第七章 小波分析、分析工具及应用发展课件

第七章小波分析、分析工具及应用发展第七章小波分析、分析工具及应用发展1复习回顾小波分析来源小波分析来源于信号分析的需求.设一个有限分辨率的连续信号,将其近似地表示为下列阶梯函数(图1)

为简化叙述,取整数点（n）为样点,式中为样本值,而其基函数

并又将其称为“尺度函数”，如图2所示.

复习回顾小波分析来源2第七章小波分析、分析工具及应用发展课件3我们将采样间隔加倍,则其样点数减半,这时信号表示为显然,这里自然取,参见(图3).我们称上述算法为二分法.再分析二分前后两个信号的偏差(图3)

我们将采样间隔加倍,则其样点数减半,这时信号表示为4第七章小波分析、分析工具及应用发展课件5它具有形式,这里

而其基函数如(图4)所示:它就是一种“小波函数”。顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性,譬如是局部非零的;而称之为“波”则是指它的波动性,即其振幅呈正负相间的震荡形式.又如也具有这种特性

。它具有形式6小波函数的重要价值在于:它通过平移和伸缩可生成平方可积函数空间中一组正交基:,从而可将信号进行分解:为进行信号分析,提供的一组正交基是至关重要的.我们尤感兴趣的是,为了适应实际需要,利用所给的小波函数能否派生出更多、更适用的小波函数?小波函数的重要价值在于:它通过平移和伸缩可生成平方可积7再考察上述尺度函数与小波函数

,它们可以看作是由函数经过下列两种不同的运算生成的(见图5):对称

从图5上看,和具有不同的对称性,分别记为“0”和“1”对称.

再考察上述尺度函数与小波函数,它们可以看作是由函8第七章小波分析、分析工具及应用发展课件9我们再对所给小波函数反复施行所谓“0”和“1”两种对称运算,则可生成一系列小波函数,如图6所示.即

施行“0”对称运算→；施行“1”对称运算→施行“0”对称运算→；施行“1”对称运算→施行“0”对称运算→；施行“1”对称运算→………………

这些小波函数组成一个函数库,图7表示自下而上地描述了小波库的生成过程.

我们再对所给小波函数反复施行所谓“0”和“110第七章小波分析、分析工具及应用发展课件11第七章小波分析、分析工具及应用发展课件12Matlab中的小波分析工具箱

（Wavelet3.0)Matlab小波分析工具箱提供了一个可视化的小波分析工具，是一个很好的算法研究和工程设计，仿真和应用平台。特别适合于信号和图像分析，综合，去噪，压缩等领域的研究人员。Matlab中的小波分析工具箱

（Wavelet3.0)M13小波分析工具箱的七类函数：常用的小波基函数。连续小波变换及其应用。离散小波变换及其应用。小波包变换。信号和图像的多尺度分解。基于小波变换的信号去噪。基于小波变换的信号压缩。小波分析工具箱的七类函数：常用的小波基函数。14常用的小波基函数：参数表示小波基的名称morlMorlet小波mexh墨西哥草帽小波meyrMeyer小波haarHaar小波dbN紧支集正交小波symN近似对称的紧支集双正交小波coifNCoifmant小波biorNr.Nd双正交样条小波常用的小波基函数：参数表示小波基的名称morlMorle15怎样获取小波基的信息：在Matlab窗口键入“waveinfo(‘参数名’）>>waveinfo('meyr')

MEYRINFOInformationonMeyerwavelet.

MeyerWavelet

Generalcharacteristics:Infinitelyregularorthogonalwavelet.

FamilyMeyerShortnamemeyr

怎样获取小波基的信息：在Matlab窗口键入“waveinf16OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportnoDWTpossiblebutwithoutFWTCWTpossible

SupportwidthinfiniteEffectivesupport[-88]RegularityindefinitelyderivableSymmetryyes

Reference:I.Daubechies,Tenlecturesonwavelets,CBMS,SIAM,61,1994,117-119,137,152.Orthogonalyes17计算小波滤波器系数的函数：参数表示小波基的名称morlet计算Morlet小波滤波器系数mexihat计算墨西哥草帽小波滤波器系数meyer计算Meyer小波与尺度滤波器系数meyeraux计算Meyer小波辅助函数dbwavf计算紧支集双正交小波滤波器系数dbaux计算紧支集双正交小波尺度滤波器系数symwavf计算近似对称的紧支集双正交小波滤波器系数coifwavf计算Coifmant小波尺度滤波器系数biowavf计算双正交样条小波尺度滤波器参数计算小波滤波器系数的函数：参数表示小波基的名称morle18wname='bior2.2';[rf,rd]=biorwavf(wname)rf=0.25000.50000.2500rd=-0.12500.25000.75000.2500-0.1250wname='bior2.2';19用于验证算法的数据文件：文件名说明sumsin.mat三个正弦函数的叠加freqbrk.mat存在频率断点的组合正弦信号whitnois.mat均匀分布的白噪声warma.mat有色AR(3)噪声wstep.mat阶梯信号nearbrk.mat分段线性信号scddvbrk.mat具有二阶可微跳变的信号wnoislop.mat叠加了白噪声的斜坡信号…………用于验证算法的数据文件：文件名说明sumsin.mat三20第七章小波分析、分析工具及应用发展课件21时频域分析有关信号处理的文献中包含了相当多采用二维时频空间的术语来分析信号的工作。这一方法实际上在小波变换之前就有，但它现在纳入同一个现代框架。根据时频域分析，一个信号的每个瞬态分量映射到时间—频率平面上的位置对应于分量的主要频率和发生的时间。时频域分析22时频空间（a）信号（b）表示第七章小波分析、分析工具及应用发展课件23在图像分析中，这个空间是三维的，可以看作是一个图像叠层。一个局部化分量将主要出现在叠层中对应于此分量主要频率的层次。在图像分析中，这个空间是三维的，可以看作是一个图24变换一个变换中的每个系数都是通过输入函数和其中一个基函数之间的内积确定的。在某些意义上，这个值表示输入函数和那个特定基函数之间的相似程度。逆变换可以看作是通过以变换系数为幅度权重的基函数加权和，来重构原始信号或图像的。变换25变换类型傅立叶变换技术：傅立叶积分变换，傅立叶级数展开和离散傅立叶变换DFT。小波变换类型就像博立叶变换那样，在小波变换中也同样存在这三种可能性：连续小波变换(CWT)，小波级数展开和离散小波变换(DWT)。不过情况稍微复杂些，因为小波基函数可以是正交归一也可以不是正交归一的。变换类型26符号和定义

由小波变换来表示的一类函数是在实轴(即所有实数的集合——x轴)上平方可积的。这一类函数被表示为 。因此，概念就意味着

在小波分析中，通过对一个称为小波基的单个原型函数的伸缩和平移来产生一组基函数。符号和定义27连续小波变换（也称积分小波变换）所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零的条件：连续小波变换（也称积分小波变换）28即基本小波在频域也具有好的衰减性质。有些基本小波实际上在某个区间外是零，这是一类衰减最快的小波。一组小波基函数是通过尺度因子和位移因子由基本小波来产生：即基本小波在频域也具有好的衰减性质。有些基本小波实际上在某个29连续小波变换定义为：连续小波变换也称为积分小波变换。连续小波逆变换为：连续小波变换定义为：30连续小波变换：格式：

coefs=cwt(s,scales,’wname’)coefs=cwt(s,scales,’wname’,’plot’)说明：

s:输入信号

scales:需要计算的尺度范围wname:所用的小波基

plot:用图像方式显示小波系数连续小波变换：格式：31一维连续小波变换函数pat2cwav由模式构造小波cwt一维连续小波变换函数一维连续小波变换函数pat2cwav由模式构造小波cwt一维32例子：c=cwt(s,1:32,'meyr')c=cwt(s,[643216:-2:2],'morl')c=cwt(s,[31812.971.5],'db2')例子：c=cwt(s,1:32,'mey33二维连续小波定义为：二维连续小波变换是：二维连续小波逆变换为：二维连续小波定义为：34滤波器族解释

这里将小波变换与一族带通线性（卷积）滤波器相联系，作为小波变换的一种解释。首先定义尺度a上的一般小波基函数为

这是用a做尺度因子，并用a-1/2将模规范了的基本小波。若记其翻转和共轭为滤波器族解释35现在可以将连续小波变换写为：a的每个值定义了一个不同的带通滤波器，而所有的滤波器的输出加在一起组成了小波变换现在可以将连续小波变换写为：36而且每个滤波器的输出分量再次滤波并适当伸缩后组合在一起可重构f(x)。而且每个滤波器的输出分量再次滤波并适当伸缩后组合在一起可重构37二维滤波器族

在二维情况下，每一滤波器都是一个二维冲激响应，输入是图像上的带通滤波器，滤波后的图像的叠层组成了小波变换。二维滤波器族38小波级数展开二进小波变换通常在数值计算中，采用离散化的尺度及位移因子，特别地当取二进伸缩（以2的因子伸缩）和二进位移（每次移动k/2j）时，就形成二进小波。小波级数展开二进小波变换39正交小波定义为满足下列条件的小波：

上式是小波级数展开公式。正交小波定义为满足下列条件的小波：上式是小波级数展开公式。40当进一步把f(x)和基本小波限制为在[0，1]区间外为零的函数时，上述正交小波函数族就成为紧支二进小波函数族，它可以用单一的索引n来确定：当进一步把f(x)和基本小波限制为在[0，1]区间外为零的函41离散小波变换（DWT）

离散化方式 在数值计算中，需要对小波变换的尺度因子、位移因子进行离散化，一般采用如下的离散化方式：离散小波变换（DWT）离散化方式42第七章小波分析、分析工具及应用发展课件43多分辨率分析小波分析之前的许多技术发展都来自于一个通常称为多分辨分析的领域。这些技术发展是企图克服傅立叶变换的局限性。对这一方法进行总结作为导出现代小波分析的基础。基本小波通过伸缩构成一组基函数，在大尺度上，膨胀的基函数搜索大的特征；而在较小的尺度上，它们则寻找细节信息。多分辨率分析44基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波空间。在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数f(t)。基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj表示，其中Vj，45离散小波变换的设计

根据子带编码重构公式，在频率域上有：

离散小波变换的设计46可见，设计一个离散小波变换的任务就是精心挑选低通滤波器。符合这一条件的离散低通滤波器脉冲响应h0(k)为尺度向量，由它产生一个有关的函数称为尺度函数。尺度向量和尺度函数彼此互相确定。例如，由尺度向量h0(k)到尺度函数的定义如下可见，设计一个离散小波变换的任务就是精心挑选低通滤波器。符合47即它可以通过自身半尺度复制后的加权和来构造。另外它也能用带尺度的矩形脉冲函数卷积h0(k)，利用数值计算方法得到：即它可以通过自身半尺度复制后的加权和来构造。另外它也能用带尺48带尺度的矩形脉冲函数带尺度的矩形脉冲函数49相反，由尺度函数开始，在它满足单位平移下正交归一条件时，尺度向量的计算方法如下：相反，由尺度函数开始，在它满足单位平移下正交归一条件时，尺度50二维离散小波变换

为了将一维离散小波变换推广到二维，只考虑尺度函数是可分离的情况，即二维离散小波变换51正变换

从一幅NxN的图像f1(x,y)开始，其中上标指示尺度并且N是2的幂。对于j=0,尺度2j=20=1，也就是原图像的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率减半。正变换52在变换的每一层次，图像都被分解为四个四分之一大小的图像，它们都是由原图与一个小波基图像的内积后，再经过在行和列方向进行2倍的间隔抽样而生成的。对于第一个层次(j=1)，可写成

后续的层次(j>1)，依次类推，形成如图所示的形式。在变换的每一层次，图像都被分解为四个四分之一大小的图像，它们53二维离散小彼变换(a)原图像(b)第一层(c)第二层(d)第三层二维离散小彼变换54若将内积改写成卷积形式则有：

在第一层，首先用h0(-x)和h1(-x)分别与图像f1(x,y)的每行作卷积并丢弃奇数列（以最左列为第0列）。接着这个NxN/2阵列的每列再和h0(-x)和h1(-x)相卷积，丢弃奇数行（以最上行为第0行）。结果就是该层变换所要求的四个(N/2)x(N/2)的数组。若将内积改写成卷积形式则有：55如下图所示：DWT图像分解步骤如下图所示：DWT图像分解步骤56逆变换

逆变换与上述过程相似。在每一层，通过在每一列的左边插入一列零来增频采样前一层的四个阵列；接着用h0(x)和h1(x)来卷积各行，再成对地把这几个N/2xN的阵列加起来；然后通过在每行上面插入一行零来将刚才所得的两个阵列的增频采样为NxN；再用h0(x)和h1(x)与这两个阵列的每列卷积。这两个阵列的和就是这一层重建的结果。逆变换57DWT图像重建步骤DWT图像重建步骤58双正交小波变换

满足紧支集正交归一小波条件的函数缺乏对称性，使用两个不同的小波基，一个用来分解（分析），另一个用来重建（合成），构成彼此对称的双正交的小波基：

双正交小波变换59一维双正交小波变换通过四个离散滤波器实现，需要选择两个低通滤波器即尺度向量，使它们的传递函数满足一维双正交小波变换通过四个离散滤波器实现，需要选择两个低通滤60双正交小波变换的一个分解步骤和一个重建步骤如下图所示。

双正交小波变换的一个分解步骤和一个重建步骤如下图所示。61双正交小波为：二维双正交小波变换由对应的小波基确定：双正交小波为：62一维离散小波变换函数分解函数dwt单尺度一维离散小波变换wavedec多尺度一维小波分解（一维多分辨率分析函数）wmaxlec允许的最大尺度值分解合成重构函数idwt单尺度一维离散小波逆变换waverec多尺度一维小波重构wrcoef对一维小波系数进行单支重构upcoef一维系数的直接小波重构分解结构工具detcoef提取一维小波变换高频系数appcoef提取一维小波变换低频系数upwlev单尺度一维小波分解的重构一维离散小波变换函数分解函数dwt单尺度一维离散小波变换wa63一维离散小波变换：dwt[cA,cD]=dwt(X,’wname’)[cA,cD]=dwt(X,H,G)

其中：cA：低频分量，cD：高频分量

X：输入信号。

wname：小波基名称

H：低通滤波器

G：高通滤波器一维离散小波变换：dwt64多层小波分解：[A,L]=wavedec(X,N，’wname’)[A,L]=wavedec(X,N,H,G)

其中：A：各层分量，L：各层分量长度

N：分解层数X：输入信号。

wname：小波基名称

H：低通滤波器

G：高通滤波器多层小波分解：[A,L]=wavedec65二维离散小波变换：分解函数dwt2单尺度二维离散小波变换wavedec2多尺度二维小波分解（一维多分辨率分析函数）wmaxlec允许的最大尺度值分解合成重构函数idwt2单尺度二维离散小波逆变换waverec2多尺度二维小波重构wrcoef2对二维小波系数进行单支重构upcoef2二维系数的直接小波重构分解结构工具detcoef2提取二维小波变换高频系数appcoef2提取二维小波变换低频系数upwlev2单尺度二维小波分解的重构二维离散小波变换：分解函数dwt2单尺度二维离散小波变换wa66二维离散小波变换：dwt2[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’)[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,H,G)

其中：cA：低频分量，cH：水平高频分量cV：垂直高频分量cD：对角高频分量

X：输入信号。

wname：小波基名称

H：低通滤波器

G：高通滤波器二维离散小波变换：dwt267二维信号的多层小波分解：[A,L]=wavedec2(X,N，’wname’)[A,L]=wavedec2(X,N,H,G)

其中：A：各层分量，L：各层分量长度

N：分解层数X：输入信号。

wname：小波基名称

H：低通滤波器

G：高通滤波器二维信号的多层小波分解：[A,L]=wa68小波的选取理想的基本小波是一个过程很短的振荡函数(即具有紧支集或者在一个短区间以外只有很小的幅度)，而且此函数所有的二进平移和伸缩都是正交归一的。Haar函数就说明了这一点。其他可以得到的小波函数也许就不能全部满足这些准则。小波的选取理想的基本小波是一个过程很短的振荡函数(即具有紧支69小波包分解：小波包分解：70树操作

allnodes列出数结构的所有节点。

isnode判断指定位置是否存在节点。

istnode判断一个节点是否为终端节点。

nodejoin树的剪枝。……树操作allnodes列出数结构的所有节点。71分解函数wpcoef小波包系数Wpdec和wpdec2小波包分解wpsplt分解包合成重构函数wprcoef重构系数wprec和wprec2小波包信号重构wpjoin小波包分解树的节点合并分解结构工具besttree寻找最优分解树bestlevt寻找最优满树entrupd更新小波包熵get得到WPTREE对象的内容read读取WPTREE对象的值wentropy计算熵值wp2wtree由小波包树提取小波树wpcutree截除小波包树分解函数wpcoef小波包系数Wpdec和wpdec2小波包72信号去噪与压缩：在小波变换域上进行阀值处理。多层小波分解阀值操作多层小波重构信号去噪与压缩：在小波变换域上进行阀值处理。多层小波分解阀值73其他的免费软件工具：WavelabDavidDonoho在斯坦福大学开发的Matlab程序库，最新版本为Wavelab0.802，有1200多个文件。LastWave

小波信号和图像处理软件，用C语言编写，可在Unix和Macintosh上运行。其他的免费软件工具：Wavelab74值得关注的几个发展方向：提升小波变换（Liftingschemewavelettransform)多小波变换（Multiwavelettransform)线调频小波变换(chirplettransform)。值得关注的几个发展方向：提升小波变换（Liftingsch75提升小波变换（Liftingschemewavelettransform)传统的第一代小波变换是在欧氏空间内通过基底的平移和伸缩构造小波基的，不适合非欧氏空间的应用，因此小波提升方案应运而生，它是构造第二代小波变换的理想方法。提升小波在1996年由Sweldens提出后，在信号处理领域得到了广泛的应用。在静态图像处理中，提升小波已被选做JPEG2000的变换核。在视频领域，使用提升小波方法自适应地对任意形状的物体进行编码，显著地提高了编码效率。提升小波变换（Liftingschemewavelet76提升算法相对于Mallat算法而言，被誉为第2代小波变换。使我们能用一种简单的方法去解释小波的基本理论，而第一代小波变换都可以找到等效的提升方案。提升方案把第一代小波变换过程分为以下三个阶段：分解（Split）、预测（Predict）和更新（Update）。提升算法的分解和重构如图。提升算法相对于Mallat算法而言，被誉为第2代小波变换。使77第七章小波分析、分析工具及应用发展课件78算法实现方法（1）分解。将输入信号分为2个较小的子集和，也称为小波子集。最简单的分解方法是将输入信号根据奇偶性分为2组。（2）预测。在基于原始数据相关性的基础上，用偶数序列的预测值去预测（或内插）奇数序列，即将滤波器P对偶数信号作用以后作为奇信号的预测值，奇信号的实际值与预测值相减得到残差信号。算法实现方法（1）分解。将输入信号分为2个较小的子集79算法实现方法（3）更新。为了使原信号集的某些全局特性在其子集中继续保持，必须进行更新。更新的思想使要找到一个更好的子集，使得它保持原图的某一标量特性（例如均值、消失矩等不变），即有。可以利用已知计算的小波子集对进行更新，使得后者保持特性，即要构造一个算子U去更新。定义如下：算法实现方法（3）更新。为了使原信号集的某些全局特性在其子集80多小波变换：在图像处理和信号分析的实际应用中，我们需要小波具有正交性和对称性。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在正交性与对称性之间进行折衷。多小波变换：在图像处理和信号分析的实际应用中，我们需要小波具81Goodman等提出多小波的概念，其基本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。1994年，Geronimo,Hardin和Massopus构造了著名的GHM多小波。它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起。与此同时，在信号处理领域，人们将传统的滤波器组推广至矢值滤波器组、块滤波器组，初步形成了矢值滤波器组的理论体系，并建立了它和多小波变换的关系。Goodman等提出多小波的概念，其基本思想是将单小波中由单82多小波的多分辨分析多小波的多分辨分析83双尺度方程：双尺度方程：84多小波在理论上所表现出来的优势以及它在应用领域所具有的潜力，使其受到高度重视。在它诞生的短短几年时间内，从理论方面，多小波的构造、多小波变换实现中，预滤波器的设计及信号的边界处理正迅速成为新的研究热点，而对它在图像处理方面的应用，人们正进行积极探索，并在静止图像编码、图像去噪两方面取得了一定的成果。多小波在理论上所表现出来的优势以及它在应用领域所具有的潜力，85多小波变换还需要解决的问题：多小波变换是和矢值滤波器组对应的。因此，需要对“好的”矢值滤波器组和多小波给出合理的解释并提出更好的多小波及多滤波器组设计准则。不平衡多小波的实现中，预滤波器的设计是一个关键。针对不同多小波的特性，采取怎样的预滤波器设计方案及怎样评价这些设计方案是需要继续深入研究的课题。在多小波变换域，目前，矢值信号的边界处理仅从数量上不增加和完全重建两个方面来考虑。在此基础上，可进一步研究如何更好地保持边界的连续性及适合于人的视觉特性。在静止图像压缩方面，将多小波变换和矢量量化结合起来，是今后值得探讨的一个方向。同时，多小波在活动图像编码中的应用，还有待研究。研究双正交多小波的构造和应用也是富有意义的工作。多小波变换还需要解决的问题：多小波变换是和矢值滤波器组对应的86线调频小波变换：寻求Fourier变换，加窗Fourier变换和小波变换的统一。寻求对信号的时间－频率－尺度的完美表达。线调频小波变换：寻求Fourier变换，加窗Fourier变87仿射时频变换的合成算子：仿射时频变换的合成算子：88变换的统一表述：变换的统一表述：89第七章小波分析、分析工具及应用发展课件90应用图像压缩离散小波变换把图像分解为一组越来越小的正交归一图像。除此之外，虽然原始图像的灰度值直方图可以是任何形状，但它们的小波变换图像却通常都是单峰并且对称于零。这就简化了图像统计特性的分析。应用图像压缩91图像增强

DWT将一幅图像分解为大小、位置和方向都不同的分量。与博立叶领域里的线性滤波一样，可以在做逆变换之前改变小波变换域中某些系数的幅度。这样就能够有选择地提升所感兴趣的分量而牺牲不需要的东西。图像增强92图像融合图像融合将同一对象的两个或更多的图像合成到一幅图像中，以便它比任何原来的一幅都能更容易地为人们所理解。这一技术可应用于多频谱图像理解以及医学图像处理等领域中，在这些场合，同一物体部件的图像往往是使用不同的成像机理采集得到的。图像融合93图像融合技术配准融合：ct和核磁共振的图像相融合。图像融合技术配准融合：ct和核磁共振的图像相融合。94演讲完毕，谢谢观看！演讲完毕，谢谢观看！95第七章小波分析、分析工具及应用发展第七章小波分析、分析工具及应用发展96复习回顾小波分析来源小波分析来源于信号分析的需求.设一个有限分辨率的连续信号,将其近似地表示为下列阶梯函数(图1)

为简化叙述,取整数点（n）为样点,式中为样本值,而其基函数

并又将其称为“尺度函数”，如图2所示.

复习回顾小波分析来源97第七章小波分析、分析工具及应用发展课件98我们将采样间隔加倍,则其样点数减半,这时信号表示为显然,这里自然取,参见(图3).我们称上述算法为二分法.再分析二分前后两个信号的偏差(图3)

我们将采样间隔加倍,则其样点数减半,这时信号表示为99第七章小波分析、分析工具及应用发展课件100它具有形式,这里

而其基函数如(图4)所示:它就是一种“小波函数”。顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性,譬如是局部非零的;而称之为“波”则是指它的波动性,即其振幅呈正负相间的震荡形式.又如也具有这种特性

。它具有形式101小波函数的重要价值在于:它通过平移和伸缩可生成平方可积函数空间中一组正交基:,从而可将信号进行分解:为进行信号分析,提供的一组正交基是至关重要的.我们尤感兴趣的是,为了适应实际需要,利用所给的小波函数能否派生出更多、更适用的小波函数?小波函数的重要价值在于:它通过平移和伸缩可生成平方可积102再考察上述尺度函数与小波函数

,它们可以看作是由函数经过下列两种不同的运算生成的(见图5):对称

从图5上看,和具有不同的对称性,分别记为“0”和“1”对称.

再考察上述尺度函数与小波函数,它们可以看作是由函103第七章小波分析、分析工具及应用发展课件104我们再对所给小波函数反复施行所谓“0”和“1”两种对称运算,则可生成一系列小波函数,如图6所示.即

施行“0”对称运算→；施行“1”对称运算→施行“0”对称运算→；施行“1”对称运算→施行“0”对称运算→；施行“1”对称运算→………………

这些小波函数组成一个函数库,图7表示自下而上地描述了小波库的生成过程.

我们再对所给小波函数反复施行所谓“0”和“1105第七章小波分析、分析工具及应用发展课件106第七章小波分析、分析工具及应用发展课件107Matlab中的小波分析工具箱

（Wavelet3.0)Matlab小波分析工具箱提供了一个可视化的小波分析工具，是一个很好的算法研究和工程设计，仿真和应用平台。特别适合于信号和图像分析，综合，去噪，压缩等领域的研究人员。Matlab中的小波分析工具箱

（Wavelet3.0)M108小波分析工具箱的七类函数：常用的小波基函数。连续小波变换及其应用。离散小波变换及其应用。小波包变换。信号和图像的多尺度分解。基于小波变换的信号去噪。基于小波变换的信号压缩。小波分析工具箱的七类函数：常用的小波基函数。109常用的小波基函数：参数表示小波基的名称morlMorlet小波mexh墨西哥草帽小波meyrMeyer小波haarHaar小波dbN紧支集正交小波symN近似对称的紧支集双正交小波coifNCoifmant小波biorNr.Nd双正交样条小波常用的小波基函数：参数表示小波基的名称morlMorle110怎样获取小波基的信息：在Matlab窗口键入“waveinfo(‘参数名’）>>waveinfo('meyr')

MEYRINFOInformationonMeyerwavelet.

MeyerWavelet

Generalcharacteristics:Infinitelyregularorthogonalwavelet.

FamilyMeyerShortnamemeyr

怎样获取小波基的信息：在Matlab窗口键入“waveinf111OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportnoDWTpossiblebutwithoutFWTCWTpossible

SupportwidthinfiniteEffectivesupport[-88]RegularityindefinitelyderivableSymmetryyes

Reference:I.Daubechies,Tenlecturesonwavelets,CBMS,SIAM,61,1994,117-119,137,152.Orthogonalyes112计算小波滤波器系数的函数：参数表示小波基的名称morlet计算Morlet小波滤波器系数mexihat计算墨西哥草帽小波滤波器系数meyer计算Meyer小波与尺度滤波器系数meyeraux计算Meyer小波辅助函数dbwavf计算紧支集双正交小波滤波器系数dbaux计算紧支集双正交小波尺度滤波器系数symwavf计算近似对称的紧支集双正交小波滤波器系数coifwavf计算Coifmant小波尺度滤波器系数biowavf计算双正交样条小波尺度滤波器参数计算小波滤波器系数的函数：参数表示小波基的名称morle113wname='bior2.2';[rf,rd]=biorwavf(wname)rf=0.25000.50000.2500rd=-0.12500.25000.75000.2500-0.1250wname='bior2.2';114用于验证算法的数据文件：文件名说明sumsin.mat三个正弦函数的叠加freqbrk.mat存在频率断点的组合正弦信号whitnois.mat均匀分布的白噪声warma.mat有色AR(3)噪声wstep.mat阶梯信号nearbrk.mat分段线性信号scddvbrk.mat具有二阶可微跳变的信号wnoislop.mat叠加了白噪声的斜坡信号…………用于验证算法的数据文件：文件名说明sumsin.mat三115第七章小波分析、分析工具及应用发展课件116时频域分析有关信号处理的文献中包含了相当多采用二维时频空间的术语来分析信号的工作。这一方法实际上在小波变换之前就有，但它现在纳入同一个现代框架。根据时频域分析，一个信号的每个瞬态分量映射到时间—频率平面上的位置对应于分量的主要频率和发生的时间。时频域分析117时频空间（a）信号（b）表示第七章小波分析、分析工具及应用发展课件118在图像分析中，这个空间是三维的，可以看作是一个图像叠层。一个局部化分量将主要出现在叠层中对应于此分量主要频率的层次。在图像分析中，这个空间是三维的，可以看作是一个图119变换一个变换中的每个系数都是通过输入函数和其中一个基函数之间的内积确定的。在某些意义上，这个值表示输入函数和那个特定基函数之间的相似程度。逆变换可以看作是通过以变换系数为幅度权重的基函数加权和，来重构原始信号或图像的。变换120变换类型傅立叶变换技术：傅立叶积分变换，傅立叶级数展开和离散傅立叶变换DFT。小波变换类型就像博立叶变换那样，在小波变换中也同样存在这三种可能性：连续小波变换(CWT)，小波级数展开和离散小波变换(DWT)。不过情况稍微复杂些，因为小波基函数可以是正交归一也可以不是正交归一的。变换类型121符号和定义

由小波变换来表示的一类函数是在实轴(即所有实数的集合——x轴)上平方可积的。这一类函数被表示为 。因此，概念就意味着

在小波分析中，通过对一个称为小波基的单个原型函数的伸缩和平移来产生一组基函数。符号和定义122连续小波变换（也称积分小波变换）所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零的条件：连续小波变换（也称积分小波变换）123即基本小波在频域也具有好的衰减性质。有些基本小波实际上在某个区间外是零，这是一类衰减最快的小波。一组小波基函数是通过尺度因子和位移因子由基本小波来产生：即基本小波在频域也具有好的衰减性质。有些基本小波实际上在某个124连续小波变换定义为：连续小波变换也称为积分小波变换。连续小波逆变换为：连续小波变换定义为：125连续小波变换：格式：

coefs=cwt(s,scales,’wname’)coefs=cwt(s,scales,’wname’,’plot’)说明：

s:输入信号

scales:需要计算的尺度范围wname:所用的小波基

plot:用图像方式显示小波系数连续小波变换：格式：126一维连续小波变换函数pat2cwav由模式构造小波cwt一维连续小波变换函数一维连续小波变换函数pat2cwav由模式构造小波cwt一维127例子：c=cwt(s,1:32,'meyr')c=cwt(s,[643216:-2:2],'morl')c=cwt(s,[31812.971.5],'db2')例子：c=cwt(s,1:32,'mey128二维连续小波定义为：二维连续小波变换是：二维连续小波逆变换为：二维连续小波定义为：129滤波器族解释

这里将小波变换与一族带通线性（卷积）滤波器相联系，作为小波变换的一种解释。首先定义尺度a上的一般小波基函数为

这是用a做尺度因子，并用a-1/2将模规范了的基本小波。若记其翻转和共轭为滤波器族解释130现在可以将连续小波变换写为：a的每个值定义了一个不同的带通滤波器，而所有的滤波器的输出加在一起组成了小波变换现在可以将连续小波变换写为：131而且每个滤波器的输出分量再次滤波并适当伸缩后组合在一起可重构f(x)。而且每个滤波器的输出分量再次滤波并适当伸缩后组合在一起可重构132二维滤波器族

在二维情况下，每一滤波器都是一个二维冲激响应，输入是图像上的带通滤波器，滤波后的图像的叠层组成了小波变换。二维滤波器族133小波级数展开二进小波变换通常在数值计算中，采用离散化的尺度及位移因子，特别地当取二进伸缩（以2的因子伸缩）和二进位移（每次移动k/2j）时，就形成二进小波。小波级数展开二进小波变换134正交小波定义为满足下列条件的小波：

上式是小波级数展开公式。正交小波定义为满足下列条件的小波：上式是小波级数展开公式。135当进一步把f(x)和基本小波限制为在[0，1]区间外为零的函数时，上述正交小波函数族就成为紧支二进小波函数族，它可以用单一的索引n来确定：当进一步把f(x)和基本小波限制为在[0，1]区间外为零的函136离散小波变换（DWT）

离散化方式 在数值计算中，需要对小波变换的尺度因子、位移因子进行离散化，一般采用如下的离散化方式：离散小波变换（DWT）离散化方式137第七章小波分析、分析工具及应用发展课件138多分辨率分析小波分析之前的许多技术发展都来自于一个通常称为多分辨分析的领域。这些技术发展是企图克服傅立叶变换的局限性。对这一方法进行总结作为导出现代小波分析的基础。基本小波通过伸缩构成一组基函数，在大尺度上，膨胀的基函数搜索大的特征；而在较小的尺度上，它们则寻找细节信息。多分辨率分析139基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波空间。在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数f(t)。基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj表示，其中Vj，140离散小波变换的设计

根据子带编码重构公式，在频率域上有：

离散小波变换的设计141可见，设计一个离散小波变换的任务就是精心挑选低通滤波器。符合这一条件的离散低通滤波器脉冲响应h0(k)为尺度向量，由它产生一个有关的函数称为尺度函数。尺度向量和尺度函数彼此互相确定。例如，由尺度向量h0(k)到尺度函数的定义如下可见，设计一个离散小波变换的任务就是精心挑选低通滤波器。符合142即它可以通过自身半尺度复制后的加权和来构造。另外它也能用带尺度的矩形脉冲函数卷积h0(k)，利用数值计算方法得到：即它可以通过自身半尺度复制后的加权和来构造。另外它也能用带尺143带尺度的矩形脉冲函数带尺度的矩形脉冲函数144相反，由尺度函数开始，在它满足单位平移下正交归一条件时，尺度向量的计算方法如下：相反，由尺度函数开始，在它满足单位平移下正交归一条件时，尺度145二维离散小波变换

为了将一维离散小波变换推广到二维，只考虑尺度函数是可分离的情况，即二维离散小波变换146正变换

从一幅NxN的图像f1(x,y)开始，其中上标指示尺度并且N是2的幂。对于j=0,尺度2j=20=1，也就是原图像的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率减半。正变换147在变换的每一层次，图像都被分解为四个四分之一大小的图像，它们都是由原图与一个小波基图像的内积后，再经过在行和列方向进行2倍的间隔抽样而生成的。对于第一个层次(j=1)，可写成

后续的层次(j>1)，依次类推，形成如图所示的形式。在变换的每一层次，图像都被分解为四个四分之一大小的图像，它们148二维离散小彼变换(a)原图像(b)第一层(c)第二层(d)第三层二维离散小彼变换149若将内积改写成卷积形式则有：

在第一层，首先用h0(-x)和h1(-x)分别与图像f1(x,y)的每行作卷积并丢弃奇数列（以最左列为第0列）。接着这个NxN/2阵列的每列再和h0(-x)和h1(-x)相卷积，丢弃奇数行（以最上行为第0行）。结果就是该层变换所要求的四个(N/2)x(N/2)的数组。若将内积改写成卷积形式则有：150如下图所示：DWT图像分解步骤如下图所示：DWT图像分解步骤151逆变换

逆变换与上述过程相似。在每一层，通过在每一列的左边插入一列零来增频采样前一层的四个阵列；接着用h0(x)和h1(x)来卷积各行，再成对地把这几个N/2xN的阵列加起来；然后通过在每行上面插入一行零来将刚才所得的两个阵列的增频采样为NxN；再用h0(x)和h1(x)与这两个阵列的每列卷积。这两个阵列的和就是这一层重建的结果。逆变换152DWT图像重建步骤DWT图像重建步骤153双正交小波变换

满足紧支集正交归一小波条件的函数缺乏对称性，使用两个不同的小波基，一个用来分解（分析），另一个用来重建（合成），构成彼此对称的双正交的小波基：

双正交小波变换154一维双正交小波变换通过四个离散滤波器实现，需要选择两个低通滤波器即尺度向量，使它们的传递函数满足一维双正交小波变换通过四个离散滤波器实现，需要选择两个低通滤155双正交小波变换的一个分解步骤和一个重建步骤如下图所示。

双正交小波变换的一个分解步骤和一个重建步骤如下图所示。156双正交小波为：二维双正交小波变换由对应的小波基确定：双正交小波为：157一维离散小波变换函数分解函数dwt单尺度一维离散小波变换wavedec多尺度一维小波分解（一维多分辨率分析函数）wmaxlec允许的最大尺度值分解合成重构函数idwt单尺度一维离散小波逆变换waverec多尺度一维小波重构wrcoef对一维小波系数进行单支重构upcoef一维系数的直接小波重构分解结构工具detcoef提取一维小波变换高频系数appcoef提取一维小波变换低频系数upwlev单尺度一维小波分解的重构一维离散小波变换函数分解函数dwt单尺度一维离散小波变换wa158一维离散小波变换：dwt[cA,cD]=dwt(X,’wname’)[cA,cD]=dwt(X,H,G)

其中：cA：低频分量，cD：高频分量

X：输入信号。

wname：小波基名称

H：低通滤波器

G：高通滤波器一维离散小波变换：dwt159多层小波分解：[A,L]=wavedec(X,N，’wname’)[A,L]=wavedec(X,N,H,G)

其中：A：各层分量，L：各层分量长度

N：分解层数X：输入信号。

wname：小波基名称

H：低通滤波器

G：高通滤波器多层小波分解：[A,L]=wavedec160二维离散小波变换：分解函数dwt2单尺度二维离散小波变换wavedec2多尺度二维小波分解（一维多分辨率分析函数）wmaxlec允许的最大尺度值分解合成重构函数idwt2单尺度二维离散小波逆变换waverec2多尺度二维小波重构wrcoef2对二维小波系数进行单支重构upcoef2二维系数的直接小波重构分解结构工具detcoef2提取二维小波变换高频系数appcoef2提取二维小波变换低频系数upwlev2单尺度二维小波分解的重构二维离散小波变换：分解函数dwt2单尺度二维离散小波变换wa161二维离散小波变换：dwt2[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’)[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,H,G)

其中：cA：低频分量，cH：水平高频分量cV：垂直高频分量cD：对角高频分量

X：输入信号。

wname：小波基名称

H：低通滤波器

G：高通滤波器二维离散小波变换：dwt2162二维信号的多层小波分解：[A,L]=wavedec2(X,N，’wname’)[A,L]=wavedec2(X,N,H,G)

其中：A：各层分量，L：各层分量长度

N：分解层数X：输入信号。

wname：小波基名称

H：低通滤波器

G：高通滤波器二维信号的多层小波分解：[A,L]=wa163小波的选取理想的基本小波是一个过程很短的振荡函数(即具有紧支集或者在一个短区间以外只有很小的幅度)，而且此函数所有的二进平移和伸缩都是正交归一的。Haar函数就说明了这一点。其他可以得到的小波函数也许就不能全部满足这些准则。小波的选取理想的基本小波是一个过程很短的振荡函数(即具有紧支164小波包分解：小波包分解：165树操作

allnodes列出数结构的所有节点。

isnode判断指定位置是否存在节点。

istnode判断一个节点是否为终端节点。

nodejoin树的剪枝。……树操作allnodes列出数结构的所有节点。166分解函数wpcoef小波包系数Wpdec和wpdec2小波包分解wpsplt分解包合成重构函数wprcoef重构系数wprec和wprec2小波包信号重构wpjoin小波包分解树的节点合并分解结构工具besttree寻找最优分解树bestlevt寻找最优满树entrupd更新小波包熵get得到WPTREE对象的内容read读取WPTREE对象的值wentropy计算熵值wp2wtree由小波包树提取小波树wpcutree截除小波包树分解函数wpcoef小波包系数Wpdec和wpdec2小波包167信号去噪与压缩：在小波变换域上进行阀值处理。多层小波分解阀值操作多层小波重构信号去噪与压缩：在小波变换域上进行阀值处理。多层小波分解阀值168其他的免费软件工具：WavelabDavidDonoho在斯坦福大学开发的Matlab程序库，最新版本为Wavelab0.802，有1200多个文件。LastWave

小波信号和图像处理软件，用C语言编写，可在Unix和Macintosh上运行。其他的免费软件工具：Wavelab169值得关注的几个发展方向：提升小波变换（Liftingschemewavelettransform)多小波变换（Multiwavelettransform)线调频小波变换(chirplettransform)。值得关注的几个发展方向：提升小波变换（Liftingsch170提升小波变换（Liftingschemewavelettransform)传统的第一代小波变