线性代数习题四章

第四章组的线性相关性1．设v1(1,1, 0)T,v(0,21, 1)T,v(3,34,求v1v2及3v1第四章组的线性相关性1．设v1(1,1, 0)T,v(0,21, 1)T,v(3,34,求v1v2及3v12v2v3.解v1v2(1,0)T(0,1, (10,3v12v2v33(1,11,0, 1)T(3,1, 4, 0)T30210)T(31203, 31214,(0,1, 2)T2．设3(a1a2(a2a)5(a3a其中a1(2,5,1,3),T))T T3解 由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得a1(3a2a5a)1[3(2,5,1,3)T2(10,1,5,10)T5(4,1,1,1)T]123663．举例说明下列各命题是错误的:组a1,a2,,am是线性相关的,则a1可由a2,am,线性表示.(1)若(2)0的数12,m使1a1mam1b1mbm0成立,则a1,,am线性相关,b1,,bm亦线性相关.(3)若只有当12,m0时,等式1a1mam1b1mbm0才能成立,则a1,,am线性无关,b1,,bm亦线性无关.(4)若a1,am线性相关,b1,bm亦线性相关,0的数,12,m使1a1mam01b1mbm0同时成立.(1)设a1e1(1,0,0,,0)解a2a3am0满足a1,a2,,am线性相关,但a1不能由a2,,am,线性表示.的数12,m使mam1b1mbm0(2)有不1a1原式可化为11(a1b1)m(ambm)e1b1,a2e2取a1其中e1em为,则上式成立,而a1,amb1,bm1(a1b1)m(ambm)e1b1,a2e2取a1其中e1em为,则上式成立,而a1,amb1,bm均线性相关(3)由1a1mam1b1(仅当1m0)a1b1,a2b2,,am取a1a2am0bm线性无关取b1bm为线性无关组满足以上条件,但不能说是a1,a2,,am线性无关的.(4)a(1,0)T a(2,0)T b(0,3)T b(0,4)T12121a12a20122 0与题设.2bb031211 22144．设b1a1a2,b2a2b1b2b3b4线性相关.,证明组,, 证明设有x1b1x2b2x3b3x4b40则2)x2(a21((x1x4)a1(x1(1)若a1,a2,a3,a4线性相关,则k1x1x4;k2x1x2;k3x2的数k1k2k3k4,不x3;k4x3x4;由k1k2k3k4不,知,, ,即b1b2b3b4线性相关.x1xx4011x1011000111 0 xx0(2)若a,a,a,a线性无关,则212x00x1 2 3 4x0323x40x31x4010110001110011由0知此齐次方程非零解00则b1b2b3b4线性相关.综合得证.25．设b1a1b2a1a2,a1a2,ar线性无关,证明,且组b1b2br线性无关.组证明设k1b1k2b2krbr0则(k1kr)a1(kkrar0组a1,a25．设b1a1b2a1a2,a1a2,ar线性无关,证明,且组b1b2br线性无关.组证明设k1b1k2b2krbr0则(k1kr)a1(kkrar0组a1,a2,ar线性无关,故因k1k2kr01101k1001 k 0kk 022r 0 1kr 001kr0110因为110故方程组只有零解01则k1k2kr0所以b1b2,br线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列组的一个最大无关组:5117412130251411.0201;(1)(2)23254811322025435117431172333r3r0002 1解(1)~r53r25531r48r4323110020172101125433rr4 3~0003rr0一个最大无关组.3 21、2、3列3121302514111220211225521r12r020103 1~(2)2031rr11024 11120021202520101rr，3 2~02rr03401、2、3列一个最大无关组．7．求下列组的秩,并求一个最大无关组:2 19 100,a 121302514111220211225521r12r020103 1~(2)2031rr11024 11120021202520101rr，3 2~02rr03401、2、3列一个最大无关组．7．求下列组的秩,并求一个最大无关组:2 19 100,a 4;2,a(1) a110 1232 844 (1,2,1,3),aT(4,1,5,6),aT(1,3,4,7).aT(2)12a1,a3线性相关.32a1a3解(1)aT110211901121004428204 1~a32T由9402 280Ta0 32,一组最大线性无关组为a1a2.aT12951953 1~18aT(2)02 010Ta1 32901903~018002,最大线性无关组为aTaT.1 2a1a2an是一组n维,已知n维e1,e2,,en能坐标由它们线性表示,证明a1a2,an线性无关.证明n维e1e2,en线性无关4不妨设:e1k11a1k12a2k1nane2k21a1k22a2k2nanenkn1a1kn2a2knnaneTak11k12k22kkT 1n11T2eTk21a2不妨设:e1k11a1k12a2k1nane2k21a1k22a2k2nanenkn1a1kn2a2knnaneTak11k12k22kkT 1n11T2eTk21a22n所以 k TTkkean1nnnnn2两边取行列式，得eTk11k21kn1k12k22kn2k1nk2nknnaTeTaT1111eTaTeTaT002222由eTaTeTaTnnnn即n维组a1a2,an所矩阵的秩为n故a1a2an线性无关.9．设a1a2an是一组n维,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维都可由它们线性表示.设12,n为一组n维，对于任意n维证明a(k1k2,kn)则有akkk即任一n维T11 22 nn都可由线性表示.必要性a1a2,an线性无关，且a1a2,an能由线性表示，即12k111k122k211k222k1nnk2nnnkn11kn22knnnTaTkkkkk1nT 111211aTk221222n2故 k TTkkan1nnnn2n两边取行列式，得5aTk11k21kn1k12k22kn2k1nk2nknnT1T21aT2aTTnnaTk11k21kn1k12k22k12k1nk2nknn1aTk22200由aTkn2nk11k1naTk11k21kn1k12k22kn2k1nk2nknnT1T21aT2aTTnnaTk11k21kn1k12k22k12k1nk2nknn1aTk22200由aTkn2nk11k1nk21k2n则Annknnkk n1n2aTaTTT 1111aT TaT T1 2由 A 22 2A TTTTaannn n即12,n都能由a1a2,an线性表示，因为任一n维能由单都可以由a1a2an线性表示.位线性表示，故任一n维充分性已知任一n维都可由a1a2an线性表示，则组：12,n可由a1a2,an8题知a1a2,an线性无关.10．设Aa1a2,as的秩为r1,组Bb1b2,bt的秩r2组C:a1a2,asb1b2,br的秩r3,证明r1r2证明设ABCABC,含有的个数(秩)分别为r1r2r2,ABCABC等价,AB均可由C线性表示,则秩C秩A),秩C秩B)，即max{r1r2r3AB中的D,ABD线性表共同示,即CD线性表示,从而CD线性表示，所以秩C秩(D),D为r1r2阶矩阵，所以秩Dr1r2即r311.证明RABRARB.r1r2.6证明:A(aa,a)TB(b,b,,b)T1 2n1 2n组的最大无关组分别为,,,T TTrAB行显然,, ,,TTTs1 212AB,使得aT bTTT 1111aT bTTT证明:A(aa,a)TB(b,b,,b)T1 2n1 2n组的最大无关组分别为,,,T TTrAB行显然,, ,,TTTs1 212AB,使得aT bTTT 1111aT bTTT AB2222, TTTTabn sn saTbTTT 1111aTbTTT A BAB2222 TbTTTan n s s因此RABRARB12．设组Bb1,br能由Aa1,as线性表示为(b1,,br)(a1,,as)K，K为srA组线性无关。证明B组线性无关的充分必要条K的秩R(K)r.证明若B组线性无关令B(b1br)A(a1as则有BAKR(B)RAK)minRAR(K)}R(K)由B组b1b2,brR(B)r，故R(K)r.又知K为rsR(K)min{rs}B:b1b2br能由A:a1a2as线性表示则由于rsmin{r,s}r综上所述知rRK)rR(K)r．R(k)rx1b1x2b2xrbr0,xi为实数i1,2,rx1 则有(b1b2,br)0x r7x1 又(b1,br)(a1,as)K,则(a1,as)K0x rx1 又(b1,br)(a1,as)K,则(a1,as)K0x rx1 由于aa,a线性无关,Kx20 1 2s x rk21x2kr1xr0k11x1kxk xk x0121 222r2r即k（1）xk xkx01r 1 2r 2rr rkxk xkx01s1 2s 2rs r由于R(K)r则(1)式等价于下列方程组:k21x2kr1xr0k11x1kxk xk x0121 222r2rk1rx1k2rx2krrxr0k11k21k22k2rkr1kr2krrk12由于0k1r0所以b1b2,br线性无关,所以方程组只有零解证毕.rV1{V2{问V1,V2是不是nR满足nR满足0}1}2,,2,,nn空间？为什么？证明 集合V成为空间只需满足条件：若VV，则V若VR，则VV1是空间，因为：8(1,2,,n) 0T1 2 n(1,2,,n) (1,2,,n) 0T1 2 n(1,2,,n) 0T1 2 n(, ,, )T11 22nn且(11(22(nn)(12n)(12n)0故V1R,(1,2,,n)12n(12n00故V1V2不是空间，因为：(11)(22)(nn)(12n(12n112故V2R,(1,2,,n)12n(12n)1故当1V2由),a(1,0,1),a(1,1,0)所生成的T T T2 3就R3.证明 设A(a1,a2,a3)空间01110111011010(1)11A120a1,a2,a301于是RA)3故线性无关.由于a1a2a3均为三维,3,的一组基,故由a1a2a3所生成的所以a1a2a3为此三R3.空间空间记作V,由121a(0,1,1,1)T所生成的空间记作V,试证122V1V2.证明 设Vxkakak,kR111 221 1,R21 1 2 21 1,可写成k1a1k2a2,任取V1中一要证k1a1k2a2V2,从而得V1V2由k1a1k2a21122得9k221k1k2kk1 2 11 1 2kk31 2 1 22k2312上式中,把k1,k2看成已知数,把k221k1k2kk1 2 11 1 2kk31 2 1 22k2312上式中,把k1,k2看成已知数,把1,2看成未知数2020有唯一解D11 21 1V1V2110)同理可证:VV (D21210故V1V2R3的一个基,并把16．12v1(5,0,7),v(9,8,13)用这个基线性表示.T T211021331260解由于a1a2a3即矩阵(a1a2a333故a1a2a3R的一个基.k1a1k2a2k3a3，则设v12k23k352k1k1kkk 0k 31 2 323k2k 7k1 233故v12a13a2a3设v21a12a23a3，则3393k122 8k 313232 13k2 233故线性表示为v23a13a22a317．求下列齐次线性方程组的基础解系:1082110232x021xxx(1)(2)5422x013213x0268312xn1321(3)nx1(n1)xn.11056x124x348解(1)3所以原方程组等价于4482110232x021xxx(1)(2)5422x013213x0268312xn1321(3)nx1(n1)xn.11056x124x348解(1)3所以原方程组等价于444x31,x43x14x20x30x44x10x2140 0 1,因此基础解系为 0121 3 4 32462(2)A387所以原方程组等价于219141911971913231,x42x10,x20x3x30x419x11x2701 因此基础解系为0,71012 2 19 (3)原方程组即为xnnx1(n1)x22xnxn10xnn取3取 ,1 0xn(n1)n12 ,1 21x0xn2010n1取n11000)所以基础解系为(,,,n11 201nxn10xnn取3取 ,1 0xn(n1)n12 ,1 21x0xn2010n1取n11000)所以基础解系为(,,,n11 201n225212318A,求一个42矩阵BAB0,且98R(B)2.101则由0BR(B)2,所以可设x解x12x3x4102523001201AB98 x0可得x021x3x40x121010230800 3x22,解此非齐次线性方程组可得唯一解0x2903 8x4511 012 1x11 x02 ，B111．2x3522 x 215 41 2221219．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为1(0,1,2,3),1(3,2,1,0).T T解显然原方程组的通解为x103 x2k1k19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为1(0,1,2,3),1(3,2,1,0).T T解显然原方程组的通解为x103 x2k1k2,(k,kR)x1221123 3 0x4即去k,k得1 232 0此即所求的齐次线性方程组.023齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1,2,3是它．且的三个解21 3，24312 3 5 4 求该方程组的通解． 解由于矩阵的秩为，且由于1,2,3均为方程组的解，方程组的基础解系含有一个由非齐次线性方程组解的结构性质得123)21(齐1332 xk43，(kR)为其基础解系54 6 5 32 xk43，(kR)为其基础解系54 6 5 21．设A,B都是n阶方阵，且AB0，证明R(A)R(B)n．证明 设A的秩为r1，B的秩为r2，则由AB0知，B的每一列都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解．当r1n时,该齐次线性方程组只有零解,故此时B0,当r1n时,该齐次方程组的基础解系中含有nr1个,从而B的列组的秩nr1,即r2nr1,此时r2nr1,结论成立。RAR(B)n．22．设nAA2AE为n阶R(A)R(AE)n(提示:1121的结论)矩阵,证明A(AE)A2AA证明21题所证可知RARAEn又RAE)R(EA)11题所证可知R(A)R(AE由此RARAE)n．23．求下列非齐次方程组的一个系：对应的齐次线性方程组的基础解x15,3x4x23(2)52x1,x2(1)343 453;4 2xx23 411130120222解(1)51481 13,110021262(2)5249 11281 13,110021262(2)5249 112 11 ,, 120702 0024．设是非齐次线性方程组Axb的一个解,,, 是对应的齐1 nr次线性方程组的一个基础解系,证明:(1),,, 线性无关；1 nr(2,,, 线性无关。1 nr证明(1)反证法,假设,,, 线性相关,则1 nrC0C1,Cnr使得下式成立:着不全为0CCC 0(1)nrnr011C00否则,1,,nr线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生。由于为特解，,, 为基础解系，故得1 nrA(CCC011而由(1)式可得A(CCC 011故b0，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得b0,假设不成立,故,,, 线性无关.1 nr产生(2)反证法,假使,,, 线性相关.1 nr的数C0,C1,,Cnr使得下式成立:则着不CC()（2）011即(C0C1Cnr)1C0C1Cnr0,由于1,,nr是线性无关的一组基础解152C0C1Cnr0,由(2)式得