多元函数微分学与应用课件

一、函数、极限、连续三、多元函数微分学二、导数与微分微分学四、微分学应用一、函数、极限、连续三、多元函数微分学二、导数与微分微分学1一、函数、极限、连续1.一元函数显函数定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。隐函数参数方程所表示的函数一、函数、极限、连续1.一元函数显函数定义域：使表达式有2函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性

复合函数(构造新函数的重要方法)初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与有限次复合而成且能用一个式子表示的函数.例如.函数基本初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性复合函数(构32极限

极限定义的等价形式

(以为例)极限运算法则2极限极限定义的等价形式(以4无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:

两个重要极限～～～～～～～～～等价无穷小代换无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:5存在(或为)定理(洛必达法则)说明:

定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.洛必达法则存在(或为)定理(洛必达法则)说明:定理中63.连续与间断函数连续的定义函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点重要结论：初等函数在定义区间内连续3.连续与间断函数连续的定义函数间断点第一类（左右极限存在7例1.

设函数在x=0连续,则

a=

,b=

.提示:例1.设函数在x=0连续,则a=8例2.

若，求a与b的值。例2.若，求a与b的值。9二、导数和微分导数定义:当时,为右导数当时,为左导数

微分

:

关系

:可导可微导数几何意义:切线斜率1.有关概念二、导数和微分导数定义:当时,为右导数当时,为左导数微10例3.设在处连续,且求解:例3.设在处连续,且求解:112.导数和微分的求法正确使用导数及微分公式和法则（要求记住！）高阶导数的求法(逐次求一阶导数）2.导数和微分的求法正确使用导数及微分公式和法则（要求记住12例4.求函数的导数解：例5.求函数在x处的微分解：例4.求函数的导数解：例5.求函数在x处的微分解：13三、多元函数微分法1.多元显函数求偏导和高阶偏导2.复合函数求偏导注意正确使用求导符号3.隐函数求偏导将其余变量固定，对该变量求导。三、多元函数微分法1.多元显函数求偏导和高阶偏导2.复合144.全微分5.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续4.全微分5.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连15例6.

已知解:为正常数），求例6.已知解:为正常数），求16解：设则例7.设解：设则例7.设17四、导数与微分的应用1.导数的几何意义例8.求曲线上切线平行于x轴的点。解：由解得得代入所求点为：四、导数与微分的应用1.导数的几何意义例8.求曲线上切线平18函数单调性的判定及极值求法若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).在开区间I

内可导,2.函数的性态:注意:1)函数的极值是函数的局部性质.2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或不存在的点.函数单调性的判定及极值求法若定理1.设函数则19极值第一判别法且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,极值第一判别法且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,20极值第二判别法二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.极值第二判别法二阶导数,且则在点21例9.

求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例9.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得22定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则在I

内图形是凹的;(2)在

I内则在

I

内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数凹弧凸弧的分界点为拐点定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则23例9.

求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸例9.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑24的连续性及导函数例10.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为

;极小值点为

;极大值点为

.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为

;的连续性及导函数例10.填空题(1)设函数其导数图形如图25说明:

使偏导数都为0的点称为驻点

.极值必要条件函数偏导数,

但驻点不一定是极值点.且在该点取得极值,则有存在多元函数极值与最值问题极值的必要条件与充分条件说明:使偏导数都为0的点称为驻点.极值必要条件函数26时,具有极值

极值充分条件的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数时,具有极值极值充分条件的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导27极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法28引入辅助函数则极值点满足:方法2拉格朗日乘数法.解该方程组，得极值点。引入辅助函数则极值点满足:方法2拉格朗日乘数法.解该方29一、函数、极限、连续三、多元函数微分学二、导数与微分微分学四、微分学应用一、函数、极限、连续三、多元函数微分学二、导数与微分微分学30一、函数、极限、连续1.一元函数显函数定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。隐函数参数方程所表示的函数一、函数、极限、连续1.一元函数显函数定义域：使表达式有31函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性

复合函数(构造新函数的重要方法)初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与有限次复合而成且能用一个式子表示的函数.例如.函数基本初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性复合函数(构322极限

极限定义的等价形式

(以为例)极限运算法则2极限极限定义的等价形式(以33无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:

两个重要极限～～～～～～～～～等价无穷小代换无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:34存在(或为)定理(洛必达法则)说明:

定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.洛必达法则存在(或为)定理(洛必达法则)说明:定理中353.连续与间断函数连续的定义函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点重要结论：初等函数在定义区间内连续3.连续与间断函数连续的定义函数间断点第一类（左右极限存在36例1.

设函数在x=0连续,则

a=

,b=

.提示:例1.设函数在x=0连续,则a=37例2.

若，求a与b的值。例2.若，求a与b的值。38二、导数和微分导数定义:当时,为右导数当时,为左导数

微分

:

关系

:可导可微导数几何意义:切线斜率1.有关概念二、导数和微分导数定义:当时,为右导数当时,为左导数微39例3.设在处连续,且求解:例3.设在处连续,且求解:402.导数和微分的求法正确使用导数及微分公式和法则（要求记住！）高阶导数的求法(逐次求一阶导数）2.导数和微分的求法正确使用导数及微分公式和法则（要求记住41例4.求函数的导数解：例5.求函数在x处的微分解：例4.求函数的导数解：例5.求函数在x处的微分解：42三、多元函数微分法1.多元显函数求偏导和高阶偏导2.复合函数求偏导注意正确使用求导符号3.隐函数求偏导将其余变量固定，对该变量求导。三、多元函数微分法1.多元显函数求偏导和高阶偏导2.复合434.全微分5.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续4.全微分5.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连44例6.

已知解:为正常数），求例6.已知解:为正常数），求45解：设则例7.设解：设则例7.设46四、导数与微分的应用1.导数的几何意义例8.求曲线上切线平行于x轴的点。解：由解得得代入所求点为：四、导数与微分的应用1.导数的几何意义例8.求曲线上切线平47函数单调性的判定及极值求法若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).在开区间I

内可导,2.函数的性态:注意:1)函数的极值是函数的局部性质.2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或不存在的点.函数单调性的判定及极值求法若定理1.设函数则48极值第一判别法且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,极值第一判别法且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,49极值第二判别法二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.极值第二判别法二阶导数,且则在点50例9.

求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例9.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得51定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则在I

内图形是凹的;(2)在

I内则在

I

内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数凹弧凸弧的分界点为拐点定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则52例9.

求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸例9.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑53的连续性及导函数例10.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为

;极小值点为

;极大值点为