曲线的切线问题

曲线的切线问题腾冲市第一中学彭安录初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。但圆的切线定义并不适用于一般的曲线。我们看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx（x的改变量）→0时,割线PQ有一个极限位置PT，我们就把直线PT称为曲线在点P处的切线.即割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.因此曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。如图所示：直l1与曲线只有一个公共点，但它并不是曲线的切线，l2与曲线有两个公共点，却是曲线的切线，相切于点B.所以不能以是否与曲线只有一个公共点判断直线是不是切线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。曲线的切线问题是中学数学中的重要知识点和高考命题的重要内容和考点.下面重点讲解曲线在点处的切线问题，首先要根据导数几何意义，紧紧抓住切线斜率与的联系，其次还需要注意以下几点：切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；曲线在切点处的导数就是切线的斜率；必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点，也就是我们常说的在点处的切线与过点处的切线问题，谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.求解步骤：（1）求出函数在点处的变化率，得到曲线在点处的切线的斜率，即：=（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程为y−y0＝f′(x0)(x−x0)．例题讲解：1．【2022年理数全国卷II】曲线在点处的切线方程为__________．【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：【答案】点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.2.【2022课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】【解析】，所以所以在处的切线方程为，即点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．3.【2022年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()（A）(0,1)（B）(0,2)（C）(0,+∞)（D）(1,+∞)【答案】A【解析】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，，，．故选A．点睛：本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点坐标，由两直线相交得出点坐标，从而求得面积，题中把面积用表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．练习：1.【2022山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）略【答案】.2.【2022年文北京卷】设函数.（Ⅰ）若曲