法规则二维并合公式W=W(u1,u2)为加法规则确定的二维加法规则多维并合公式n维效用空间各顶点并合效用值，除了Q，Q*以外，其余2n-2个顶点的并合效用值均在0－1间。其中仅有一维效用值为1，其余维效用值为0的n个点并合效用值大小由该效用对并合效用重要程度来决定。

其中，12/15/2022116加法规则多维并合公式n维效用空间各顶点并合效用值，除了Q，Q举例例如，居民消费水平目标可以分解为吃和用两个子目标，其中一个效用值减少，而另一个效用值增加，可以认为它们之间相互能够补偿，居民消费水平并没有下降。因此，这里适合与用加法规则。

返回12/15/2022117举例例如，居民消费水平目标可以分解为吃和用两个子目标，其中一乘法规则

乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代。只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用为0。这种情况恰好与代换规则相反，乘法规则反映了二目标效用之间“不可偏废”的特征。

12/15/2022118乘法规则乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有乘法规则二维合并公式W=W(u1,u2)为乘法规则确定的二维效用函数，应该满足以下条件：W（1，1）=1

W（0，0）=0

W(1，0)=W(1，0)=0公式：ρ1

，ρ2是正常数。12/15/2022119乘法规则二维合并公式W=W(u1,u2)为乘法规则确定的二维乘法规则多维合并公式n维效用空间中，除Q*的并合效用值为1以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于0。公式：一般公式：

对数形式：ρi为正常数。

12/15/2022120乘法规则多维合并公式n维效用空间中，除Q*的并合效用值为1以举例例如，某管理信息系统的运行功能与可靠性二子目标效用的并合关系，符合乘法法则。功能强而可靠性差的系统，或者可靠性好而功能差的系统，起总体运行质量都是差的，两者之间不能相互代替和补偿。

返回12/15/2022121举例例如，某管理信息系统的运行功能与可靠性二子目标效用的并合混合规则

混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换，加法和乘法三规则更为一般的情况。当上面的三个规则选用哪个拿不准时，可以考虑该规则。

混合规则的公式

其中，γ为形式因子。12/15/2022122混合规则混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换混合规则的公式变形γ取不同值分别表述上述三种规则之一。当γ

≠

0时，公式化为较为规范的形式当γ

=

0且c1+c2=1时，为加法规则形式当γ

=

0且c1=c2=1时，为代换规则形式

12/15/2022123混合规则的公式变形γ取不同值分别表述上述三种规则之一。12/混合规则的公式变形当γ

>>0时，公式近似乘法规则形式

混合规则的n维效用并合公式

返回12/15/2022124混合规则的公式变形当γ>>0时，公式近似乘法规则形式返AHP方法概述

AHP（AnalyticHierarchyProcess）方法，又称为层次分析法或多层次权重解析方法，20世纪70年代初美国著名运筹学家Saaty提出。该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效的分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效的综合测度决策者的判断和比较。它能把定性因素定量化，并能在一定程度上检验和减少主观影响，使评价更趋科学化。12/15/2022125AHP方法概述AHP（AnalyticHierarchy递阶层次结构模型递阶层次结构模型能够反映系统本质属性和内在联系。构造方法：根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系和隶属关系等，将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。12/15/2022126递阶层次结构模型递阶层次结构模型能够反映系统本质属性和内在AHP的层次结构AHP的层次结构既可以是序列型的，也可以是非序列型的。可以分为三个层：最高层。只有一个元素，表示决策分析的总目标，也可称为总目标层。中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的子目标，包括各种约束，准则，策略等，因此，也称为目标层。最低层。表示实现各决策目标的可行方案，措施等，也称为方案层。12/15/2022127AHP的层次结构AHP的层次结构既可以是序列型的，也可以是层次结构图下部分内容12/15/2022128层次结构图下部分内容12/13/202245层次结构图说明相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存在关系，则没有作用线。如某元素与相邻下一层所有元素都有关系，就称该元素与下一层次存在完全层次关系。在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度而定，不宜过多。每一层次元素一般不要超过9个。构造一个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键。12/15/2022129层次结构图说明相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线举例讲义Page52.构造科研课题决策的层次结构模型。层次结构图即前面的例图。看图12/15/2022130举例讲义Page52.看图12/13/202247优先权重构造了层次模型后，决策就转化为待评可行方案关于具有层次结构的目标准则体系的排序问题。AHP方法采用优先权作为区分方案优劣程度的指标。优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和1之间。数值越大，方案越优，反之越劣。12/15/2022131优先权重构造了层次模型后，决策就转化为待评可行方案关于具有层递阶层次权重解析方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上而下逐层计算得到的。这个过程称为递阶层次权重解析过程。12/15/2022132递阶层次权重解析方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，判断矩阵m个物体测重问题（两两比较）设各物体重量组成的向量为G=（g1，g2，…，gm）T12/15/2022133判断矩阵m个物体测重问题（两两比较）12/13/202250层次元素排序的特征向量法m为A的最大特征值，G是A属于特征值m的特征向量。

12/15/2022134层次元素排序的特征向量法12/13/202251说明一组物体无法直接测出各物体的重量，可以通过两两比较判断，得到每对物体相对重量的判断值，构造判断矩阵。求出判断矩阵的特征值和对应的特征向量，就得到物体的相对重量。对其他领域决策问题，可以通过建立层次结构模型，在相邻两层次间构造两两元素比较判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。12/15/2022135说明一组物体无法直接测出各物体的重量，可以通过两两比较判断，互反一致性正矩阵判断矩阵A=（aij）m×m，aij>0。满足以下三个条件的判断矩阵称为互反的一致性正矩阵：aii=1；aij=1/aji;aij=aik/ajk。12/15/2022136互反一致性正矩阵判断矩阵A=（aij）m×m，aij>0矩阵的一些概念正矩阵：矩阵A=(aij)m×m

对于中的任何一组值，都有aij>0，记作A>0。正向量：m维向量X=(x1,x2,…,xm)T，其中xi>0，记作X>0。互反正矩阵：对于A=(aij)m×m，aij>0，并满足aii=1，aij=1/aji。一致性矩阵：A=(aij)m×m满足aij=aik/ajk。

12/15/2022137矩阵的一些概念正矩阵：矩阵A=(aij)m×m对于中的任何一致性矩阵的性质一致性矩阵也是互反正矩阵AT也是一致性矩阵

A的每一行均为任意指定一行的正数倍数，并且秩（A）=1A最大特征值λmax=m，其他特征值为零若A的属于λmax的特征向量为X=（x1，x2，…，xm）T，则aij=xi/xj。12/15/2022138一致性矩阵的性质一致性矩阵也是互反正矩阵12/13/20互反正矩阵的性质设λmax为A的最大特征值，则：λmax≥m对于A来说，A也是一致性矩阵的充分必要条件是：

λmax=m12/15/2022139互反正矩阵的性质设λmax为A的最大特征值，则：12/13Saaty的1－9标度法则12/15/2022140Saaty的1－9标度法则12/13/202257判断矩阵的一致性按照1-9标度构造的判断矩阵，显然是正矩阵，并也是互反正矩阵。但一般不一定满足一致性条件:aij=aik/ajk。满足一致性条件的矩阵，称之为“具有完全的一致性”。判断矩阵一般不具有完全的一致性。最大特征值λmax≥m，其余特征值并非全为零。12/15/2022141判断矩阵的一致性按照1-9标度构造的判断矩阵，显然是正矩阵满意一致性判断矩阵A一般仅仅是互反正矩阵，并且判断值aij与计算值wi/wj并非一致。

尽管判断矩阵一般情况不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值λmax稍大于m，其余特征值接近于零，称之为具有满意的一致性。只有这样计算出的层次单排序结果才是合理的。12/15/2022142满意一致性判断矩阵A一般仅仅是互反正矩阵，并且判断值aij判断矩阵的一致性指标CI一般说来，CI越大偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。另外，m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。当m≤2时，CI=0，表示判断矩阵具有完全的一致性。

12/15/2022143判断矩阵的一致性指标CI一般说来，CI越大偏离一致性越大。反平均随机一致性指标RIRI指标随判断矩阵的阶数而变化。Saaty计算RI值是用随机方法构造判断矩阵，经过500次以上的重复计算，求出一致性指标，并加以平均而得到的。RI指标参考值见讲义。12/15/2022144平均随机一致性指标RIRI指标随判断矩阵的阶数而变化。12/一致性比率CR一致性指标CI与同阶的平均一致性指标RI的比值，称为一致性比率。用一致性比率CR检验判断矩阵一致性，CR越小时，判断矩阵一致性也越好。一般CR≤0.1，认为判断矩阵符合满意的一致性标准，层次单排序的结果可以接受，否则需要修正判断矩阵，直到检验通过。

12/15/2022145一致性比率CR一致性指标CI与同阶的平均一致性指标RI的比值判断矩阵的一致性检验步骤求出一致性指标C.I。

查表得到平均随机一致性指标R.I。