对数的概念陈莹终稿

对数的概念教师：陈莹教学目标：理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力重点：1.对数的概念2.指数式与对数式的互化难点：1.对数概念的理解2.指对互化一．回顾和引入（一）先回顾指数函数（且），为后面学习对数作铺垫①当时，函数为增函数；当时，函数为减函数（边讲边画图）②函数图像无限靠近轴上方，即函数值可取遍所有的正实数，③对于，都有唯一确定的与之对应；反之，由函数图像可以得到：对于，都有唯一确定的与之对应（二）引入①细胞分裂：某种细胞每分钟分裂一次（一分为二），如何用指数函数描述细胞数量与时间的关系？若已知有4096个细胞，该细胞分裂了多长时间？（显然，前一问学生可以很快回答：细胞数量与时间的关系式为；但后一问，要知道细胞的分裂时间，也就需要求解方程，多数学生难以求出）因此，为了使学生深刻领悟到引入对数的必要性，紧接着抛出第二个问题②解方程：，（对于方程，学生可以根据，得到；而方程，学生难以下手）此时可以追问：使方程这样的存在吗？并请同学起来回答（由引入③可知，对任意的正实数，都有唯一确定的与之对应，因此这样的是存在的）类比之前解决方程时，引入三次根号的符号：，使得，在此，引入对数符号：，则的解可表示成简单介绍对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。二．对数的定义（一）定义：一般的，如果（且），那么数叫做以为底的对数，记作：其中，叫做对数的底数，叫做真数(让学生齐读对数的定义，之后询问学生在读的过程中是否发现了问题，即引导学生思考以下问题)（二）思考1在对数的定义中，为什么要规定且？解释：分类讨论当时，不妨设，若，则中的值不存在当时，由于的正数次方等于，的负数次方和次方没有意义，因此若，中的值不存在若，中可以是任意正实数，但不唯一，即有无数个值当时，由于的任意次方都为，因此若，中的值不存在若，中可以是任意实数，但不唯一所以，为了使存在且唯一，规定且思考2根据对数的定义，可以得到对数和指数之间有什么关系？（指对互化）思考3真数，你能解释一下吗？（由指数函数的性质可知，（且），因此）由此可知，零和负数没有对数（三）特殊的对数（1）把以为底的对数叫做常用对数，记作：（2）把以为底的对数叫做自然对数，记作：（3），（且）解释：因为，所以（4），（且）解释：因为，所以（四）牛刀小试例1判断下列哪些是对数：（1）（且）；（2）；（3）（）；（4）答案：不是，因为真数不能为负数不是，因为对数的底数不能为负数是，因为对数的底数3大于零且不等于一，真数大于零不是，因为对数的底数不能为1例2将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）；（2）（3）；（4）（五）对数恒等式例3试计算下列式子；答案：利用指对互化，设即所以，利用指对互化，设所以，总结规律：关于对数的问题，可抓住指对互化的方法，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解思考4能否运用指对互化的方法计算和（且）？令所以，令所以，总结：上述等式为对数恒等式，即：其中，且例4你能运用对数恒等式再次计算例3的和吗？答案：（1）（2）三．小结（一）对数的底数：且，真数：（二）指对互化：其中，且（三）特殊对数在书写时注