同济大学高数(上)03-10期末试卷答案

2003级高等数学（A）（上）期末试卷答案二、（二、（每题3分，共18分）1./；2.二、（每题3分，共18分）1./；2.一、单项选择题（每题4分，共16分）1.C2,B3.D4.C-—2sinx./.r・/2二、（每题3分，共18分）1./；2.(―2,0)U(2,+s),(―(―2,0)U(2,+s),(―8,—2)UQ2)；(2,2/2)；6.Cj+CQ+Qx)^三、三、（每题6分，共36分）1.xarctanx

Jl+JH—三、（每题6分，共36分）1.xarctanx

Jl+JH—I+C;V1+X22.-±tan3x-cos4x12-tanx+C；413.—4..-2；6.解为V=12（皿|%|十。）。四、七、所求特解y=2-—2/x+(/+2x)e1五、y=-.六、m=—p.233四、七、由/⑴=/⑼+广⑼丹:广⑺/二广①八+:/⑺/⑴在0与x之间）知『/%）公=『/八0）%+；/"（〃）/磔二匚/〃（77）%2k又因了〃eC,所以尸在[一上存在最大值M和最小值机，于是"请《W（X£[-Q,a|）,所以[Ywcdx<ff\r/)x2cbc<fMjcdx^>—a3m<[f\r/)x2dx<—a^M,由推广的积J-aJ-aJ-a3J-a3r\3分中值定理知，区£[-使得[)(机2公=§〃3/〃©，即匚/(幻公=；/〃0.Note：还有别的解法。如“变动的观点”,构造函数尸（幻=「/⑺力,原问题等价于证:J-a至使/（〃）=■片修）.A;2.B3.D;4.C.cosx-smx+x——cosx

22004级高等数学（A）（上）期末试卷答案—.（每题4分，共A;2.B3.D;4.C.cosx-smx+x——cosx

2单项选择题（每题4分，共16分）1..（每题7分，共35分）TOC\o"1-5"\h\z.n1-2.（略）3.—4.-5.y622

.（8分）J=e正是旋转体的体积最小的点..（7分）提示：设2=入原不等式等价于in，〉型二D,Z>1,ci%+1即等价于/（0=a+l）lnr-2a-l）>0,t>\Q（用函数单调性证明）Note：还有别的构造函数的方法，也有其它解法.（7分）提示：把所给方程转化为微分方程，求解得广（工）=生:；l+x再用函数的单调性和定积分的性质即可。.（7分）提示：记/（x）=JJ,⑺由，再用Rolle定理。Note：也有其它解法2005级高等数学(A)(上)期末试卷答案1121f3V1+X2TOC\o"1-5"\h\z1.一；2.—x—1；3.；4.sinxH；5.cH—；6.0；7.Idx；32x(l+Iny)\-n3J,x8.-1,-2；9.非充分非必要。3.y4.ln(l+V2)qX13.y4.ln(l+V2)二.1.=xsinx.—arctan一+-ln(l+4e~2v)+C2二.1.=xsinx三.a=-,b=-o四.1,y=Ce-x2+x2ex2；2.y^fl+-xL2x-X(X+1)+l34I2J4五.（1）提示：设/（x）=xlnx-〃,用零点定理及函数的单调性；（2）提示：用夹逼定理。六.设左为正整数，k<x<k+l,—^—<—^—<—^—，三边积分得2Z+12x-l2k—11”+i11<[dr<，左边关于左=1,2,・・・/—1相加得：2k+l八212k—1i+i++「^^^二22<-1,右边关于左=1,2,・・・,〃相加得:352〃—1Ji2x-1"+L…+J352〃一1—5-dx="+L…+J352〃一1InJ2几+1<1H1F,,•H<1+Ind2n—1352/1-1Note：也可以用数学归纳法+中值定理去证2006级高等数学（A）（上）期末试卷答案1.—；2.y—3x—7；3.(—1,0)；4.e1.—；2.y—3x—7；3.(—1,0)；4.e-2；5.—；6.

29.y〃一4y'+3y=0。arccosVxj+C2.4万3.Ln22三.S=ln(l+0)一日四.2y2=Ccsc2x+—sinx

3一-尤y=smx+x——cosx2五./max=，(T)=-e2+ie-244—；7.Tie,；8・y=x+-；4e六.证」⑶=。，小）=八3）（一）+0（一）2,”（2,4）,由于/〃⑴在［2,4］六.连续，在［2,4］上存在最大值〃和最小值加，故—(x-3)2<^^(x-3)2<—(x-3)2,从而222]<J；/(x)dx=r⑶J；(x-3)dx+iJ；/”(〃)(％-3)2dx<y,即机<3j：/(x)ck<〃，由介值定理知至少存在一点J£[2,4],使得/C)=3j：/(x)dxNote：还有别的解法。参见03年的第七题。2007级高等数学（A）（上）期末试卷答案6.6.6.cosi-lnx^ldx；x)713.-1；4.x+y=e2©28.4a/2；二.10.—；116.cosi-lnx^ldx；x)713.-1；4.x+y=e2©28.4a/2；82三（1）月（X）不是/（x）在（—8,+8）内的一个原函数，因为/（0）=,。/（0—0）=0-e2+C,x>0F(x)在(-oo,+oo)内不连续.(2)j/(x)dx=<2-%2HFC,X<0[22

四.=l五.j=Cesinv-2(l+sinx)六.由条件知/〃(x)+/(x)=2e[解出/(x)=sinx—cosx+e\从而可求出「(四一9〕心=1±£：.Jo(l+X(1+X)2J1+7TNote5求积分时，可采取保持一个不动（比方翟不动），然后让另一个等价变形（朝着保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。七.(1)S(a)=S](a)+S2(a)S三旦是最小值.6七.(1)S(a)=S](a)+S2(a)S三旦是最小值.6°°3yp2+1(2)"二71八.提示：令〃=/，八.提示：令〃=/，那么/（%）=Jc°sx八.提示：令〃=/，那么/（%）=Jc°sx2cos(x+l)2、X2du<——+2\xx+\)1r(x+l)+4L22008级高等数学（A）（±）期末试卷答案8.oi]0旬；2.3；3.(2,-5)；八.提示：令〃=/，那么/（%）=Jc°sx2cos(x+l)2、X2du<——+2\xx+\)1r(x+l)+4L22008级高等数学（A）（±）期末试卷答案8.oi]0旬；2.3；3.(2,-5)；4.y=14.2,—x—；5.Ave33;6一e7.3—n49.」sinl2二.10.-:11.33a——,b=0,

2,1.12.sinx+(xcosx-l-sinx)lnx+C—In22y=——sinx——cosx+e22四.由题意得/匕7。)由=J/(0)/(%),x>0,£7(0dr=22-记/Q)=y,那么两端对x求导知y'+—y=/俨,解得/Q)=xx"(0)f(0)(i+cV7(o)x)22k4左21五.（1）设以（％，”），那么由题意得％=一,%==,1=7nrr2nJn21?一11?一!(*⑵1?一11?一!(*⑵lim—=21im—£1--〃一+8nfrfn"+00n-\k=\k=\k\e"k、2j1———=21(1—x)xdx=-nn2J。6六.设/(x)=m(l+x)—x+—F(或/(%)=ln(l+x)—x+1),由函数单调性可得2rV2-l<ln(l+V2)Note：也有别的解法，而且解法很多七.法1：Q七.法1：Q(四=『/(x)d(x—l)=(x—l),f(x)[j-]，2°(x-1),1(x)dx|x-l|dxmax|/'(x)|=maxf\x)法2:J。/(x)dx=J。/(x)dx+1/(x)dx对J；/(x)dx,"x)=/(o)+rc)x,再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。对J：/(x)ck,/(%)=/(2)+/(〃)(九-2),再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。r2法3:(函数的观点，将J。/(x)dx是某个函数在一些定点处的取值，比方令F(x)=£f(t)dt,将尸(%)分别在X。=1和A：。=2处一阶Taylor展开(带Lagrange余F"⑶项，即网不)=尸(/)+尸(％)(x—/)+_^(x—%)2,J介于x和/间)，然后在所得两式中都取x=l,再做相应的运算。Note：构造函数的方法也不是唯一的。2009级高等数学(A)(上)期末试卷答案6.6.6.三.1.R\Z9(1,+<力)；2.—12arcsinVx+C；7.e-1；-cotxlnsinx-cotx-x+C；6.三.1.R\Z9(1,+<力)；2.—12arcsinVx+C；7.e-1；-cotxlnsinx-cotx-x+C；8.11y=x——22xyff+2yf-xy=0；n3-12-113.2；9.71耳;14.0；n17~2y=W—：(%2+%)+g(l+%)e2x四./(x)=2%+3%2,v=2^jo^2x2+3d)dx=U%丫2五.五.五.设/(x)=彳—ln(l+J)_q,那么7max=/(°)=_〃>°，/向=/(±1)=」—ln2—〃<0,故常数〃的取值范围是：--ln2<a<0o

五.六.令F(x)=「/⑺由，那么(L不等式两边对％积分，得71+2F(x)-1<x,即/(%)<Jl+2J；/(。山=71+2F(x)<l+x七.(1)记尸(%)=「/⑺山+匚)⑺ck,用Lagrange中值定理(2)(2)由(1)得・(2)由(1)得・⑺⑺山—0—/(0)।/(—夕幻一/(0八Ox-Ox因此2/(0)lim0=limXfo+Xfo+⑺山+『7⑺山x2=lim10+2x」im2(2)由(1)得・⑺⑺山—0—/(0)।/(—夕幻一/(0八Ox-Ox因此2/(0)lim0=limXfo+Xfo+⑺山+『7⑺山x2=lim10+2x」im2d+/(x)-f(O)।/(-x)-/(0)^=((0).由于/'(0)w0,所以lim9xfo+2010级高等数学(A)(±)期末试卷答案-o填空题(此题共9小题，每题4分，总分值36分)e""；2.y=x+l；3・y—2x；4.6；5.——1)!；6.—1；7.-4〃；8._2；9.xy=\.3二.(此题共4小题，每题7分，总分值28分)10.解lim(sinx-sin(sin%))sinx1-COSX2….sinx-sin(sinx)二21ima。(sinx)"sin%=21im一o〃11.像「+81，Mi+J)a上〔x21+x2Jd(x2)=-In—21+xr0」ln2.'212.fer=lnx1]解J】sin(lnx)dx=JezsinMl=—ez(sint-cosZ)；)=—(e(sinl-cos1)+1).13.解1——Jsin2xcosxdx=-fcscxdtanx=-secx+2J2—[escxck2J1X11,〜、=—secx+—Intan——\-C(或=—secx+—Incscx-cotx+C).fxx-t=u00f(x-u)g(u)du,0f(x-u)g(u)du,三(14).(此题总分值7分)解］。/⑺g(xT)由二当OKxV一时，因故x-〃>0,于是0f(x-u)g(u)du,原式=Jo(x-w)sinudu=-xcosu(；+(〃cos〃一sin”)x•o=x-smx.jr

当X>作时,2TV原式=jj(x一u)sinudu+J乃(x-u)Odu=-xcosu2兀2+(〃cos〃-sin〃)o所以,⑺g(x7)d;<x-sin