弦切角的性质

课题弦切角课型概念课时间教学目标知识与技能经历探究弦切角概念，确切角定理及其推论以及简单应用的过程，掌握弦切角概念，弦切角定理、推论以及并能进行初步应用。过程与方法引导学生充分经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，如动手画角，从特殊入手进行猜想，完成定理的证明等。发展合情推理和演绎推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。情感态度与价值观引导学生参与整个数学学习活动，激发对数学好奇心与求知欲，同时获得成功的体验，锻炼克服困难意识，建立自信心，体验探索与创造的快乐，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。重点正确理解弦切角定理，这一定理在以后的证明中经常使用．难点想到把弦切角的(2)(3)种情况“转化”为(1)．方法教具PPt教学过程教师活动学生活动设计意图一、创设情境，以旧探新1.提问：什么样的角是圆周角?2.电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.(图7-132)提问：这时∠BAE还是圆周角吗?为什么?3.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.4.用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：(投影打出，让学生讨论，在学生讨论的基础上，教师加以总结)(图7-133)通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可.教师引导学生继续观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个.如图7-134.由此发现，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.二、观察联想、发现规律教师演示电脑或投影片，当弦切角一边通过圆心时，(如图7-135)(1)弦切角∠CAB是多少度?为什么?(2)∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度?为什么?(3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系?2.教师继续演示电脑或投影.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，引导学生得出猜想：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.三、类比联想，尝试论证1.首先让学生回忆联想：(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?2.已经证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.(电脑或投影

演示两种图形，如图7-136)组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况.在此基础上，教师小结分析.

如图7-136(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC.如图7-136(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.回顾证明方法：将情形图7-136都化归至情形图7-135，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.(板书)3.学生看书并考虑：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方法有何异同?4.深化结论.练习1直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧.(图7-137)练习2如图7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB＝AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么?分析，由于分别是两个弦切角∠DAB和∠EAC所夹的弧，而.连结B，C，易证∠B＝∠C.于是得到∠DAB＝∠EAC.由此得出：推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.四、巩固练习、初步应用例1如图7-139，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足

为D.求证：AC平分∠BAD.思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B.(图7-139)思路二，连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论.(图7-140)思路三，过C作CF⊥AB，交⊙O于F，连结AF.由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，进而可证明结论成立.(图7-141)练习题.练习1：已知经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：eq\o\ac(○,1)∠ATC＝∠TBC.②＝TTAACBCB五、归纳小结1.教师提出问题，学生回答：(1)这节课我们主要学习了哪些知识?(2)在学习过程中你体会到哪些重要的数学思想方法?2.在学生回答的基础上，教师加以小结：(1)(先投影出图形：图7-144)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.(2)在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程，逐步学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.(3)还学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦切角进行分类和如何进行分类.六、作业1.阅读本节课内容2.课本习题学生思考并回答学生思考并回答启发学生进行观察，并归纳总结出弦切角的特点：分析完毕，师生共同写出完整的证明过程学生口述，教师板书学生思考、口答学生画图，思考、口答引导学生共同分析∠BAE的特点，并仿照圆心角、圆周角，给这个特殊角命名.学生很

可能猜出这样的角叫弦切角，引出课题.(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.进一步引导学生用数学语言给弦切角下定义：以下各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.学生观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角.组织学生积极思考，可否用前边学过的知识证明此题?由学生回答，教师小结.此题为课本的练习题，证明方法较多，可组织学生讨论，教师归纳证法.在此基础上，可进一步让学生证明CT2＝CB·CA，为下一节课打基础.小结本节课的收获板书设计后记学生用导学案弦切角的性质科目：数学年级：高二备课人：杨雅琦编号：课题弦切角的性质学生姓名课型新授课备课时间上课时间学习目标1.理解弦切角的概念；2.掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；3.进一步理解化归和分类讨论、特殊化、化归的思想方法以及完全归纳的证明方法；学习重点弦切角定理及其应用是重点．弦切角定理的证明是．学习提纲学习过程：一、自我学习，完成概念1、弦切角定义：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的____________.下面各图形中的角是弦切角的是（填写正确的序号），并说明理由：二、观察联想、发现规律1.当弦切角一边通过圆心时，(如左图)弦切角∠CAB是多少度?为什么?∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度?为什么?(3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系?2.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，猜想：弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角.三、类比联想，尝试论证

前面讨论特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。如图(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC.如图(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.你能写出完整的证明过程吗？【结论】弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.四、巩固知识、初步应用例1（课本）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D.求证：AC平分∠BAD.练习1：已知经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：eq\o\ac(○,1)∠ATC＝∠TBC.②＝TTAACBCB 达标检测1．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于()．A．40° B．55°C．65° D．70°2．如图所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB