材料力学-弯曲变形

§7-1引言

§7-2挠曲轴近似微分方程

§7-3计算梁位移的积分法

§7-5计算梁位移的叠加法

§7-6简单静不定梁

§7-7梁的刚度条件与合理刚度设计第七章弯曲变形

目的:

1、解决梁的刚度问题

2、求解静不定梁3、为研究稳定问题打基础§7-1

引言拉压杆的变形：伸长或缩短(Dl)圆轴扭转的变形：相对转动(扭转角j)弯曲变形怎样描述？回顾：问题：

挠曲轴是一条连续、光滑曲线

对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴

轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴，弯曲变形的特点

梁变形的描述：ABF

变弯后的梁轴——挠曲轴F描述截面上任一点的位移:1、形心轴的线位移

——挠度w2、截面绕形心轴的角位移

——转角qF

挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程w=w(x)F

忽略剪切变形

，且梁的转角一般很小——q=q’»

dw/dx3、轴向位移可忽略§7-2挠曲轴近似微分方程Q

中性层曲率表示的弯曲变形公式Q

由高等数学知识

Q

挠曲轴微分方程

——二阶非线性常微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）方程推导（请考虑推导思路）Q方程简化

正负号确定:弯矩:

坐标系：w向上为正小变形时：曲线下凹挠曲线下凹,弯矩M为正方程取正号

正弯矩负弯矩xwoxoŒ

小变形Q应用条件：Q挠曲轴的近似微分方程正弯矩xo

坐标轴w向上，弯矩下凹为正土木建筑部门，采用坐标轴w

向下坐标系小结F

C、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。一、梁的挠曲轴方程§7-3计算梁位移的积分法位移边界条件w=0w=0w=0q=0二、位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件。位移连续与光滑条件挠曲轴在B、C点连续且光滑连续：wB左=wB右光滑：qB左

=qB右

ACDMFB写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件ABCDFE例：思考：

1.该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？(2).分3段。ED段不受力，保持直线，仅作刚性转动。

请自行考虑。(1).分4段。位移边界条件：A端：两个；D端：无。位移连续条件：E：2个；B：1个；C：3个

自由端：无位移边界条件固定端：

连续条件：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件边界条件：例：中间支撑C：E点：中间铰B：ABCDFE已知EI,建立该梁的挠曲轴方程AB解:2、挠曲轴近似微分方程1、弯矩方程:例：AB3、积分常数的确定w(0)=0D=0w’(0)=0C=0已知EI

,建立该梁的挠曲轴方程

AB解:计算约束反力，建立坐标系。AB段BC段例:x边界和连续条件:

四个方程定4个常数ABx绘制挠曲轴的大致形状：F

弯矩图过零点处为挠曲轴拐点

支座性质定该处线和或角位移1.绘制弯矩图。2.绘制挠曲轴的大致形状F

弯矩图符号定挠曲轴凹凸性凹凸凹直线挠曲轴大致形状+_Fs+MADBC§7-5计算梁位移的叠加法

载荷叠加法

逐段变形效应叠加法

两类叠加法比较

例题一、载荷叠加法M(x)为载荷(P,q,Me)的线性齐次函数2、梁的变形很小；(不影响其它载荷的作用效果)1、应力不超过比例极限；(线弹性)梁的变形与载荷成线性关系积分后，w和w’仍然是载荷(P,q,Me)的线性齐次函数载荷叠加法的应用例：EI=常数，求，载荷由集中力F，均布力q和力偶M0构成，分别查表,然后将各个载荷在A端引起的位移叠加。AFqQ分析方法：查表,p351AAFAqAFq()Fq叠加：例：载荷集度为，求自由端挠度xq0BFB分析方法：将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加。注意(1)a取为变量x(2)载荷向上为正查表P351(2):例：载荷集度为，求自由端挠度xq0BFB例：EI=常值，求ACBq0(a)+q0(b)BACq0(c)分析：故：为什么？例：矩形截面梁斜弯曲问题——求挠曲轴方程与端点C位移yCzF分析思路：载荷沿两对称轴分解：

分解为对称弯曲问题2.求解各分载荷作用下的挠曲轴方程与C点位移3.合成为总的挠曲轴方程与总的C点位移解：(1)载荷分解方位角F

一般b

¹

q，弯曲变形不发生在外力作用面内。(2)分力挠曲轴方程与端点位移端点C：yCzFABC例:求图示外伸梁C点的挠度和转角ABCABCqa/2qa2/2仅考虑BC段变形(刚化AB,可视BC为悬臂梁)仅考虑AB段变形(刚化BC)二、逐段变形效应叠加法总挠度和转角逐段变形效应叠加法：静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形(其余梁段刚化)在该截面引起的位移的代数和或矢量和。进一步讨论ABCABCABCqaqa2/2ABCABCABCqaqa2/2三、两类叠加法比较1.两类叠加法的联系思考：右图的逐段变形效应叠加法所对应的载荷叠加法是什么？（求wC，qC）ABCABCABCqaqa2/22.两类叠加法对应关系实例ABCqa2/2BCqa2/2A逐段变形效应叠加法有何优点？3.逐段变形效应叠加法与载荷叠加法适用范围不同右图的叠加法为什么不成立？4.两类叠加法适用范围比较线弹性、非线弹性与非弹性线弹性小变形小变形静定杆系与刚架静定与静不定结构，包括杆、板、壳及一般三维体逐段变形效应叠加法载荷叠加法例：EI=常数，求ABCFABCBC刚化FBCAFFaAB刚化加

a.BC弯曲刚度刚化b.BC扭转刚度刚化w32.BC扭转(AB刚化，BC弯曲刚度刚化)3.BC弯曲(AB刚化，BC扭转刚度刚化)1.AB弯曲(BC刚化）例：E常数,,求，FABC刚化AB段：1.BC段变形效应（刚化AB段）2.AB段变形效应（刚化BC段）刚化BC段：ABCABCF例：E常数,,求，FABC刚化AB段：BC段刚化：ABCABCF3.总转角和挠度,求例：E常数,，FABCEFABCEFABCEF对称性的应用F/2CFBABCEFF/2F/2逐段变形效应叠加法ACBqBACq/2ACq/2反对称：中点挠度为0，弯矩0→铰支对称：思路：载荷分解Cq/2例：利用对称性求

(

)(↓)例：组合梁的变形分析，求：AqCBABC’解：梁挠曲轴如图CB保持直线AC悬臂梁问题分析：采用逐段变形效应叠加法例：组合梁/刚架各处EI,EA,B处梁间活动铰，求ABCF刚化刚架BDH,AB为简支梁，刚化梁AB，下面求刚架的位移ABHDCF解：1.求BHDF/2（1）刚化DH的拉压与弯曲刚度，

BD相当于悬臂梁（2）刚化BD和DH的拉压刚度（3）刚化BD和DH的弯曲刚度ABCF

2.求3.求设b×h矩形截面4.比较弯曲与拉压位移结论:

(如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同作用时，拉压引起的位移可以忽略。ABHDCF§7-6简单静不定梁

静不定度与多余约束多余约束多于维持平衡所必须的约束多余反力与多余约束相应的支反力或支力偶矩静不定度＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数5-3=2度静不定6-3

=

3度静不定相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统的选择不是唯一的相当系统1相当系统2

相当系统qABABRBqABqAB静定基:一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统(左下)相当系统：作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统(右下)AB静定基与相当系统qABABRBqABq

静不定问题分析例：ABCFFAFBFCF

平面问题有三个平衡方程；F

水平方向不受力，两个有效平衡方程；F

有三个未知力，一度静不定。ABCFFBwB=0问题分析：可以以支座A、B、C任意一个的铅垂约束作为多余约束。求解：解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协调条件求解。例如解除约束B，变形协调条件为思考：多余约束反力是否能与变形协调条件一一对应？小结：分析方法与分析步骤

步骤：

1、判断静不定度（确定多余约束数）；

2、选取与解除多余约束，建立相当系统；

3、列出多余约束处的变形协调条件；

4、结合平衡方程，求多余支反力。

方法：选取与解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界或连续条件F

相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种例：求支反力1.

静不定度：6-3=32.选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。小变形，轴向变形可忽略

HA=HB=0。两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.建立变形协调条件4.联立求解qABRBMB对称性的应用利用对称性直接求出RA=RB=ql/2，它可取代方程（1）、（2）之一。存在装配误差的静不定问题分析ABAB例:

直径为d

的圆截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：AB例：求A点的垂直方向的位移，A处梁间活动铰。ADR’A组合梁/刚架静不定问题的分析ABCDM0方法：将铰链拆开，建立铰链处的变形协调条件BCM0RA例：求支反力

变形协调条件：RRB点位移按右图计算

ABRqaqa2/2ABqCDECABqRDRE§6-6梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件[d]——许用挠度，[q]——许用转角一般用途轴：

[d

]=(5/10000~3/10000)l重要轴：