多目标规划建模课件

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多目标规划模型

基本内容：1、多目标规划的基本概念2、多目标规划的问题的特征3、多目标规划的求解方法4、目标规划模型5、应用实例模型.多目标规划模型基本内容：3一、多目标的基本概念

多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污染等.这就是一个多目标决策的问题.。

又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问题.应用:研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。一、多目标的基本概念多目标的问题:在现实生活中,决4

一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排序.二、多目标规划问题的分类

一般来说,多目标规划问题有两类.一类是5多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法.一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求解单目标问题.然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解.三、多目标规划问题的求解

多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此有矛盾,这就使6化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个单目标问题,关键是如何转化.下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标法线性加权和法字典序法步骤法多目标规划问题的求解

化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,一类是转化为一7f1f212345678在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解，因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却较差。一、解的特点多目标规划问题的特征

f1f212345678在解决单目标问题时，我8二、模型结构多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要好，花费要少。多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决策中，有些问题的方案是有限的，有些问题的方案是无限的。方案有其特征或特性，称之为属性。二、模型结构91、多目标规划问题的模型结构为决策变量如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)1、多目标规划问题的模型结构为决策变量如对于求极大(max)10多目标规划建模课件11多目标规划建模课件122、多目标优选问题的模型结构可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性的函数：并设且各个方案的效用函数分别为则多目标优选模型的结构可表示如下：2、多目标优选问题的模型结构并设且各个方案的效用函数分别为则13(1)线性加权法:取对p个目标函数作线性加权化为单目标问题多目标规划问题的求解(1)线性加权法:取对p个目标函数作线性加权化为单目标问14多目标规划问题的求解(2)理想点法:对每一个目标给出一个目标理想值则称为多目标函数值域中的一个理想点。将多目标问题转化为目标函数与之间的最小“距离”的单目标问题：多目标规划问题的求解(2)理想点法:对每一个目标给出一个目标15(3)极大极小法：基本思想是在最不利的情况下求最有利的策略。即求多目标中最大目标函数值最小。于是可化为如下单目标问题：也可以给每个配上权系数，即考虑：多目标规划问题的求解(3)极大极小法：基本思想是在最不利的情况下求最有利的策略。16（4）主要目标法在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程度往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关键的目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为非主要目标。例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求其余的目标满足一定的条件，即多目标规划问题的求解（4）主要目标法例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主17例题1某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染最小？甲乙资源限量资源A单位消耗资源B单位消耗资源C单位消耗9434510240200300单位产品的价格400600单位产品的利润70120单位产品的污染32例题1某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品都要18解：问题的多目标模型如下对于上述模型的三个目标，工厂确定利润最大为主要目标。另两个目标则通过预测预先给定的希望达到的目标值转化为约束条件。经研究，工厂认为总产值至少应达到20000个单位，而污染控制在90个单位以下，即由主要目标法化为单目标问题用单纯形法求得其最优解为解：问题的多目标模型如下对于上述模型的三个目标，工厂确定利润19（5）线性加权和目标规划在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲,按照一定的规则分别给fi赋予不同的权系数ωi，作线性加权和评价函数则多目标问题化为如下的单目标问题（5）线性加权和目标规划在上述目标规划中，假定f1(X),f20例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别关于目标属性的指标值fij如下表所示。fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般高A22.527003.665低一般A32.020004.245高很高A42.21800450很高一般首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。先将定性指标定量化：例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如下4种类型21效益型指标很低低一般高很高13579很高高一般低很低成本型指标可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下可靠性一般低高很高5379灵敏性高一般很高一般7595按以下公式作无量纲的标准化处理其中：效益型指标很低低一般高很高13579很高高一般低很低22变换后的指标值矩阵为：aijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A2100100110011A3142.25100167100A440.625.756725.751001设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),则故最优方案为选购A3型卡车变换后的指标值矩阵为：aijf1f2f3f4f5f6A11123（6）分层序列法：1.基本步骤：把(VP)中的p个目标按其重要程度排序。依次求单目标规划的最优解。2.过程：无妨设其次序为先求解得最优值，记再解得最优值，依次进行，直到得最优值则是在分层序列意义下的最优解集合。（6）分层序列法：243.性质：，即在分层序列意义下的最优解是有效解。证明：反证。设，但，则必存在使即至少有一个j0，使,由于，即，矛盾。得证。4.进一步讨论：上述方法过程中，当某个问题(Pj)的解唯一时，则问题的求解无意义，因为解都是唯一的。实际求解时，有较宽容意义下的分层序列法：取为预先给定的宽容值，整个解法同原方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：3.性质：，即在分层序列意25（7）步骤法（STEM法）这是一种交互方法，其求解过程通过分析者与决策者之间的对话逐步进行，故称步骤法。步骤法的基本思想是，首先需要求出原多目标问题的一组理想解(f1*,f2*,…,fp*)。实际上，这些解fi*(i=1,2,…,p)无法同时达到，但可以当作一组理想的最优值。以理想解作为一个标准，可以估计有效解，然后通过对话，不断修改目标值，并把降低要求的目标作为新的约束条件加入原来的约束条件中去重新计算，直到决策者得到满意的解。

步骤法算法如下：第一步：分别求解以下p个单目标问题的最优解（7）步骤法（STEM法）26得到最优解，其相应的目标值即为理想值，此最优解处别的目标所取的值用表示，即，把上述计算结果列入下表得到最优解27在表中，确定每一列的最小值并记第i列的最小值为fip(i=1,2,…,p)第二步：求解其中：这里（1）在表中，确定每一列的最小值并记第i列的最小值为fip(i=128第三步：将上述模型（1）的解X0与相应的目标值f1(X0),f2(X0),…,fp(X0)交给决策者去判断。决策者把这些目标值与理想值进行比较后，如果认为其中某些目标值太坏，另一些目标值可以不要那么太好，可以把比较好的目标值中的某一个修改得差一些，以使水平太坏的目标得到改善。当决策者减少了第j个目标的值之后，约束条件S应该改为S*在进行下一次迭代时，对应于降低了要求的那些目标fj(j=1,2,…,k)的权系数πi应该设为0。这种迭代继续下去，直到决策者满意为止。第三步：将上述模型（1）的解X0与相应的目标值f1(X0),29例题：某公司考虑生产两种光电太阳能电池：产品甲和产品乙。这种生产过程会在空气中引起放射性污染。因此，公司经理有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元。而放射性污染的数量，每单位甲产品是1.5个单位,每单位乙产品是1个单位.由于机器能力(小时)、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是目标有两个:一是利润最大,二是污染最小.该问题的多目标规划模型如下:例题：某公司考虑生产两种光电太阳能电池：产品甲和产品乙。这种30解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得到的目标函数值组成理想解.解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得到的目标函31由此,构造支付表Xf1*f2*(7,13)(0,0)460-23.50由此计算两个目标与理想值偏离的权重解下列线性规划问题:由此,构造支付表Xf1*f2*(7,13)46-23.5由此32由此求得,分析者把计算结果交给决策者,决策者将目标值(21.192,-7.064)与理想值(46,0)比较,如果认为f2是满意的,但利润太低,并认为污染可接受到10个单位.于是,约束集修改成进行下一轮迭代.首先设π2=0,并计算得π1=1.将模型修改为由此求得,分析者把计算结果交给决策者,决策者将目标值(21.33由此求得:决策者把这一结果与前一轮的解及理想值作比较,认为两个目标值都比较满意,则迭代结束.由此求得:决策者把这一结果与前一轮的解及理想值作比较,认为两34线性规划问题都是处理单个目标的情况，但是在现实世界中有许多问题具有多个目标，这些目标的重要性各不相同，往往有不同的量纲，有的目标相互依赖，例如决策者既希望实现利润最大，又希望实现产值最大；有的相互抵触，如决策者既希望充分利用资源，又不希望超越资源限量。而决策者希望在某些限制条件下，依次实现这些目标。这就是目标规划所要解决的问题。当所有的目标函数和约束条件都是线性时，我们称其为线性目标规划问题。在这里我们主要讨论线性目标规划问题。一、目标规划模型的建立

目标规划模型

线性规划问题都是处理单个目标的情况，但是在现实世35引例1：对于生产计划问题：

甲乙资源限额材料2324工时3226单位利润43

现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素，提出如下目标：（1）根据市场信息，甲产品的销量有下降的趋势，而乙产品的销量有上升的趋势，故考虑乙产品的产量应大于甲产品的产量。（2）尽可能充分利用工时，不希望加班。（3）应尽可能达到并超过计划利润30元。现在的问题是：在原材料不能超计划使用的前提下，如何安排生产才能使上述目标依次实现？引例1：对于生产计划问题：现在工厂领导要考虑市场等一系36解：（1）决策变量：仍设每天生产甲、乙两种产品各为x1和x2偏差变量：对于每一目标，我们引进正、负偏差变量。如对于目标1，设d1-表示乙产品的产量低于甲产品产量的数，d1+表示乙产品的产量高于甲产品产量的数。称它们分别为产量比较的负偏差变量和正偏差变量。则对于目标1，可将它表示为等式约束的形式-x1+x2+d1--d1+=0(目标约束)

同样设d2-和d2+分别表示安排生产时，低于可利用工时和高于可利用工时，即加班工时的偏差变量，则对目标2，有3x1+2x2+d2--d2+=26对于目标3，设d3-和d3+分别表示安排生产时，低于计划利润30元和高于计划利润30元的偏差变量，有：解：（1）决策变量：仍设每天生产甲、乙两种产品各为x1和x2374x1+3x2+d3--d3+=30（2）约束条件：有资源约束和目标约束资源约束：2x1+3x2≤24目标约束：为上述各目标中得出的约束（3）目标函数：三个目标依次为：minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-

因而该问题的数学模型可表述如下：minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=304x1+3x2+38

案例2（提级加新问题）某公司的员工工资有四级，根据公司的业务发展情况，准备招收部分新员工，并将部分员工的工资提升一级。该公司的员工工资及提级前后的编制表如下，其中提级后编制是计划编制，允许有变化，其中1级员工中有8%要退休。公司领导的目标如下：（1）提级后在职员工的工资总额不超过550千元；（2）各级员工不要超过定编人数；（3）为调动积极性，各级员工的升级面不少于现有人数的18%；（4）总提级面不大于20%，但尽可能多提；（5）4级不足编制人数可录用新工人。案例2（提级加新问题）某公司的员工工资有四级，根据公司的39问：应如何拟定一具满意的方案，才能接近上述目标？级别1234工资（千元）8643现有员工数10204030编制员工数10225230解：（1）决策变量：设x1,x2,x3,x4分别表示提升到1，2，3级和新录用的员工数。偏差变量：为各目标的正、负偏差变量。（2）约束条件：1）

提级后在职员工的工资总额不超过550千元；8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1--d1+=550

问：应如何拟定一具满意的方案，才能接近上述目标？级别12340

2）各级员工不要超过定编人数1级有：10-108%+x1+d2--d2+=102级有：20-x1+x2+d3--d3+=223级有：40-x2+x3+d4--d4+=524级有：30-x3+x4+d5--d5+=303）各级员工的升级面不少于现有人数的18%对2级有：x1+d6--d6+=2218%对3级有：x2+d7--d7+=4018%对4级有：x3+d8--d8+=3018%

4）总提级面人数不大于20%，但尽可能多提x1+x2+x3+d9--d9+=10020%2）各级员工不要超过定编人数41（3）目标函数：minZ1=d1+minZ2=d2++d3++d4++d5+minZ3=d6-+d7-+d8-minZ4=d9++d9-案例3有三个产地向四个销地供应物资。产地Ai(i=1,2,3)的供应量ai、销地Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各产销地之间的单位物资运费Cij如表2所示。表中，ai和bj的单位为吨，Cij的单位为元/吨。编制调运方案时要求按照相应的优先级依次考虑下列七个目标：P1：B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足；P2：A3向B1提供的物资不少于100吨；P3：每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%；（3）目标函数：案例3有三个产地向四个销地供应物资。42P4：实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的110%，这里的最小总费用利用第三大题中第2小题求出的结果；P5：因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4；P6：对B1和B3的供应率要尽可能相同；P7：力求使总运费最省。试建立该问题的运筹学模型。CijBjAiB1B2B3B4aiA15267300A23546200A34523400bj200100450250解：用表上作业法可求得不考虑P1至P6各目标时的最小运费调运方案，相应的最小运费为2950元P4：实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运43（1）决策变量：设Ai运往Bj的物资为xij吨（2）约束条件：产量约束B4销量要满足销量80%的限制供应率尽可能相同（1）决策变量：设Ai运往Bj的物资为xij吨（2）约束条件44二、目标规划的解法由于目标规划有多个目标，各个目标又有相对不同的重要性，求解时是首先满足重要性权数大的目标，再满足重要性权数次大的目标，所以并不能保证所有的目标都能达到，所求的解也不一定是最优解，而只能求出满意解。（3）目标函数二、目标规划的解法（3）目标函数45

求解目标规划的仍用单纯形法，但是与线性规划的单纯形法不同的是，此时检验数行不再是一行，而是变化为一个检验数矩阵。

例4

用单纯形法求解如下线性目标规划模型minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24加入松驰变量化为标准形

2x1+3x2+x3=24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=30解（1）取x3，d1-，d2-，d3-为基变量，建立初始单纯形表求解目标规划的仍用单纯形法，但是与线性规划的单纯形法46-1-2-1123-13402630Z1Z2Z3000-100-100-10000010010010010003[1]232-1342402630x3d1-d2-d3-d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB迭代的步骤完全与线性规划的单纯形法一样。（2）满意解的判定：检验数矩阵的每一列从上至下第一个非零元为负数，则解为满意解。迭代的最优表如下：-1-2-11-10Z100000013224x3d3+d247-2-1-1-11-1020Z1Z2Z3100000-106/5-2/5-13/5-10000010-6/52/51-3/57/51/5-11/50100000118/524/5224/5d3+x2d2-x1d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB因而满意解为：x1=24/5，x2=24/5，d2-=2，d3+=18/5其中第一、三目标已达到最优，第二个目标未达最优。目标利润Z=4x1+3x2=168/5-10Z1106/5-10-6/57/50018/5d3+d48

某化工厂拟生产两种新产品A和B，其生产设备投资分别为：A，2万元／吨；B，5万元／吨。这两种产品均会造成环境污染，设由公害所造成的损失可折算为：A，4万元／吨；B，1万元／吨。由于条件限制，工厂生产产品A和B的最大生产能力各为每月5吨和6吨，而市场需要这两种产品的总量每月不少于7吨。试问工厂如何安排生产计划，在满足市场需要的前提下，使设备投资和公害损失均达最小。

工厂决策认为：这两个目标中环境污染应优先考虑，设备投资的目标值为20万元，公害损失的目标为12万元。

多目标规划的建模作业

某化工厂拟生产两种新产品A和B，其生产49谢谢观看!E-mail:chxue180@126.com主页：http://谢谢观看!E-mail:chxue180@126.com50数学建模主讲薛长虹E-mail地址:

xuechanghong@QQ:315165网站：数学建模主讲薛长虹51数学建模竞赛专题讲座数学建模竞赛专题讲座52

多目标规划模型

基本内容：1、多目标规划的基本概念2、多目标规划的问题的特征3、多目标规划的求解方法4、目标规划模型5、应用实例模型.多目标规划模型基本内容：53一、多目标的基本概念

多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污染等.这就是一个多目标决策的问题.。

又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问题.应用:研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。一、多目标的基本概念多目标的问题:在现实生活中,决54

一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排序.二、多目标规划问题的分类

一般来说,多目标规划问题有两类.一类是55多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法.一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求解单目标问题.然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解.三、多目标规划问题的求解

多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此有矛盾,这就使56化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个单目标问题,关键是如何转化.下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标法线性加权和法字典序法步骤法多目标规划问题的求解

化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,一类是转化为一57f1f212345678在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解，因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却较差。一、解的特点多目标规划问题的特征

f1f212345678在解决单目标问题时，我58二、模型结构多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要好，花费要少。多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决策中，有些问题的方案是有限的，有些问题的方案是无限的。方案有其特征或特性，称之为属性。二、模型结构591、多目标规划问题的模型结构为决策变量如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)1、多目标规划问题的模型结构为决策变量如对于求极大(max)60多目标规划建模课件61多目标规划建模课件622、多目标优选问题的模型结构可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性的函数：并设且各个方案的效用函数分别为则多目标优选模型的结构可表示如下：2、多目标优选问题的模型结构并设且各个方案的效用函数分别为则63(1)线性加权法:取对p个目标函数作线性加权化为单目标问题多目标规划问题的求解(1)线性加权法:取对p个目标函数作线性加权化为单目标问64多目标规划问题的求解(2)理想点法:对每一个目标给出一个目标理想值则称为多目标函数值域中的一个理想点。将多目标问题转化为目标函数与之间的最小“距离”的单目标问题：多目标规划问题的求解(2)理想点法:对每一个目标给出一个目标65(3)极大极小法：基本思想是在最不利的情况下求最有利的策略。即求多目标中最大目标函数值最小。于是可化为如下单目标问题：也可以给每个配上权系数，即考虑：多目标规划问题的求解(3)极大极小法：基本思想是在最不利的情况下求最有利的策略。66（4）主要目标法在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程度往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关键的目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为非主要目标。例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求其余的目标满足一定的条件，即多目标规划问题的求解（4）主要目标法例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主67例题1某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染最小？甲乙资源限量资源A单位消耗资源B单位消耗资源C单位消耗9434510240200300单位产品的价格400600单位产品的利润70120单位产品的污染32例题1某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品都要68解：问题的多目标模型如下对于上述模型的三个目标，工厂确定利润最大为主要目标。另两个目标则通过预测预先给定的希望达到的目标值转化为约束条件。经研究，工厂认为总产值至少应达到20000个单位，而污染控制在90个单位以下，即由主要目标法化为单目标问题用单纯形法求得其最优解为解：问题的多目标模型如下对于上述模型的三个目标，工厂确定利润69（5）线性加权和目标规划在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲,按照一定的规则分别给fi赋予不同的权系数ωi，作线性加权和评价函数则多目标问题化为如下的单目标问题（5）线性加权和目标规划在上述目标规划中，假定f1(X),f70例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别关于目标属性的指标值fij如下表所示。fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般高A22.527003.665低一般A32.020004.245高很高A42.21800450很高一般首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。先将定性指标定量化：例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如下4种类型71效益型指标很低低一般高很高13579很高高一般低很低成本型指标可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下可靠性一般低高很高5379灵敏性高一般很高一般7595按以下公式作无量纲的标准化处理其中：效益型指标很低低一般高很高13579很高高一般低很低72变换后的指标值矩阵为：aijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A2100100110011A3142.25100167100A440.625.756725.751001设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),则故最优方案为选购A3型卡车变换后的指标值矩阵为：aijf1f2f3f4f5f6A11173（6）分层序列法：1.基本步骤：把(VP)中的p个目标按其重要程度排序。依次求单目标规划的最优解。2.过程：无妨设其次序为先求解得最优值，记再解得最优值，依次进行，直到得最优值则是在分层序列意义下的最优解集合。（6）分层序列法：743.性质：，即在分层序列意义下的最优解是有效解。证明：反证。设，但，则必存在使即至少有一个j0，使,由于，即，矛盾。得证。4.进一步讨论：上述方法过程中，当某个问题(Pj)的解唯一时，则问题的求解无意义，因为解都是唯一的。实际求解时，有较宽容意义下的分层序列法：取为预先给定的宽容值，整个解法同原方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：3.性质：，即在分层序列意75（7）步骤法（STEM法）这是一种交互方法，其求解过程通过分析者与决策者之间的对话逐步进行，故称步骤法。步骤法的基本思想是，首先需要求出原多目标问题的一组理想解(f1*,f2*,…,fp*)。实际上，这些解fi*(i=1,2,…,p)无法同时达到，但可以当作一组理想的最优值。以理想解作为一个标准，可以估计有效解，然后通过对话，不断修改目标值，并把降低要求的目标作为新的约束条件加入原来的约束条件中去重新计算，直到决策者得到满意的解。

步骤法算法如下：第一步：分别求解以下p个单目标问题的最优解（7）步骤法（STEM法）76得到最优解，其相应的目标值即为理想值，此最优解处别的目标所取的值用表示，即，把上述计算结果列入下表得到最优解77在表中，确定每一列的最小值并记第i列的最小值为fip(i=1,2,…,p)第二步：求解其中：这里（1）在表中，确定每一列的最小值并记第i列的最小值为fip(i=178第三步：将上述模型（1）的解X0与相应的目标值f1(X0),f2(X0),…,fp(X0)交给决策者去判断。决策者把这些目标值与理想值进行比较后，如果认为其中某些目标值太坏，另一些目标值可以不要那么太好，可以把比较好的目标值中的某一个修改得差一些，以使水平太坏的目标得到改善。当决策者减少了第j个目标的值之后，约束条件S应该改为S*在进行下一次迭代时，对应于降低了要求的那些目标fj(j=1,2,…,k)的权系数πi应该设为0。这种迭代继续下去，直到决策者满意为止。第三步：将上述模型（1）的解X0与相应的目标值f1(X0),79例题：某公司考虑生产两种光电太阳能电池：产品甲和产品乙。这种生产过程会在空气中引起放射性污染。因此，公司经理有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元。而放射性污染的数量，每单位甲产品是1.5个单位,每单位乙产品是1个单位.由于机器能力(小时)、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是目标有两个:一是利润最大,二是污染最小.该问题的多目标规划模型如下:例题：某公司考虑生产两种光电太阳能电池：产品甲和产品乙。这种80解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得到的目标函数值组成理想解.解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得到的目标函81由此,构造支付表Xf1*f2*(7,13)(0,0)460-23.50由此计算两个目标与理想值偏离的权重解下列线性规划问题:由此,构造支付表Xf1*f2*(7,13)46-23.5由此82由此求得,分析者把计算结果交给决策者,决策者将目标值(21.192,-7.064)与理想值(46,0)比较,如果认为f2是满意的,但利润太低,并认为污染可接受到10个单位.于是,约束集修改成进行下一轮迭代.首先设π2=0,并计算得π1=1.将模型修改为由此求得,分析者把计算结果交给决策者,决策者将目标值(21.83由此求得:决策者把这一结果与前一轮的解及理想值作比较,认为两个目标值都比较满意,则迭代结束.由此求得:决策者把这一结果与前一轮的解及理想值作比较,认为两84线性规划问题都是处理单个目标的情况，但是在现实世界中有许多问题具有多个目标，这些目标的重要性各不相同，往往有不同的量纲，有的目标相互依赖，例如决策者既希望实现利润最大，又希望实现产值最大；有的相互抵触，如决策者既希望充分利用资源，又不希望超越资源限量。而决策者希望在某些限制条件下，依次实现这些目标。这就是目标规划所要解决的问题。当所有的目标函数和约束条件都是线性时，我们称其为线性目标规划问题。在这里我们主要讨论线性目标规划问题。一、目标规划模型的建立

目标规划模型

线性规划问题都是处理单个目标的情况，但是在现实世85引例1：对于生产计划问题：

甲乙资源限额材料2324工时3226单位利润43

现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素，提出如下目标：（1）根据市场信息，甲产品的销量有下降的趋势，而乙产品的销量有上升的趋势，故考虑乙产品的产量应大于甲产品的产量。（2）尽可能充分利用工时，不希望加班。（3）应尽可能达到并超过计划利润30元。现在的问题是：在原材料不能超计划使用的前提下，如何安排生产才能使上述目标依次实现？引例1：对于生产计划问题：现在工厂领导要考虑市场等一系86解：（1）决策变量：仍设每天生产甲、乙两种产品各为x1和x2偏差变量：对于每一目标，我们引进正、负偏差变量。如对于目标1，设d1-表示乙产品的产量低于甲产品产量的数，d1+表示乙产品的产量高于甲产品产量的数。称它们分别为产量比较的负偏差变量和正偏差变量。则对于目标1，可将它表示为等式约束的形式-x1+x2+d1--d1+=0(目标约束)

同样设d2-和d2+分别表示安排生产时，低于可利用工时和高于可利用工时，即加班工时的偏差变量，则对目标2，有3x1+2x2+d2--d2+=26对于目标3，设d3-和d3+分别表示安排生产时，低于计划利润30元和高于计划利润30元的偏差变量，有：解：（1）决策变量：仍设每天生产甲、乙两种产品各为x1和x2874x1+3x2+d3--d3+=30（2）约束条件：有资源约束和目标约束资源约束：2x1+3x2≤24目标约束：为上述各目标中得出的约束（3）目标函数：三个目标依次为：minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-

因而该问题的数学模型可表述如下：minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=304x1+3x2+88

案例2（提级加新问题）某公司的员工工资有四级，根据公司的业务发展情况，准备招收部分新员工，并将部分员工的工资提升一级。该公司的员工工资及提级前后的编制表如下，其中提级后编制是计划编制，允许有变化，其中1级员工中有8%要退休。公司领导的目标如下：（1）提级后在职员工的工资总额不超过550千元；（2）各级员工不要超过定编人数；（3）为调动积极性，各级员工的升级面不少于现有人数的18%；（4）总提级面不大于20%，但尽可能多提；（5）4级不足编制人数可录用新工人。案例2（提级加新问题）某公司的员工工资有四级，根据公司的89问：应如何拟定一具满意的方案，才能接近上述目标？级别1234工资（千元）8643现有员工数10204030编制员工数10225230解：（1）决策变量：设x1,x2,x3,x4分别表示提升到1，2，3级和新录用的员工数。偏差变量：为各目标的正、负偏差变量。（2）约束条件：1）

提级后在职员工的工资总额不超过550千元；8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1--d1+=550

问：应如何拟定一具满意的方案，才能接近上述目标？级别12390

2）各级员工不要超过定编人数1级有：10-108%+x1+d2--d2+=102级有：20-x1+x2+d3--d3+=223级有：40-x2+x3+d4--d4+=524级有：30-x3+x4+d5--d5+=303）各级员工的升级面不少于现有人数的18%对2级有：x1+d6--d6+=2218%对3级有：x2+d7--d7+=4018%对4级有：x3+d8--d8+=3018%

4）总提级面人数不大于20%，但尽可能多提x1+x2+x3+d9--d9+=10020%2）各级员工不要超过定编人数91（3）目标函数：minZ1=d1+minZ2=d2++d3++d4++d5+minZ3=d6-+d7-+d8-minZ4=d9++d9-案例3有三个产地向四个销地供应物资。产地Ai(i=1,2,3)的供