教辅同步阶段质量检测数列

阶段质量检测（二）数列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等比数列{an}的公比q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，则数列{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．常数数列 D．摆动数列解析：选D因为等比数列{an}的公比为q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，故a2<0，a3>0，…，所以数列{an}是摆动数列．2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是()A．1 B．－1C．－3 D．－4解析：选D由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc，,a＋3b＋c＝10，))解得a＝－4，b＝2，c＝8.3．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝()A．10 B．20C．16 D．12解析：选D∵{an}是等差数列，∴d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝eq\f(5,2)，∴a7＝2＋4×eq\f(5,2)＝12.4．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于()A．－eq\f(16,3) \f(16,3)C．－eq\f(8,3) \f(8,3)解析：选B∵a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，a3＝(－1)3×2×eq\f(2,3)＝－eq\f(4,3)，a4＝(－1)4×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝－eq\f(8,3)，a5＝(－1)5×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))＝eq\f(16,3).5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3解析：选A在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.6．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为()A．－1 B．1C．5 D．－5解析：选D因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，n为正奇数，,an＋1，n为正偶数，))则254是该数列的()A．第8项 B．第10项C．第12项 D．第14项解析：选D当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\f(n＋1,2)－1，n为正奇数，,2\f(n,2)＋1－2，n为正偶数，))则2eq\f(n,2)＋1－2＝254，n＝14，故选D.8．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且eq\f(3,S1S3)＋eq\f(15,S3S5)＋eq\f(5,S5S1)＝eq\f(3,5)，则a2＝()A．2 \f(1,2)C．3 \f(1,3)解析：选C∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋eq\f(1,a1a3)＝eq\f(3,5)，∵a1a2a3＝15，∴eq\f(3,5)＝eq\f(a3,15)＋eq\f(a1,15)＋eq\f(a2,15)＝eq\f(a2,5)，∴a2＝3.故选C.9．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1、公比为eq\f(1,3)的等比数列，那么an＝()\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))) \f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1)))\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))) \f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1)))解析：选A由题知a1＝1，q＝eq\f(1,3)，则an－an－1＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1.设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))，∴an＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))).10．已知等比数列{an}各项均为正数，且a1，eq\f(1,2)a3，a2成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)等于()\f(\r(5)＋1,2) \f(\r(5)－1,2)\f(1－\r(5),2) \f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)解析：选B由题意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，∴q2＝1＋q，解得q＝eq\f(1±\r(5),2).又∵{an}各项均为正数，∴q>0，即q＝eq\f(1＋\r(5),2).∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(a3＋a4,qa3＋a4)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).11．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5\f(15,2) \f(31,4)\f(33,4) \f(17,2)解析：选B设{an}的公比为q，q>0，且aeq\o\al(2,3)＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－eq\f(1,3)(舍去)，a1＝eq\f(1,q2)＝4.∴S5＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25)))＝eq\f(31,4).12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－2014，eq\f(S2007,2007)－eq\f(S2005,2005)＝2，则S2016的值为()A．－2016 B．2016C．2015 D．－2015解析：选B因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列．设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差为d′，则由eq\f(S2007,2007)－eq\f(S2005,2005)＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以eq\f(S2016,2016)＝eq\f(S1,1)＋2015d′＝a1＋2015d′＝－2014＋2015＝1，所以S2016＝2016.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝16，,20a1＋\f(20×20－1,2)×d＝20，))解得a1＝20，d＝－2，∴S10＝10×20＋eq\f(10×9,2)×(－2)＝110.答案：11014．已知数列{an}的通项公式为an＝2015－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．解析：由an＝2015－3n>0，得n<eq\f(2015,3)＝671eq\f(2,3)，又∵n∈N*，∴n的最大值为671.答案：67115．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.答案：616．在等比数列{an}中，若1，a2，a3－1成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a5＋a6)＝________.解析：设等比数列的公比为q，依题意，可得2a1q＝1＋a1q2又a1≠0，整理得q2－2q＝0，所以q＝2或q＝0(舍去)，所以eq\f(a3＋a4,a5＋a6)＝eq\f(1,q2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列；(2)当x1＝eq\f(1,2)时，求x2016.解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且n∈N*)，∴eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，∴eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)(n≥2且n∈N*)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列．(2)由(1)知eq\f(1,xn)＝eq\f(1,x1)＋(n－1)×eq\f(1,3)＝2＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n＋5,3).∴eq\f(1,x2016)＝eq\f(2016＋5,3)＝eq\f(2021,3).∴x2016＝eq\f(3,2021).18．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32).(1)求等比数列{an}的公比q；(2)求aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n).解：(1)由eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－eq\f(1,32)，q＝－eq\f(1,2).(2)由(1)，得an＝(－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1，所以aeq\o\al(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1，所以数列{aeq\o\al(2,n)}是首项为1，公比为eq\f(1,4)的等比数列，故aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))).19．(12分)在△ABC中，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断此三角形的形状．解：∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C.又∵A＋B＋C＝π，∴3B＝π，即B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2,3)π.∵lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，∴2lgsinB＝lgsinA＋lgsinC，即sin2B＝sinAsinC.又∵B＝eq\f(π,3)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).∴sinAsinC＝sin2B＝eq\f(3,4).又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC，∴sinAsinC＝－eq\f(1,2)[cos(A＋C)－cos(A－C)]．∴－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)－cosA－C))＝eq\f(3,4).∴eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)cos(A－C)＝eq\f(3,4)，∴cos(A－C)＝1.∵A－C∈(－π，π)，∴A－C＝0，即A＝C＝eq\f(π,3).∴A＝B＝C.∴△ABC是等边三角形．20．(12分)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和(n∈N*)，且a2＝3，S4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差是d，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝3，,4a1＋6d＝16，))解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2)由(1)知，an＝2n－1，∴bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).21．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an<an＋1，且S3＝2S2＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由an<an＋1，得q>1，又a1＝1，则a2＝q，a3＝q2，因为S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，则1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N*)，则Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，两式相减，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2