机械CADCAM技术计算机辅助工程分析课件

大家好大家好1有限元法有限元法21、掌握小位移弹性理论基本方程与力学原理2、掌握平面问题有限元方法。3、掌握轴对称问题有限元方法。4、理解等参数单元的概念和特性。

第一节有限元法的概念与基本思想

第二节弹性力学的基本方程与力学原理

第三节平面问题有限元法

第四节轴对称问题有限元法

第五节等参数单元本章内容目的1、掌握小位移弹性理论基本方程与力学原理第一节有限元法3第一节有限元法的概念与基本思想产品结构造型材料特性、几何特性及单元类型定义结构离散生成单元加载荷条件及边界条件单元分析整体分析分析结果可视化前置处理求解计算后置处理第一节有限元法的概念与基本思想产品结构造型材料特性、几何特4有限元法的基本思路

（1）建立数学模型，包括确定基本变量、导出基本方程、确定求解域和边界条件等。（2）将作为求解域的连续体结构离散为若干个单元，并通过这些单元边界上的节点相互联结成为外形不变的单元组合体。有限元法的基本思路（1）建立数学模型，包括确定基本变量、导5有限元法的基本思路

二维多连通域的有限元离散模型

有限元法的基本思路二维多连通域的有限元离散模型6有限元法的基本思路

（3）对于二维平面问题而言，每个单元节点处都有x方向和y方向两个位移分量，单元上非节点处的位移通过线性插值给定。

节点位移分已知和未知两类，已知位移的节点都位于位移已确定的边界段上，通过剔除已知节点位移，使有限元求解线性方程组具有惟一解，解之即得所有节点的位移，再利用位移与应变和应力之间的关系，就可求得个单元应力。

有限元法的基本思路（3）对于二维平面问题而言，每个单元节点7专业有限元分析系统ANSYSADINANASTRANABQUSALGORSUPERSAPCAD软件挂带I－DEAS软件中的有限元系统PRO/E软件中的有限元系统UG软件带的有限元系统目前国内常见的有限元系统专业有限元分析系统目前国内常见的有限元系统8有限元软件评价要点单元库材料库算法库前后处理能力数据接口和数据转换标准有限元软件与CAD软件UG、PRO/E、Parasolid、IGES之间的数据接口IGES等数据转换标准操作方便性有限元软件评价要点9I-DEAS有限元分析部分基本功能结构静力分析：弹性、塑性、蠕变、大变形、接触问题结构动力学分析：交变力、冲击或爆炸、随机力（地震）、其它瞬态力（如桥上的运动载荷）热分析：线性非线性热分析－传导、对流、辐射电磁场分析：电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分析、磁力分布、力、运动效应、电路和能量损失计算流体力学分析：瞬态或稳态声场分析压电分析：电子设备结构动态性能分析I-DEAS有限元分析部分基本功能10I-DEAS高级功能多物理场耦合分析：电－磁－热、压力－结构等优化设计拓扑优化设计（外形优化）单元生死问题可扩展功能:连接用户自己的FORTRAN程序和子过程用户摩擦系数用户塑性屈服准则用户失效准则用户优化其它I-DEAS高级功能11I-DEAS操作方式GUI方式：菜单、对话框操作命令方式：大约有1200多个命令程序方式：OpenI-DEAS语言编程自动运行I-DEAS几何建模点（keypoint）线面体关键点－Keypoint：几何建模用不参与有限元计算节点－Node：有限元分析I-DEAS操作方式关键点－Keypoint：几何建模用12解题过程及I-DEAS应用有限元解题过程I-DEAS初步应用1000500P=500NP=2.0e8PaE=2.1e11Pa泊松比0.3板厚30解题过程及I-DEAS应用1000500P=500NP=2.13计算举例（二）问题一方板,边长140mm,板厚10mm，板中心孔直径为20mm，两端受均匀拉伸分布力1.0E8Pa。材料弹性模量为2.0E11Pa，泊松比为0.3。如图所示，计算结构应力和变形。140计算举例（二）14014建立几何模型对称结构，只取其四分之一部分计算选择单元选平面问题4节点8自由度单元划分网格给定材料常数和单元厚度建立几何模型15施加载荷和约束提交计算该线上各点X方向位移为零该线上各点y方向位移为零分布拉力施加载荷和约束该线上各点该线上各点分布拉力16计算结果VonMiss应力和结构变形＋原结构轮廓局部应力放大VonMiss应力计算结果VonMiss应力和局部应力放大17计算举例问题一厚壁封闭容器，两端为半球形，中部为圆柱形，材料为普通碳素钢，其弹性模量为，泊松比为。已知圆柱段的长度为240mm，外径D＝100mm，内径d＝60mm。该容器以的转速绕其轴线旋转，容器内壁受的均匀内压。计算该容器的应力分布及变形。分析典型的轴对称问题可利用结构的对称性载荷包括内压和离心力计算举例18建立几何模型利用对称性，只取截面的1／2部分划分网格选择8节点单元给定单元材料常数质量密度查表得出建立几何模型19施加载荷和约束内压载荷离心力通过指定转速来施加此线上各点r方向的位移为零此线上各点z方向位移为零内压施加载荷和约束此线上各点此线上各点内压20计算结果VonMiss应力云图变形图－虚线为原结构变形图－网格线为变形后结构计算结果VonMiss变形图变形图21实体问题计算举例问题图示U形夹左端固定，圆孔下半部受分布压力作用,，,,图中长度单位为cm。用有限元法分析变形及应力。

实体问题计算举例22建立几何模型由于对称性，只取结构的1／2分析即可网格划分单元选择选用Tet10节点单元划分网格给定材料常数建立几何模型23施加载荷和约束对称面上各点垂直于对称面的位移为零—施加约束端面为固支，其上各点的所有自由度都必须约束住分布载荷施加载荷和约束对称面上各点端面为固支，其分布载荷24计算结果虚线为原结构变形结构和VonMiss应力云图原孔处的局部放大效果计算结果虚线为变形结构和原孔处的局25动力问题结构的动力问题分析实例

动力问题结构的动力问题分析实例26结构的动力问题分析实例（5）加载与施加边界条件。根据题目的要求，分别在钢架的1点加全约束，3点加垂直方向的力。操作如下：GUI：Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>OnNode；Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Force/Moment>OnKeypoints(6)设置模态分析。第一步，设置结构的自振频率。在选择模态分析的前提下，用简化计算方法，输入频率范围和结构的自由度等参数来进行。操作如下：GUI：Solution>AnalysisType>NewAnalysis，选【Modal】；

结构的动力问题分析实例27动力问题结构的动力问题分析实例Solution>AnalysisType>AnalysisOption选【Reduced】弹出如图所示的对话框，输入频率值是0～10000。

动力问题结构的动力问题分析实例28动力问题结构的动力问题分析实例Solution>MasterDOFs>ProgramSelected,输入402，即节点数的2倍如图所示

动力问题结构的动力问题分析实例29动力问题结构的动力问题分析实例第二步，设置谐响应分析。选择谐响应类型，选择题目中所给出的频率，即可得到GUI：Solution>AnalysisType>NewAnalysis选Harmonic；Solution>AnalysisType>AnalysisOption，

动力问题结构的动力问题分析实例30动力问题结构的动力问题分析实例选择频率和子步，操作如下：GUI：Solution>LoadStepsOpts>TimeFrequenc>FreqSubstps，按照图中输入频率0～10，子步分100步完成。

动力问题结构的动力问题分析实例31动力问题结构的动力问题分析实例(7)求解。操作如下：

GUI：Solution>Solve>CurrentLS(8)查看结果1）查看模态分析中自振频率的值，如图所示。操作如下：GUI：GeneralPostproc>ResultsSummary。

动力问题结构的动力问题分析实例32动力问题结构的动力问题分析实例2）查看加载点的响应。操作如下：

GUI：MainMenu>TimehistPostpro>DefineVariable，弹出对话框，选【Add】，选节点的位移如图所示，弹出窗口后在提示下选出加载点，即第3点，再选择【NodalDOFresult】。

动力问题结构的动力问题分析实例33动力问题结构的动力问题分析实例定义加载点的位移方向，在此选y方向

动力问题结构的动力问题分析实例34动力问题结构的动力问题分析实例确定数据的存在。操作如下：GUI为：MainMenu>TimehistPostpro>StoreData。用图形表示位移时间曲线。操作如下

GUI：MainMenu>TimehistPostpro>GraphVariable，如图所示，在NAVR2行中选择2，确定后即可得到加载点3在y方向的位移随时间变化的曲线，如图所示。

动力问题结构的动力问题分析实例35动力问题结构的动力问题分析实例加载点3在y方向随时间变化的曲线

动力问题结构的动力问题分析实例36优化设计优化设计37掌握优化问题的数学描述方法；

2.熟练掌握常用优化算法。

第一节优化问题的数学描述和数学基础

第二节一维搜索优化方法

第三节多维无约束优化方法

第四节多维约束优化方法本章内容目的掌握优化问题的数学描述方法；第一节优化问题的数学描述38第一节优化问题的数学描述和数学基础

一、优化问题的数学模型

二、优化问题的数学基础

三、优化问题的迭代计算

第一节优化问题的数学描述和数学基础一、优化问题的数学模型39一、优化设计的数学模型

（一）设计变量

1、概念一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，需要在优化设计过程中不断进行修改、调整，一直处于变化的状态的基本参数称为设计变量设计变量的全体实际上是一组变量，可以用列向量表示2、表达方式其中任一个特定的向量都可以称为一个“设计”。由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。记作设计变量一、优化设计的数学模型（一）设计变量40一、优化设计的数学模型

（二）约束条件

1、什么是约束条件？一个可行设计必须满足某些限制条件，这些限制条件称为约束条件，简称约束。2、约束的分类（1）按工程问题中约束的性质可以分为：性能约束侧面约束根据性能要求而提出的限制条件不针对性能要求，对设计变量的取值范围加以限制的约束（2）按数学表达形式又可分为等式约束不等式约束一、优化设计的数学模型（二）约束条件41一、优化设计的数学模型

二维设计问题的可行域D可在x1ox2平面直角坐标系表示

x2x1g1(x)g2(x)g3(x)g4(x)3、什么是可行域什么是可行域?凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围称为可行域。记作D一、优化设计的数学模型42一、优化设计的数学模型

4、优化问题按约束条件分类无约束优化问题约束优化问题在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。在可行域内，对设计变量求目标函数的极小点。一、优化设计的数学模型4、优化问题按43一、优化设计的数学模型

（三）目标函数1、什么是目标函数？目标函数是用来使设计得以优化的函数，用它可以评价设计方案的好坏，记作F(x)2、目标函数有两种表达形式目标函数极小化目标函数极大化F(x)minF(x)

max这两种形式有何特点？由于目标函数F(x)极大化等价于目标函数-F(x)极小化，故我们只讨论极小化的最优化问题。

3、目标函数的作用目标函数的值是评价设计方案优劣的标准。最优化设计就是要在可行域D集合内寻求一个最优点X*，使目标函数值为最优，通常为最小值，亦即一、优化设计的数学模型（三）目标函数44一、优化设计的数学模型

目标函数的建立是优化设计中十分重要的问题，一般应该根据追求的目标按设计准则建立。4、目标函数的建立5、优化问题按优化目标分类单目标优化问题多目标优化问题具有一个优化目标的优化设计具有两个或以上优化目标的优化设计一、优化设计的数学模型45一、优化设计的数学模型

（四）优化问题数学模型的一般形式

优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象，当选取设计变量、建立目标函数及约束条件后，优化设计问题就可以表示为一般数学形式。1、无约束优化问题数学模型的一般形式2、约束优化问题数学模型的一般形式n维实欧氏空间m个不等式约束和p个等式约束所限定的可行域一、优化设计的数学模型（四）优化问题46一、优化设计的数学模型

（五）优化问题的几何描述对于二维优化问题，为说明和理解一些基本概念，用几何图形进行解释会更具体形象。在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或可行域边界上。1、无约束优化问题在设计空间内，目标函数是以等值面的形式反映出来的，则无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。2、约束优化问题一、优化设计的数学模型（五）优化问题47二、优化方法的数学基础函数的梯度泰勒展开二阶导数矩阵矢量的概念、运算和点积矩阵的运算和逆矩阵（一）方向导数和分别是函数f(x1,x2)在x0点处沿坐标轴x1和x2方向的变化率二、优化方法的数学基础函数的梯度泰勒展开二阶导数矩阵矢量的概48故函数f(x1,x2)在x0(x10,x20)点处沿某一方向S的变化率为：称为该函数沿此方向的方向导数偏导数可以看作是函数沿坐标轴方向的方向导数，并有（二）梯度二元函数在点x0的梯度是由函数在该点的各一阶偏导数组成的向量。即:Sdx2x1x021x10x20x2x1X二、优化方法的数学基础故函数f(x1,x2)在x0(x10,x49

设S方向单位向量

则有

函数的梯度具有以下性质：（1）函数在一点的梯度是一个向量。梯度的方向是该点函数值上升最快的方向，与梯度相反的方向是该点函数值下降的最快的方向，梯度的大小就是它的模长。（2）一点的梯度方向是与过该点的等值线或等值面的切线或切平面相垂直的方向，或者说是该点等值线或等值面的法线方向。（3）梯度是函数在一点邻域内局部形态的描述。在一点上升得快的方向，离开该领域后就不一定上升得快，甚至可能下降。 二、优化方法的数学基础设S方向单位向量二、优化方50（三）泰勒展开为了便于数学问题的分析和求解，往往需要将一个复杂的非线性函数简化成线性函数或二次函数。简化的方法可以采用泰勒展开式。由高等数学可知，一元函数f(x)若在点x0的邻域内n阶可导，则函数可在该点邻域内作泰勒展开：

二元函数f(x)在点x0(x10,x20)也可以作泰勒展开，展开式一般取前三项，即：二、优化方法的数学基础（三）泰勒展开二、优化方法的数学基础51将上式写为矩阵形式

其中，G(x0)称为函数f(x1,x2)在点x0处的二阶导数矩阵或海赛矩阵。二、优化方法的数学基础将上式写为矩阵形式二、优化方法的数学基础52在优化计算中，当某点附近的函数值采用泰勒展开式作近似表达时，研究该点邻域的极值问题需要分析二次型函数是否正定。当对任何非零向量x使

则二次型函数正定，G为正定矩阵二、优化方法的数学基础在优化计算中，当某点附近的函数值采用泰勒展开式53（四）二次函数

当将函数的泰勒展开式取到二次项时得到二次函数形式。优化计算经常把目标函数表示为二次函数以使问题分析得以简化。在线性代数中将二次齐次函数称作二次型，其矩阵形式在优化计算中，当某点附近的函数值采用泰勒展开式作近似表达时，研究该点邻域的极值问题需要分析二次型函数是否正定。当对任何非零向量x使则二次型函数正定，G为正定矩阵二、优化方法的数学基础（四）二次函数

当将函数的泰勒展开式取到二次54对于一般二次函数

矩阵有正定和负定之分。对于所有非零向量：（1）若有，则称矩阵是正定的；（2）若有，则称矩阵是半正定的；（3）若有，则称矩阵是负定的；（4）若有，则称矩阵是半负定的；（5）若有，则称矩阵是不定的二、优化方法的数学基础对于一般二次函数

二、优化方法的数学基础55可以证明，正定二次函数具有以下性质：（1）正定二次函数的等值线或等值面是一簇同心圆或同心椭球。椭圆簇或椭球簇的中心就是该二次函数的极小点。（2）非正定二次函数在极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。二、优化方法的数学基础可以证明，正定二次函数具有以下性质：56（五）无约束优化问题的极值条件

二次函数f(x1,x2)在x0取得极值的必要条件为充分条件为：该点处海赛矩阵正定，即二、优化方法的数学基础正定：各阶主子式均大于零。（五）无约束优化问题的极值条件

二次函数f(x57第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础58第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础59第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础60第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础61第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础若函数在M点Hessian矩阵正定，则M点为函数的极小值点；若函数在M点Hessian矩阵负定，则M点为函数的极大值点。第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础62第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础63第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础64第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础65第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础66第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础2.6下降迭代算法及其收敛性无约束最优化问题求优过程的求解方法大致分为两类。（1）解析法Hessian矩阵正定极小值点Hessian矩阵负定极大值点第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础67第一节优化问题的数学描述和数学基础

二、优化方法的数学基础2.6下降迭代算法及其收敛性（2）数值迭代计算第一节优化问题的数学描述和数学基础二、优化方法的数学基础68三、优化设计的迭代计算

（一）优化问题的求解方法

1、优化问题的本质优化问题的本质求极值的数学问题。2、优化问题的求解方法理论上解析法数值计算法即应用极值理论求解能求解吗？由于实际优化数学模型的目标函数及约束函数往往是非线性的解析法求解非常困难，甚至无法实现（二）数值计算法的迭代方法1、数值计算法的数学基础计算方法2、数值计算法的迭代方法数值计算法可以较好地解决这类问题三、优化设计的迭代计算（一）优化问题69三、优化设计的迭代计算

从目标函数出发构造一种使目标函数值逐次下降的数值计算方法利用计算机进行反复迭代运算一步步搜索、调优逐步逼近函数极值点或最优点直到满足一定的精度时终止迭代计算最后所逼近的设计点即最优点，所得到的解即一定精度下的近似解三、优化设计的迭代计算从目标函数出发70三、优化设计的迭代计算（三）迭代计算的迭代过程由选定的初始点x(0)出发使满足……由于各设计点的函数值依次下降，可见迭代点不断向理论最优点逼近，最后可得到一定精度下的近似最优点，记作x*。适当的步长(0)某种优化方法所规定的搜索方向S(0)三、优化设计的迭代计算（三）迭代计算的迭代过程由选定的初始点71三、优化设计的迭代计算

迭代过程图示：

X(0)X(1)X(k)s(0)a(0)X(2)x*……三、优化设计的迭代计算迭代过程图示：72三、优化设计的迭代计算（四）迭代计算的终止准则

由于数值迭代是逐步逼近最优点而获得近似解的，所以要考虑优化问题解的收敛性及迭代过程的终止条件。1、迭代的收敛性指某种迭代程序产生的序列{xk(k=0,1,2,…)}收敛于2、通常采用的终止准则（1）点距准则||xk+1-xk||

1相邻两个设计点的距离已达到充分小或两迭代点的坐标分量之差三、优化设计的迭代计算（四）迭代计算的终止准则

73三、优化设计的迭代计算

（2）函数下降量准则相邻迭代点的函数值下降量达到充分小或相邻迭代点的函数值的相对值达到充分小（3）梯度准则三、优化设计的迭代计算（2）函数下降74一维优化方法一维搜索方法概述初始搜索区间的确定一维搜索的最优化方法

1、格点法

2、黄金分割法

3、二次插值法

教学要求：

1、掌握初始搜索区间的确定方法2、掌握黄金分割法3、掌握二次插值法一维优化方法一维搜索方法概述1、格点法

2、黄金分割法

3、75一维搜索方法概述一、什么是一维搜索法在优化设计的迭代运算中，在搜索方向s(k)上寻求最优步长的方法实际上就是一元函数极小化的数值迭代算法二、一维搜索法的作用一维搜索法是非线性优化方法的基本算法多元函数的迭代算法都可以归结为在一系列逐步产生的下降方向上的一维搜索。例如：二维优化的例子因此，二维优化问题minf(x1,x2)就可以表示为一维优化问题minf()一维搜索方法概述一、什么是一维搜索法在优化设计的迭代76初始搜索区间的确定搜索区间的特点必须是单峰区间该区间内的函数值呈现“高-低-高”的趋势包含函数的极小点x*f(x)f(x)xxaax*x*bb单峰区间通过将搜索区间[a,b]逐渐缩小，直至足够小，就可以得到近似最优点。初始搜索区间的确定搜索区间的特点必须是单峰区间该区间内的函数77确定初始搜索区间的进退法一、试探搜索极小点位置设函数为y=f(x),给定初始点为x1，选定的初始步长为h0。由初始点x1沿x轴正向取x2点，x2=x1+h0计算x1、x2的函数值y1、y2比较y1、y2的大小极小点位于x1点右方极小点位于x1点左方前进搜索后退搜索若y2

<y1若y2>y1确定初始搜索区间的进退法一、试探搜索极小点位置78确定初始搜索区间的进退法x1x1x2x2x3x3h02h0h02h0前进搜索后退搜索注意：x1x2互换后再取x3若y2<y1，则极小点位于x1点右方，应继续前进搜索若y2>y1，则极小点位于x1点左方，应反向后退搜索确定初始搜索区间的进退法x1x1x2x2x3x3h02h0h79确定初始搜索区间的进退法二、前进搜索

x1x2x3h02h0令

h0加倍，取x3x2+2h0若y2<y3，则有y1>

y2<y3，此时函数f(x)在[x1,x3]必有极小点令ax1，bx3，从而构成搜索区间[a,b]x1x2x3h02h0令

h0加倍，取x3x2+2h0若y2>y3，则继续前进搜索令x1x2，y1y2

x2x3，y2y3然后步长加倍，取新点x3当y1>

y2<y3时，令ax1，bx3，构成搜索区间[a,b]确定初始搜索区间的进退法二、前进搜索

x1x2x3h02h080确定初始搜索区间的进退法三、后退搜索x1x2x3h02h0令h-h0，x1与

x2对调，使h2h，取x3x2+h故令ax3，bx1，而构成搜索区间[a,b]若y2<y3，则y1>

y2<y3，f(x)在[x3,x1]必有极小点x1x2x2x3h02h0x1若y2>y3，则继续后退搜索令x1x2，y1y2

x2x3，y2y3然后步长加倍，取新点x3当y1>

y2<y3时，令ax3，bx1，构成搜索区间[a,b]确定初始搜索区间的进退法三、后退搜索x1x2x3h02h0令81确定初始搜索区间的进退法四、进退法确定搜索区间的流程图五、例题确定初始搜索区间的进退法四、进退法确定搜索区间的流程图82一维搜索的最优化方法在确定了搜索区间以后，采用某种方法将此区间逐步缩小，在满足收敛精度或迭代精度的情况下，使其达到包含极小值的一个很小的邻域，以取得一个近似的最优点。一、一维优化的目的是什么二、一维优化的方法1、格点法

2、黄金分割法

3、二次插值法一维搜索的最优化方法在确定了搜索区间以后83第二节一维搜索优化方法《现代设计方法概论》课程教案二、黄金分割法第二节一维搜索优化方法《现代设计方法概论》课程教案二、黄84第二节一维搜索优化方法《现代设计方法概论》课程教案二、黄金分割法第二节一维搜索优化方法《现代设计方法概论》课程教案二、黄85第二节一维搜索优化方法《现代设计方法概论》课程教案二、黄金分割法第二节一维搜索优化方法《现代设计方法概论》课程教案二、黄86收敛检查，若满足收敛精度，比较区间端点和中心点的函数值，从中选取较小者作为最优点；否则，转步骤③。第二节一维搜索优化方法《现代设计方法概论》课程教案二、黄金分割法收敛检查，若满足收敛精度，比较区间端点和中心点的函数值，从87《现代设计方法概论》课程教案《现代设计方法概论》课程教案88二次插值法一、插值法概念1、给定的问题在某一确定区间内寻求函数的极小点的位置，但是没有函数表达式，只有若干试验点处的函数值。2、解决问题的方法根据这些函数值，构成一个与原目标函数相接近的低次插值多项式，用该多项式的最优解作为原函数最优解的近似解3、插值法的概念用低次插值多项式逐步逼近原目标函数的极小点的近似求解方法，称为插值方法或函数逼近法。二次插值法一、插值法概念1、给定的问题在某89二、插值法与试探法的异同点二次插值法1、相同点：都是利用区间消去法原理将初始搜索区间不断缩短，从而求得极小点的数值近似解。2、不同点：（1）试验点位置的确定方法不同。试验点的位置是由某种给定的规律确定的，并未考虑函数值的分布。试验点的位置是按函数值近似分布的极小点确定的。试探法插值法二、插值法与试探法的异同点二次插值法1、相同点：90二次插值法（2）对试验点函数值的利用程度不同。仅仅利用了试验点函数值进行大小的比较利用函数值本身或其导数信息，当函数具有较好的解析性质时，插值方法比试探方法效果更好试探法插值法二次插值法（2）对试验点函数值的利用程度不同。仅仅利用了试验91四、二次插值函数的构成设一维目标函数的搜索区间为[a,b]，取三点x1、x2、x3，其中x1、x3取区间的端点，即x1a，

x3

bx2为区间内的一个点，开始可以取区间的中点，即

x2=0.5(x1+x3)计算函数值f

1=f(x1)、f

2=

f(x2)、f

3=f(x3)过函数曲线上的三点P1(x1,f

1)、P2(x2,f2)、P3(x3,f

3)

作二次曲线p(x)=Ax2+Bx+C二次插值法三、二次插值法的概念利用原目标函数上的三个插值点，构成一个二次插值多项式，用该多项式的最优解作为原函数最优解的近似解，逐步逼近原目标函数的极小点，称为二次插值方法或抛物线法。x3=bp1f1x1=af(x)x2f2p2x*xP*f3p3p(x)它应满足条件

p(x1)=Ax12+Bx1+C1=f

1

p(x2)=Ax22+Bx2+C=f

2

p(x3)=Ax32+Bx3+C=f

3

四、二次插值函数的构成设一维目标函数的搜索区间为[a,b92二次插值法解方程组，得待定系数A、B、C分别为于是函数p(x)就是一个确定的二次多项式，称二次插值函数二次插值法解方程组，得待定系数A、B、C分别为于是93二次插值法二次插值函数图例p1p2p3f(x)p(x)f1f2f3x1=ax2x3=bx*xP*二次插值函数二次插值法二次插值函数图例p1p2p3f(x)p(x)f1f94二次插值法令插值函数p(x)的一介导数为0，即p´(x)=2Ax+B=0得p(x)极小点为

xp*=B/2A代入A、B得令则二次插值法令插值函数p(x)的一介导数为0，即p´(x)=295二次插值法注意：若c2=0则即说明三个插值点位于同一条直线上，因此说明区间已经很小，插值点非常接近，故可将x2、y2输出作为最优解二次插值法注意：若c2=0则即96二次插值法五、区间的缩短为求得满足收敛精度要求的最优点，往往需要多次进行插值计算，搜索区间不断缩短，使xp*不断逼近原函数的极小点x*。第一次区间缩短的方法新区间x1=ax2x3=bx*xP*x1x2x3计算xp*点的函数值fp*比较fp*与f2，取其中较小者所对应的点作为新的x2以此点的左右两邻点作为新的x1和x3得到缩短后的新区间[x1，x3]二次插值法五、区间的缩短为求得满足收敛精度要97二次插值法x1x2x3xP*f2fP*x1x1x1x2x2x2xP*xP*xP*x3x3x3f2f2f2fP*fP*fP*bacd第二次以后的区间缩短分四种情况xp*>x2，fp*>f2

xp*>x2，fp*<f2

xp*<x2，fp*<f2

xp*<x2，fp*>f2

二次插值法x1x2x3xP*f2fP*x1x1x1x2x2x98二次插值法入口xp*>x2?f2*>fP*?f2<fP*?x1xp*f1

fP*x3x2f3

f2x2xp*f2

fP*x1x2f1

f2x2xp*f2

fP*x3xp*f3

fP*出口YYYNNNabcd区间缩短流程图图示二次插值法入口xp*>x2?f2*>fP*?f2<fP*?x99二次插值法六、终止准则当满足给定精度时，计算终止，并令

x*xP*(k),f*

f(x*)七、二次插值算法流程图八、例题二次插值法六、终止准则当满足给定精度时，计算终止，并令七、二100无约束优化算法无约束优化算法101无约束优化算法无约束优化方法概述坐标轮换法鲍威尔方法梯度法牛顿法DFP变尺度法BFGS变尺度法无约束优化问题的评价准则教学要求：

1、掌握鲍威尔方法2、掌握梯度法和牛顿法的特性及优缺点3、掌握DFP变尺度法的原理及程序设计无约束优化算法无约束优化方法概述教学要求：

102无约束优化方法概述一、无约束优化的概念和数学模型1、无约束优化问题

求n维设计变量x=[x1，x2，…，xn]T，使目标函数为minf（x），而对x没有任何限制；如果存在x*，使minf（x）=f（x*），则称x*为最优点，f（x*）为最优值。2、无约束优化问题的数学模型minF(x)x=[x1，x2，…，xn]TRn求上述问题最优解的方法，称为无约束优化方法。无约束优化方法概述一、无约束优化的概念和数学模型1、无约束优103无约束优化方法概述二、无约束优化的地位1、有些实际问题，其数学模型本身就是无约束优化问题，或者除了在非常接近极小点的情况下，都可以按无约束问题来处理。2、通过熟悉无约束优化问题的解法，可以为研究约束优化问题打下良好的基础。3、约束优化问题的求解往往可以通过一系列无约束优化方法来实现。无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。无约束优化方法概述二、无约束优化的地位1、有些实际问题，其数104无约束优化方法概述三、无约束优化方法数值计算方法的步骤

1、选择一个初始点x（0），这一点越靠近极小点x*越好。2、若已经取得某设计点x（k），并且该点不是近似极小点，则在x（k）点根据函数f（x）的性质，选择一个方向S（k），并且沿此方向搜索函数值是下降的，称下降方向。3、当搜索方向S（k）确定后，由x（k）点出发，沿S（k）方向进行搜索，定出步长因子（k），得到新的设计点x（k+1）=x（k）+（k）S（k），并满足f（x（k+1））<f（x（k））4、若x（k+1）满足迭代计算终止条件，x（k+1）点作为x*；否则从该点出发，返回第二步继续搜索迭代。无约束优化方法概述三、无约束优化方法数值计算方法的步骤105无约束优化方法概述开始给定x和S的初始值计算使f（x+S）极小xx+S满足收敛条件？结束形成新的S无约束极小化算法粗框图无约束优化方法概述开始给定x和S的初始值计算xx+106无约束优化方法概述三、无约束优化数值计算方法的关键问题

无约束优化数值计算方法采用的是搜索方法，其基本思想是从给定的初始点出发，沿某一个搜索方向进行不断的搜索，确定最佳步长使函数值沿搜索方向下降最大，其迭代公式为x（k+1）=x（k）+（k）S（k）各种无约束优化方法的区别在于确定其搜索方向的S（k）的方法不同。所以，搜索方向的构成问题是无约束优化问题的关键。四、无约束优化方法的分类无约束优化方法的分类依据就是根据（k）和S（k）的确定方法而定的。若根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，可以分为两类。无约束优化方法概述三、无约束优化数值计算方法的关键问题107无约束优化方法概述1、间接法是利用目标函数的导数的无约束优化方法，如最速下降法、共轭梯度法、牛顿法及变尺度法等。2、直接法

是只利用目标函数值的无约束优化方法，如坐标轮换法、单形替换法及鲍威尔法等无约束优化方法概述1、间接法108坐标轮换法

坐标轮换法属于直接法，既可以用于无约束优化问题的求解，又可以经过适当处理用于约束优化问题求解。坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方法。它把多变量的优化问题轮流地转化成单变量（其余变量视为常量）的优化问题，因此又称这种方法为变量轮换法。此种方法只需目标函数的数值信息而不需要目标函数的导数。坐标轮换法坐标轮换法属于直接法，既可109坐标轮换法一、坐标轮换法的迭代过程如图，以二次函数为例。x2x0x01x11x12x1x21坐标轮换法一、坐标轮换法的迭代过程x2x0x01x11x1110坐标轮换法任取一初始点x0作为第一轮的始点x01,先沿第一坐标轴的方向e1作一维搜索，用一维优化方法确定最优步长11，得第一轮的第一个迭代点x11=x01+11

e1，然后以x11为新起点，沿第二坐标轴的方向e2作一维搜索，确定步长21

，得第一轮的第二个迭代点x21=x11+21

e2

第二轮迭代，需要

x11x01

x12

x02+12

e1x22=x12+22

e2

依次类推，不断迭代，目标函数值不断下降，最后逼近该目标函数的最优点。坐标轮换法任取一初始点x0作为第一轮的111坐标轮换法

二、终止准则可以采用点距准则或者其它准则。

注意：若采用点距准则或函数值准则，其中采用的点应该是一轮迭代的始点和终点，而不是某搜索方向的前后迭代点。坐标轮换法二、终止准则112坐标轮换法

三、坐标轮换法的流程图入口给定：x0，K=1i=1Xik=x0沿ei方向一维搜索求ixik=xi-1k+

ikeix=xkf=f(x)i=n?||xnk-x0k||?x*=xf*=f(x*)出口i=i+1x0=x0kk=k+1NYNY坐标轮换法三、坐标轮换法的流程图入口给定：x0，K=1i113坐标轮换法四、例题五、小结坐标轮换法程序简单，易于掌握。但是计算效率比较低，尤其是当优化问题的维数较高时更为严重。一般把此种方法应用于维数小于10的低维优化问题。对于目标函数存在“脊线”的情况，在脊线的尖点处没有一个坐标方向可以使函数值下降，只有在锐角所包含的范围搜索才可以达到函数值下降的目的，故坐标轮换法对此类函数会失效。x2x1脊线坐标轮换法四、例题x2x1脊线114鲍威尔（Powell）方法—方向加速法

鲍威尔方法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种共轭方向法。这种方法是在研究具有正定矩阵G的二次函数的极小化问题时形成的。其基本思想是在不用导数的前提下，在迭代中逐次构造G的共轭方向。一、共轭方向的概念

设G为一正定对称矩阵，若有一组非零向量S1，S2，…，Sn满足SiTGSj=0(ij)，则称这组向量关于矩阵G共轭。

共轭方向对于构造一种有效的算法是很重要的。以正定二元二次函数为例，我们进行探讨。鲍威尔（Powell）方法—方向加速法115鲍威尔方法

正定的二元二次函数的等值线为一组椭圆，任选初始点x0沿某个下降方向S0作一维搜索，得x1

x1=x0+0S0

此时，点x1的梯度必然与方向S0垂直，即有

[f(x1)]TS0=0

S0与某一等值线相切于x1点。

下一次的迭代，若选择负梯

度方向为搜索方向，将产生

锯齿现象。为避免锯齿的产

生，我们取迭代方向S1直指

极小点x*，如图所示。x0x*x11S1-f(x1)S10S0鲍威尔方法正定的二元二次函数的等值线为116鲍威尔方法

二、共轭方向的生成

设xk、xk+1为从不同点出发，沿同一方向Sj进行一维搜索得到的两个极小点，如图所示。根据梯度和等值面的性质，Sj和xk、xk+1两点处的梯度gk、gk+1之间存在如下关系

(Sj)Tgk=0

(Sj)Tgk+1=0

又因为xk、xk+1两点处的梯度可表示为

gk=Gxk+Bgk+1=Gxk+1+B两式相减，得

gk+1-gk=G(xk+1-xK)gkgk+1SjSjSkxk+1xK鲍威尔方法二、共轭方向的生成

设xk、xk+117鲍威尔方法因此有

(Sj)T

(gk+1-gk)=(Sj)T

G(xk+1-xK)=0

若取方向Sk=

xk+1-xK，则Sk和Sj对G共轭。这说明只要沿方向Sj分别对函数作两次一维搜索，得到两个极小点，则这两点的连线方向Sk就是与Sj

共轭的方向。gkgk+1SjSjSkxk+1xKSj的共轭方向gk+1-gk=G(xk+1-xK)鲍威尔方法因此有gkgk+1SjSjSkxk+118鲍威尔方法三、鲍威尔基本算法

如图所示，以三维二次目标函数的无约束优化问题为例。x1x3x2e1e2e3e2e3e3x01x11x21x31x1x12x22x32x13x23x33x2x3S3-S1S2S2S1鲍威尔方法三、鲍威尔基本算法

如图所示，以三维二次119鲍威尔方法

鲍威尔基本算法的步骤：

第一环基本方向组取单位坐标矢量系e1、e2、

e3、…、en，沿这些方向依次作一维搜索，然后将始末两点相连作为新生方向，再沿新生方向作一维搜索，完成第一环的迭代。以后每环的基本方向组是将上环的第一个方向淘汰，上环的新生方向补入本环的最后而构成。n维目标函数完成n环的迭代过程称为一轮。从这一轮的终点出发沿新生方向搜索所得到的极小点，作为下一轮迭代的始点。这样就形成了算法的循环。鲍威尔方法鲍威尔基本算法的步骤：

120鲍威尔方法鲍威尔基本算法的缺陷：

可能在某一环迭代中出现基本方向组为线性相关的矢量系的情况。如第k环中，产生新的方向：

Sk=xnk-x0k=1kS1k+2kS2k+•••+nkSnk

式中，S1k、S2k、

•••、Snk为第k环基本方向组矢量，1k

、2k、•••、nk为个方向的最优步长。

若在第k环的优化搜索过程中出现1k=0，则方向Sk表示为S2k、

S3k、•••、Snk的线性组合，以后的各次搜索将在降维的空间进行，无法得到n维空间的函数极小值，计算将失败。

鲍威尔方法鲍威尔基本算法的缺陷：

121鲍威尔方法

鲍威尔基本算法的退化x1x2x31=01e23e3S1如图所示为一个三维优化问题的示例，设第一环中1=0，则新生方向与e2、e3共面，随后的各环方向组中，各矢量必在该平面内，使搜索局限于二维空间，不能得到最优解。鲍威尔方法鲍威尔基本算法的退化x1x2x3122鲍威尔方法四、鲍威尔修正算法

在某环已经取得的n+1个方向中，选取n个线性无关的并且共轭程度尽可能高的方向作为下一环的基本方向组。

鲍威尔修正算法的搜索方向的构造：

在第k环的搜索中，x0k为初始点，搜索方向为S1k、S2k、

•••、Snk。产生的新方向为Sk，此方向的极小点为xk，点

xn+1k=2xnk-x0k，为x0k对xnk的映射点。

计算x0k

、x1k、•••、xnk、xk、xn+1k

各点的函数值，记作：

F1=F(x0k)

F2=F(xnk)

F3=F(xkn+1)=F(xkm)-F(xkm-1)

是第k环方向组中，依次沿各方向搜索函数值下降最大值，即Smk方向函数下降最大。鲍威尔方法四、鲍威尔修正算法

在某环已经取得的123鲍威尔方法

为了构造第k+1环基本方向组，采用如下判别式：

按照以下两种情况处理：

1、上式中至少一个不等式成立，则第k+1环的基本方向仍用老方向组S1k、S2k、

•••、Snk。k+1的环初始点取

x0k+1=xnkF2<F3x0k+1=xn+1kF2F3

2、两式均不成立，则淘汰函数值下降最大的方向，并用第k环的新生方向补入k+1环基本方向组的最后，即k+1环的方向组为S1k、S2k、

•••、Sm-1k、Sm+1k

•••

、Snk、Skn+1

，

Skn+1=xnk-x0k。k+1环的初始点取x0k+1=xkxk是第k环沿Sn+1k方向搜索的极小点。鲍威尔方法为了构造第k+1环基本方向组，采124鲍威尔方法

x0kx1kx2kx3kxm-1kxmkSnkxnkSmkS3kS2kSkn+1xkxn+1kF1F2F3鲍威尔方法x0kx1kx2kx3kxm-1125鲍威尔方法

鲍威尔算法的终止条件：

||xk-x0k||五、鲍威尔算法的迭代步骤及流程图六、例题鲍威尔方法鲍威尔算法的终止条件：

126梯度法优化设计是追求目标函数值最小，因此，自然可以设想从某点出发，其搜索方向取该点的负梯度方向，使函数值在该点附近下降最快。这种方法也称为最速下降法。一、基本原理

梯度法的迭代公式为：

x(k+1)=x(k)-(k)g(k)

其中g(k)是函数F(x)在迭代点x(k)处的梯度f(xk)，(k)一般采用一维搜索的最优步长，即

f(x(k+1))=f(x(k)-(k)g(k))=minf(x(k)-(k)g(k))=min()

据一元函数极值条件和多元复合函数求导公式，得

()=-(f(x(k)-(k)g(k)))Tg(k)

=0

即（

f(x(k+1)))Tg(k)

=0

或(g(k+1))Tg(k)=0梯度法优化设计是追求目标函数值最小，因127梯度法此式表明，相邻的两个迭代点的梯度是彼此正交的。也即在梯度的迭代过程中，相邻的搜索方向相互垂直。梯度法向极小点的逼近路径是锯齿形路线，越接近极小点，锯齿越细，前进速度越慢。

这是因为，梯度是函数的局部性质，

从局部上看，在该点

附近函数的下降最快，

但从总体上看则走了

许多弯路，因此函数

值的下降并不快。梯度法此式表明，相邻的两个迭代点的梯度是128梯度法二、迭代终止条件

采用梯度准则：

||g(k)||三、迭代步骤

（1）任选初始迭代点x(0)，选收敛精度。

（2）确定x(k)点的梯度（开始k=0)

（3）判断是否满足终止条件||g(k)||？若满足输出最优解，结束计算。否则转下步。

（4）从x(k)点出发，沿-g(k)方向作一维搜索求最优步长(k)。得下一迭代点x(k+1)=x(k)-(k)g(k)，令k=k+1返回步骤（2）。梯度法二、迭代终止条件

采用梯度准则：

129梯度法四、梯度法流程图入口给定：x(0)，

k=0||g(k)||？x*=x(k)f*=f(x(k))出口x(k)=

x(0计算：g(k)k=k+1沿g(k)方向一维搜索，求最优步长(k)。NY梯度法四、梯度法流程图入口给定：x(0)，k=0||g130梯度法五、例题

思考:

梯度法有何特点?？梯度法五、例题

？131共轭梯度法

共轭梯度法是共轭方向法的一种，因为该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来的，所以称作共轭梯度法。一、共轭梯度法的搜索方向

共轭梯度法的搜索方向采用梯度法基础上的共轭方向，如图所示，目标函数F(x)在迭代点xk+1处的负梯度为-f(xk+1)，该方向与前

一搜索方向Sk互为正交，在此

基础上构造一种具有较高收敛

速度的算法，该算法的搜索方

向要满足以下两个条件：

（1）以xk+1点出发的搜索方

向Sk+1是-f(xk+1)与Sk的线性

组合。即xkx*xk+1-f(xk+1)Sk+1Sk共轭梯度法共轭梯度法是共轭方向法的一种，132共轭梯度法

Sk+1=-f(xk+1)

+

kSk

（2）以Sk与Sk+1为基底的子空间中，矢量Sk与Sk+1相共轭，即满足

[

Sk+1]T

G

Sk=0二、

k的确定

确定方法不作要求。记住三、共轭梯度法的算法

（1）选初始点x0和收敛精度。

（2）令k=0，计算S0=-f(x0)。

（3）沿Sk方向进行一维搜索求(k)，得

x(k+1)=x(k)+(k)S(k)

（4）计算f(xk+1)，若||f(xk+1)||

，则终止迭代，取x*=xk+1；否则进行下一步。共轭梯度法Sk+1=-f(133共轭梯度法（5）检查搜索次数，若k=n，则令x0=xk+1，转（2），否则，进行下一步。（6）构造新的共轭方向

Sk+1=-f(xk+1)

+

kSk

令k=k+1，转（3）共轭梯度法（5）检查搜索次数，若k=n，则令x0=xk134共轭梯度法四、共轭梯度法流程图入口k=0，计算：-f(x0)