华中科技大学理论力学习题答案

第十章动量矩定理1华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第1页!§10–1质点的动量矩定理§10–2质点系的动量矩定理§10–3定轴转动刚体的动力学§10–4质点系的相对运动动量矩定理§10–5刚体平面运动动力学习题课第十章动量矩定理2华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第2页!动力学动量定理或质心运动定理：质点系随质心平动的问题。如绕质心轴定轴转动刚体，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是刚体确受外力的作用而运动。

动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。§10-1质点的动量矩定理一．质点的动量矩质点对点O的动量矩：矢量质点对轴z

的动量矩：代数量3华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第3页!二．质点的动量矩定理两边叉乘矢径,有左边可写成质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。

动力学故：4华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第4页!运动分析：。由动量矩定理即微幅摆动时，并令，则解微分方程,并代入初始条件则运动方程，摆动周期解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。[例1]单摆已知m，l，t=0时=0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）5华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第5页!将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得———质点系对固定轴的动量矩定理。质点系的动量矩守恒

当时，常矢量。当时，常量。定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。6华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第6页!求：剪断绳后，角时的。例3：两小球质量皆为，初始角速度。7华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第7页!3．平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。刚体动量矩计算：1．平动刚体平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。2．定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。8华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第8页!例5已知：小车，不计摩擦。求小车的加速度。解：由，，得9华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第9页!设叶片数为，水密度为，有经dt时间，水由ABCD流到abcd。动量矩改变为解：10华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第10页!

由，得解：（1）11华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第11页!一、动力学方程

对于一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有—刚体定轴转动微分方程解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。动力学§10-3定轴转动刚体的动力学12华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第12页!二、刚体对轴的转动惯量的计算一．定义：若刚体的质量是连续分布，则刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kg·m2。动力学13华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第13页!（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量（3）均质圆板对中心轴的转动惯量式中：或14华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第14页!3.平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。

刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。

动力学15华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第15页!当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。动力学4．计算转动惯量的组合法解：[例8]钟摆：均质直杆m1,l；均质圆盘：m2,R。求JO

。16华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第16页!1．对质心的动量矩由于（因）有得其中§10-3质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程17华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第17页!2相对质心的动量矩定理由于即18华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第18页!

三．刚体平面运动微分方程

动力学取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为随质心C的平动(xC,yC)绕质心C的转动（）可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。19华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第19页!例10半径为r，质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f，问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动?20华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第20页!例11均质圆轮半径为r质量为m，

受到轻微扰动后，在半径为Ｒ的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求：质心Ｃ的运动规律。21华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第21页!其解为式中运动方程为得得由时22华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第22页!5．刚体动量矩计算平动：定轴转动：平面运动：二．质点的动量矩定理及守恒

1．质点的动量矩定理2．质点的动量矩守恒若，则常矢量。若，则常量。动力学23华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第23页!五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程

1．刚体定轴转动微分方程2．刚体平面运动微分方程或动力学24华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第24页!七．应用举例[例1]

均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为f

'，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个刚体)受力分析如图示。运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。动力学根据刚体平面运动微分方程补充方程：25华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第25页![例2]两根质量各为8kg的均质细杆固连成T字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时,T

形杆具有角速度=4rad/s。求该瞬时轴承O的反力。解：选T字型杆为研究对象。受力分析如图示。动力学由定轴转动微分方程26华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第26页![例3]均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求：圆柱B下落时质心的加速度。

若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。动力学27华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第27页!由动量矩定理：补充运动学关系式：代入式，得当M>2Pr时，，圆柱B的质心将上升。动力学再取系统为研究对象28华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第28页!质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系：正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正动力学kg·ｍ2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。29华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第29页!将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。动力学称为质点的动量矩守恒。若则常矢量30华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第30页!动力学一．质点系的动量矩质点系对点O动量矩：质点系对轴z动量矩：§10-2质点系的动量矩定理二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而一质点系对固定点的动量矩定理对质点系，有对质点Mi：31华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第31页!解：系统的动量矩守恒。猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为。动力学[例2]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）32华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第32页!时，

时，由，得解：33华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第33页!动力学解：[例4]滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1

滑轮B：m2，R2，J2；物体C：m3

求系统对O轴的动量矩。34华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第34页!例6水轮机转轮，进口水速度，出口水速度，它们与切线夹角分别为，，总体积流量。求水流对转轮的转动力矩。35华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第35页!例7：已知

，

，

，

，

，

，不计摩擦。求（1）（2）O处约束力

（3）绳索张力，36华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第36页!（2）由质心运动定理

（3）

研究（4）研究37华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第37页!

特殊情况：若,则恒量，刚体作匀速转动或保持静止。若常量，则=常量，刚体作匀变速转动。将与比较，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量。动力学38华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第38页!

１．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）[例5]（1）匀质细直杆长为l,质量为m。

求：对z轴的转动惯量；对z'轴的转动惯量。动力学二．转动惯量的计算解：39华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第39页!2.回转半径由所定义的长度称为刚体对z轴的回转半径。对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。动力学40华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第40页!

证明：设质量为m的刚体，质心为C，动力学例如，对于例1中均质细杆z'轴的转动惯量为刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。41华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第41页![例9]提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为r1、r2,可视为均质圆盘;物体C的重量为P3;

轮A上作用常力矩M1。求物体C上升的加速度。取轮B连同物体C为研究对象补充运动学条件化简(1)得：化简(2)得：动力学解:取轮A为研究对象42华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第42页!即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。对任一点O的动量矩：43华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第43页!质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。

质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。44华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第44页!以上各组均称为刚体平面运动微分方程。应用时一般用投影式：45华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第45页!解：其中得纯滚动的条件：即46华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第46页!解:由于47华中科技大学理论力学习题答案共54页，您现在浏览的是第47页!一．基本概念1．动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。2．质点的动量矩：3．质点系的动量矩：4．转动惯量：物体转动时惯性的度量。对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过