大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

一、填空题（每小题

5

分）1．计算

dd

16/15，其中区域

由直线

与

dd

dd，解:令

,

，则

,

，dd

u

du（*）u令

，则

d

，

，)

)，2

．

设

(

)

是

连

续

函

数

，

且

满

足

,

则

(

)

____________.解:令

，则

(

)

，x

2

x

2

A

x

8

A

4

2A,

20解得

。因此

。 3

．

曲

面

平

行

平

面

的

切

平

面

方

程

是__________.解

:

因

平

面

的

法

向

量

为

，

而

曲

面

在

在

(

,

)

处

的

法

向

量

为

,

),

,

),，故

,

),

,

),与平 行 ， 因 此 ， 由

，

知

,

,

，即

，又(

,

)

在

(

,

,(

,

))

处

的

切

平

面

方

程

是

(

，即曲面

平行平面

的切平面方程是

。4．设函数

(

)由方程

确定，其中

具有二阶导数，且

，则d

________________.d解:方程

e

的两边对求导，得因e

，故

，即

，因此二、（5

分）求极限(

)e，其中n是给定的正整数. 解:因故因此三、（15

分）设函数

(

)连续，g

，且

，

为 常数，求g

(

)并讨论g

(

)在

处的连续性.解

:

由

和

函

数

(

)

连

续

知

，

因g

，故g

，

因此，当

时，g

uu，故 当

时，g

uu

，这表明g

(

)在

处连续.四、（15

分）已知平面区域

{(

,

)

,

}

，

L

为

的正

向边界，试证：

（1）

d

d

d

d；L L（2）

d

d

.L证:因被积函数的偏导数连续在

上连续，故由格林公式知 （1）

d

d

(

)

()d L 而

关于和

是对称的，即知因此（2）因故由知即

d

d

L五、（10

分）已知

，

，

e

e是某二 阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设

，

，

e

e是二阶常系数线 性非齐次微分方程

和

e都是二阶常系数线性齐次微 分方程的

解

，

因

此

的

特

征

多

项

式

是

(

，

而

的特征多项式是因

此

二

阶

常

系

数

线

性

齐

次

微

分

方

程

为

，

由

(

)和

，

知，

(

)

(

)

) 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10

分）设抛物线

过原点.当

时,

,又已知该抛物线与轴及直线

所围图形的面积为.试确定,b,,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线

过原点，故

，于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令

得即因此

,b

,

.nnn七、（15

分）已知

(

)满足u

u

en

,且u

e

,nnnn 求函数项级数

(

)之和.nn解u

u

e， 即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由

e

u

e

知，

C

，于是下面求级数的和：令则令

，得令

，得

C

，因此级数

(

)的和由一阶线性非齐次微分方程公式知nn八、（10

分）求

时,与

n等价的无穷大量.n解令

()

，则因当

，

)时，

(

)

，故即

(

)

在)

上严格单调减。因此

(

()

(

，

又

()

，

(

d

d

d

，所以，当

时,与n

n等价的无穷大量是

。

n（2）求 n（2）求

。

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知一、（25

分，每小题

5

分）（1）设

)L

),其中

求

.n （3）设，求I

e

n

。

g

g

。

解：（1）

)L

)=

)L

)/)=

g

g

。

解：（1）

)L

)=

)L

)/)=

)L

)/)

=

=

)/) (2)

e

r

（5）求直线

l

:

与直线l

:

的距离。 n n 令

x=1/t,则

原式=e

e

e

I

eI

e

n

n

de

ne

e

n（3） n

e

n

n

In

nn

In

n!I

n! n

n n二、（15

分）设函数

(

)在(,)上具有二阶导数，并且

且存在一点

，使得

(

)。 证明：方程

(

)

在(,)恰有两个实根。解：二阶导数为正，则一阶导数单增，

f(x)先减后增，因为

f(x)有小于

0

的值，所以只需在两边找两大于0

的值。将

f(x)二阶泰勒展开：因为二阶倒数大于

0，所以

，

证明完成。

三、（15

分）设函数

(

)由参数方程

(

所确定，其中

(

)(

)

(

)

与

eudu

在

e解：这儿少了一个条件d

解：这儿少了一个条件d

）由

(

)

与

eu

du

在

出（ e相切得

，

e

e/dt

=。。。（1）当

时，级数

收敛；（2）当

且

(/dt

=。。。（1）当

时，级数

收敛；（2）当

且

(

)时，级数

发散。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、（15

分）设

,证明： 解：（1）

>0,

单调递增 当

收敛时，Q

，而

收敛，所以

收敛；

当

发散时，当

发散时，

n所以，

n

而

，收敛于

k。

所以，

收敛。n所以，

收敛。n

（2）

n所以

发散，所以存在

，使得

于是，

n

于是，

n

n

n

n

n

使得 n

成立，所以N

使得 n

成立，所以N

Nn

i

当n

时，N

，所以

发散 i

五、（15

分）设l是过原点、方向为

(

,,

)，（其中

的直线，均匀椭球

b

，其中（

b

,密度为

1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(

,,

)的最大值和最小值。解：（1）椭球上一点

P(x,y,z)到直线的距离由轮换对称性，（2）Q

b

当

时，I

b当

时，I

b

六、(15

分)设函数

(

)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分

Ñ

的值为常数。

（1）设L

为正向闭曲线(

证明

Ñ

（2）求函数

(

)；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

Ñ

。

解：（1）

L

不绕原点，在

L

上取两点

A，B，将

L

分为两段L

，L

，再从 A，B

作一曲线L

，使之包围原点。则有（2）

令

,

；（1）.求

；（1）.求

上式将两边看做

y

的多项式，整理得由此可得解得：

(

)

（3）

取

L为

，方向为顺时针2011-2012

年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知一． 计算下列各题（本题共

3

小题，每小题各

5

分，共

15

分）

（2）.求

...

；解：（2）.求

...

；解：(用欧拉公式）令

...

n

n nn 其中，

o

表示

时的无穷小量，

e（3）已知

，求

e

d

。

e

e

e

是

一

个

全

微

分

方

程

，

设

e e 解： ,

e

e

e e

e（二．

本题

10

的通解。（解：设P

，则 dz

,该曲线积分与路径无关

15

分）设函数f(x)在

x=0

的某邻域内具有二阶连续导数，且

,

,

均不为

0，证明：存在唯一一组实数

,

,

，

h

h

h

使得

。 h

证

明

：

由

极

限

的

存

在

性

：即

，又

，

即

，又

，

① 由极限的存在性得

由极限的存在性得

即

，

h

② 再次使用洛比达法则得

③

由①②③得

,

,

是齐次线性方程组

的解

,

,

b

，则

b，

增 广 矩 阵

*

，

则

,

b

b

,

,

满足题意， 且

。

17

分）设

:

b

，其中

b

，

:

，为

与

在

上各点的切 平面到原点距离的最大值和最小值。上任一点M,,

，令F,,

，

b

则F

,F

b

,F

,

椭球面

在上点

M

处的法向量

,

在点

M

处的切平面为

：为：

,

在点

M

处的切平面为

：

, ,

b

原

点

到

平

面

的

距

离

为

d

b

，

令,,,

,则d

b

,,

，现在求

,,

,

b

在条件

b

，

下的条件极值，令,,,

b

b

b

b

，

b

解得

b

或

b

，对 应 此 时 的

,,

,,

b

b

b

或b

b

b

或d

又因为

b

，则

d

d

b

b

；（2）

,,

解：（1）由题意得：椭球面S

的方程为

b

别为：

d

，d

16

分）已知

S

是空间曲线

绕

y

轴旋转形成

的椭球面的上半部分（

）取上侧，

是

S

在

,,

点处的切平面，

,,

是原点到切平面

的距离，

,

,

表示

S

的正法向的方向余弦。计算：（1） 令F

则F

,F

,F

， 切平面

的法向量为

,

，的方程为

，原点到切平面

的距离

,,

将一型曲面积分转化为二重积分得：记

:

(2)方法一：

,

,