2018-2019学年高中数学讲义选修2-1全册教师用书

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系命 题[提出问题]观察下列语句：360°.(3)这是一棵大树呀！实数的平方是正数．42整除．问题1：上述语句哪几个语句能判断真假？提示：(1)(4)(5)．问题2：你能判断它们的真假吗？提示：能，(5)真，(1)(4)为假．[导入新知]定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句命题

真命题：判断为真分类：假命题：判断为假的语句形式：“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论[化解疑难]判断一个语句是命题的两个要素：(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；(2)可以判断真假．出一个反例即可．命题的判断[例1] 判断下列语句是不是命题，并说明理由．命题的判断π(1)3是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)x2－x＋7＞0.[解] (1)“π是有理”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题3“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．“是疑问句，所以它不是命题． 2 (4)因为x2－x＋7＝x－12＋27＞0，所以“x2－x＋7＞ 2 [类题通法]判断语句是不是命题的策略判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是．[活学活用]判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x＞3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．(2)是陈述句，能判断真假，是命题．(3)不是陈述句，不是命题．(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假[例2] 判断下列命题的真假，并说明理由．判断命题的真假(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1＜0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.1(4)是假命题，因为当等比数列的首项a＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列．1[类题通法]真命题的判定方法：

命题真假的判定方法真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．[活学活用]下列命题中真命题有( )①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：选A ①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．命题的结构形式[例3] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．命题的结构形式61218的公约数；a＞－1ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；平行四边形的对角线互相平分；x，yy－x＝2时，y＝4，x＝2.[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题．(2)a＞－1ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题．(3)(4)x，yy－x＝2y＝4，x＝2.是假命题．[类题通法]“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面．多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．[活学活用]把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除．是真命题．(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1.是真命题．若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形．是假命题．(4)命题条件不明致误[典例] 将命题“已知为正数当a＞b时有a2＞b2”写成“若则q”的形式，并指出条件和结论．[解] 根据题意若p，则q”的形式为：已知为正数，若a＞b，则a2＞b2.其中条件p：a＞b，结论q：a2＞b2.[易错防范]pq”之前，不能写在条件中．pq把它们补充成语意完整的句子．[成功破障]a，ba＞blog2a＞log2bpq”的形式．解：“pq”a，b为正数，2 若a＞b，则loga＞logb2 [随堂即时演练]下列命题中是真命题的是( A．若ab＝0，则a2＋b2＝0a＞bac＞bcM∩N＝MM⊆NM∩N＝M解析：选D A项中，a＝0，b≠0，a2＋b2＝0不成；B项，c≤0时不成；C项，M∩N＝M说明故选项A、B、C皆错．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是( ．若a·＝，则＝0或b＝0λa＝0λ＝0a＝0a2＝b2a＝ba＝－b若a·＝a·，则c解析：选B a·＝在，b为非零向量时可得⊥b；a＝b2可改写||＝，只得|＝|；a·＝a·，可移项得⊥－，不可两边同除以向．3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是 ，结论是 ．答案：函数为y＝2x＋1 该函数是增函数下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②二次函数的图象与x轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac＞bc，则a＞b.其中真命题是 写出所有真命题的序号)．解析：对于②，二次函数图象与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．答案：①④pq是假命题x的取值范围．解：由x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.故命题p：x≤－1或x≥3.又命题q：0＜x＜4，且命题p为真，命题q为假，x≤－或则x≤0或≥4，所以x≤－1或x≥4.故满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．[课时达标检测]一、选择题下列语句不是命题的( )①若a＞b，b＞c，则a＞c；②x＞2；③3＜4；④函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在R上是增函数．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则a＋c＞b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A ①错；②中，x＝3，y＝0，则xy＝0，|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中，矩形的对角线相等，但不一定互相垂直．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论( A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直CD．这个四边形是平行四边形解析：选C 命题可改“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列题中，假命题是( )a∥bα∥βα⊥βa⊥ba，bα，β相交α，βa，b相交解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，则a，b有可能异面．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值以是( )A．4 B．2 C．0 D．－3解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故a＝0时适合条件．二、填空题下列语句中是命题的，其中是真命题的有 ．(写出序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大边所对的角大于小边所对的角；④△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句，不是命题．答案：②③④④命题“若a＞0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域包含边界)”的条件，结论q： 它是 “真”或“假”)命题．解析：a＞0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．答案：a＞0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是 ．解析：∵ax2－2ax－3＞0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时，－3≤0恒成立；a＜0，a≠0＝a21≤0，解得－3≤a＜0.综上，－3≤a≤0.答案：[－3,0]三、解答题pqpq分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数．它是真命题．p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．A：5x－1＞a，B：x＞1aA，B命题“若p，则q”为真命题．

构造的Ap“p，则q”“

1＋a，则x＞1”．由命题为真命题可>5知1＋a5≥1，解得a≥4.B“q”“

1＋a 1＋a>5由命题为真命题可知5≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若5”．x＞1，则x＞5”．&1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系四种命题[提出问题]四种命题观察下列四个命题：(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；(3)(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；(1)和否定；(1)和否定．[导入新知]四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题逆命题否命题、逆否命题．四种命题结构[化解疑难]pq分别表示原命题的条件和结论，用p和qp，q的否定．.四种命题之间的关系[提出问题]四种命题之间的关系问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题．[导入新知]四种命题之间的关系四种命题的真假性之间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[化解疑难].四种命题的概念[例1] 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆命题．四种命题的概念(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.[解] (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.[类题通法]得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．命题中的大前提不变．[活学活用]把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：a0；平行于同一条直线的两条直线平行．解：(1)aa0.a0a是正数．是假命题．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.是假命题．逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．是真命题．(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．是真命题．逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线．是真命题．否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．是真命题．逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．是真命题.四种命题真假的判断[例2] 有下列四个命题：四种命题真假的判断x＋y＝0x，y互为相反数”的否命题；x＞yx2＞y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[解] 选B (1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性其逆命题若互相反数，则x＋y＝0”，为真命题；x＝0，y＝－1)逆否命题为假命题；“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；(4)“”，显然是假命题．[类题通法]解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．[活学活用]写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．在△ABCBC＞ACA＞B；相等的两个角的正弦值相等．解：(1)逆命题：在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC.真命题．否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则A≤B.真命题．逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则BC≤AC.真命题．(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题．否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题．逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题.等价命题的应用等价命题的应用[例3] 求证：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[解] 证明法一原命题的逆否命题“已知函数f(x)是上的增函数b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.[类题通法]由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．[活学活用]证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.“m＋n≤2”“m＋n＞2，m2＋n2≠2”．由于m＋n＞2，则m2＋n2≥1

2＞1

2＝2，所以m2＋n22(m＋n)

2×2

≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．2.否命题理解中的误区[典例] 将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b是增函数”写成“若p，则q”的形式，写出其否命题．[解] “若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b是增函数．否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b不是增函数．[易错防范]“a＞0”的否定易误为“a＜0者易犯的错误．在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性aa＞0a≤0.[成功破障](山东高考设命题“若则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0x2＋x－m＝0m≤0x2＋x－m＝0m>0x2＋x－m＝0m≤0解析选D 根据逆否命题的定义，命“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实”的否命题“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.]命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是( )Aa∉Ab∉BCb∈Ba∉A

B．若a∈A，则b∉BD．若b∉B，则a∉A解析选B 命“若则q”的否命题“若綈则綈与“∉”互为否定形．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选C 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．命题“若x＞1，则x＞0”的逆命题是 ，逆否命题是 ．答案：若x＞0，则x＞1 若x≤0，则x≤1在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真题的个数为 ．解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；“A∪B＝BA∩B＝A”；“A∩B＝AA∪B＝B”；全为真命题．答案：4pac≥0ax2＋bx＋c＞0无解”．p的否命题；p的否命题的真假．解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac＜0，ab2－a＞二次方程ax＋b＋0a2bx＋0有解．所以该命题是真命题．[课时达标检测]一、选择题命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( 若则|a|≠|b|a＝－b，则|a|≠|b|若|a|≠|b|若|a|＝|b|解析选D 原命题的条件是把它作为逆命题的结论原命题的结论|a|＝|b|，把它作为逆命题的条件，即得逆命|a|＝|b|，则a＝－b”．a＞－3a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( A．1C．3

B．2D．4解析选B 命题“若a＞－3，则a＞－6”的逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”，为a≤－6a≤－32.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( A．能被3整除的整数，一定能被6整除36整除63整除63整除解析：选B 即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )互逆命题C

互否命题D解析选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，綈为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．y＝0ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；④若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，为假命题；m＞2x2－2x＋m＝0x0.二、填空题6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为 ．x＝1”x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是 ．解析：由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．m≤，∴m≥2.∴1≤m≤2.答案：[1,2]下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其 中 互 为 逆 命 题 的 有；互 为 否 命 题 的 有；互 为 逆 否 命 题 的 有．(填序号)解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤三、解答题9(1)等高的两个三角形是全等三角形；弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．它是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．它是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．它是假命题．(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．它是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．它是真命题．xx2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非a≥1”的逆否命题的真假．解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线＝x＋(＋1xa2＋2的图象开口向上，判别式＝(14a＋2＝a－7.因为a＜1，所以4a－7＜0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．1.2充分条件与必要条件1.2充分条件与必要条件[提出问题]充分条件与必要条件在物理中，我们经常遇到这样的电路图：1AB提示：一定亮．问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合．[导入新知]命题“若命题“若则q”是真命题 “若则q”是假命题真假推出p⇒qp q关系pq的充分条件qp的必要条件pq的充分条件qp的必要条件[化解疑难]q的充分条件是指“pq也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立.充要条件[提出问题]充要条件如图是一物理电路图．ABBA一定闭合吗？提示：一定闭合．2ApBq之间的推出关系吗？提示：p⇔q.[导入新知]充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．[化解疑难]pq的充要条件时，qppqpq是两个命题，则这两个命题是等价命题．充分条件、必要条件、充要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件的判断[例1] 判断下列各题中p是q的什么条件．(1)在△ABC中，p：sinA＝sin(2)p：x＞1，q：x2＞1；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；b(4) a 1.bp：a＜b，q：＜[解] (1)△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之，若A＝B，则cos2A＝cos2B.因此，p是q的充要条件．(2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．b(4)由于a＜b，当b＜0时，a＞1；b当b＞0时，a＜1，故若a＜b，不一定有a＜1；b b当a＞0，b＞0，a＜1时，可以推出a＜b；b当a＜0，b＜0，a＜1时，可以推出a＞b.b因此p是q的既不充分也不必要条件．[类题通法]充分、必要、充要条件的判断方法pq“pq”“qp”是真是是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则pq的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则pqpq的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．[活学活用]指出下列各组命题中p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.线相四边形是平行四边形，四边形是平行四边四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分不必要条件.充要条件的证明[例2] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.充要条件的证明[解] (1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，Δ＝b2－4ac＞0，xx＝c＜0(x

为方程的两根)，所以ac＜0.12 a 1 2(2)ac＜0Δ＝b2－4ac＞0xx＝c＜0(x，x

为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，ax2＋bx＋c＝0

12 a 1 2综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[类题通法]充要条件的证明思路“”“”“p的充要条件是q”“”是”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[活学活用]1 1已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.x yx 证明：(1)必要性：由1＜1，x 得1－1＜0，即y－x＜0，x y xy又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0.(2)充分性：由xy＞0及x＞y，得x＞y，即1＜1.xy xy x y综上所述，1＜1的充要条件是xy＞0.x y充分、必要条件的应用[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．充分、必要条件的应用[解] 因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q但q⇒/p，即 即 { x|－2≤x≤10是x|1－m≤x≤1＋m的真子集，1m＜2， 1≤2，所 或 解得m≥9.1≥10 1m＞1，所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.[类题通法]应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件注意数形结合思想的应用．[活学活用]x∈Px∈Qa的取值范围．解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，Q⊆P，a－≤，a＋≥，解得－1≤a≤5.故实数a的取值范围是[－1,5]．诠释充分条件与必要条件的判断有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．1．定义法——pqqppq之间的充要关系．其基本步骤是：≥－，例] 四川高考设实数y满足－1＋－12≤实数y满足≥－，≤，则p是q的( )A．必要不充分条C．充要条件[解析]

B．充分不必要条件Dp表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.[答案] A[活学活用]“sinα 1 cos2α 1 ( )＝2”是“A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

＝2”的D．既不充分也不必要条件2 4 2 2 解析：选A 由cos2α＝1可得即sinα＝±1，故sinα＝1是cos2α＝1的充分2 4 2 2 不必要条件．等价转化法等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：[例2] 已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的 条件．[解析] 綈p：x＝2且x＝3，綈q：x＋y＝5.可知綈綈q，而綈q⇒/綈p.所以綈q是綈p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件．[答案] 必要不充分[活学活用]2．“m≠3”是“|m|≠3”的 条件．答案：必要不充分集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：[例3] 指出下列命题中p是q的什么条件．(1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2；(2)p：x2－2x－8＝0，q：x＝－2或x＝4.[解] (1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，集合B＝{x|x＜2}．显然，A B，所以但p，即p是q的充分不必要条件．(2)令A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．∵A＝B，∴p⇔q，即p是q的充要条件．[活学活用]一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件( )a＜0C．a＜－1a＞0D．a＜1解析：选C ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．＞0，

－4＞0，∴＜0，

即1＜0，12xx12

a由{a|a＜－1} {a|a＜0}，故选C.[随堂即时演练]给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“线l与平面α垂直”的( )C．充要条件

必要不充分条件D解析：选B 直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．已知非零向量，，，则“a·＝·”是“＝”的( A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D解析：选B ∵⊥，c时，a·＝a·但b与c不一定相，∴a·＝a·/＝；，＝a·＝·.3.已知M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的 条件．解析：∵由a∈M⇒/a∈N，但a∈N⇒a∈M，∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．答案：必要不充分在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝ .2解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－3.22答案：－3p：x2＋x－6＝0q：ax＋1＝0a的值．解：p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；.当a≠0时，x＝－1.a由题意知p⇒/q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－1＝2或－1＝－3，a.a＝－1a＝1.2 3

a[课时达标检测]一、选择题“tanα＝1”是“α π ( )B．必要不充分条件C．充要条件

＝4”的D．既不充分也不必要条件解析：选B 若tanα＝1，则

πk∈Z)，α

π α

tanα＝1.∴tanα＝1是α π

＋4(

不一定等于4；而若

＝4，则＝4的必要不充分条件．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙必要条件，那么( )丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D解析：选A因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．3．(陕西高考)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的( A．充分不必要条件必要不充分条件C．充分必要条件D解析选A cos2α＝0等价于即cosα＝±sinα.由cosα＝sinα可得到cos2α＝0，反之不成立，故选A.4．(天津高考设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D解析选A 或x<－2.由{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )x≥0xC．log(＋1)＞0x2解析：选B ∵|x|＝x⇔x≥0，

x2≥－xD．2x＜1AC，DBx2≥－xx(x＋1)≥0.∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．二、填空题AAB的 填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分p：1－x＜0q：x＞apqa的取值范围是 ．解析：p：x＞1pqq⇒/p对应集qa＜1.答案：(－∞，1)8．下列命题：①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；②b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要而不充分条件．其中真命题的序号为 ．解析：①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件．②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题．③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a＝2，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两1 1直线平行”的充要条件．④lgx＋lgy＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x＞0，y＞0.“lgx＋lgy＝0”成立，xy＝1“xy＝1”“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．答案：④pq的什么条件．(1p：|＝|，：＝；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解：(1|||⇒/＝，但|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．∵△ABC⇒/△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形⇒/△ABC是直角三角形，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．⇒/四边形是矩形，四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．x2＋y2＝r2ax＋by＋c＝0ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝ |c| ，a2＋b2所以c2＝(a2＋b2)r2.反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则

＝r成立，a2＋b2x2＋y2＝r2的圆心(0,0)ax＋by＋c＝0r，x2＋y2＝r2ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件．{a}nS＝pn＋q(p≠0p≠1){a}为等比数列的充n n n要条件为q＝－1.1- p－证明：充分性：当q＝－1时，a当n≥2时，a＝S－S 1- p－n n n1当n＝1时，上式也成立．于是an＋1＝

pnp－1

＝p，即数列{a

}为等比数列．na pn－1p－1 nn必要性：当n＝1时，a＝S＝p＋q.1 1- p－当n≥2时，a＝S－S - p－n n n1∵p≠0且p≠1，＝∴an＋1 ＝

＝p.na pn－1p－1nn因为{a}为等比数列，na a＋ pp－1所以2＝n1＝p＝ ，a a p＋q1 n∴q＝－1，n即数列{a}为等比数列的充要条件为q＝－1.n1.3 简单的逻辑联结词逻辑联结词“且”“逻辑联结词“且”“或”“非”如图所示，有三种电路图．1提示：pq闭合．2提示：pq闭合．问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合时．]符号含义读法p符号含义读法p∧q用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 p且qp∨q用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 p或qpp全盘否定的一个新命题非p或p的否定“且”含义的理解联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时”等词语等价，表示的是同时具有的意思．“或”含义的理解联结词“或”与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价，它有三层含义，如“p或q”表示：p成立或q成立或p，q同时成立．“非”含义的理解联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价.含有逻辑联结词的命题的真假判断[提出问题]含有逻辑联结词的命题的真假判断qp∧q，p∨q，p的真与假．1：什么情况下，p∧q提示：p真，q真时．2：什么情况下，p∨q提示：p假，q假时．3：什么情况下，p提示：p假时．[导入新知]“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断pqp∨qp∧q綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真[化解疑难]命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆(1)对于“p∧q”，简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；(2)对于“p∨q”，简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．用逻辑联结词联结新命题用逻辑联结词联结新命题[例1] 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．[解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．綈p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．[类题通法]用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．[活学活用]用“或”“且”“非”改写下列命题．2x2＋1＝0(2)1234整除．解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．“pq”p：123整除；q：124整除.含有逻辑联结词的命题的真假判断含有逻辑联结词的命题的真假判断[例2] 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题并判断其真假．py＝x2－2x＋2没有零点，qx2－2x＋1＞0恒成立．[解] (1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．綈p：等腰梯形的对角线不相等，假命题．p∨qy＝x2－2x＋2x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．綈p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．[类题通法]1．命题结构的两种类型及判断方法“”“”“”或者与之等价的词语上进行判断．2．判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；(2)对命题p和q的真假作出判断；(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论．[活学活用]分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；(A∪B)．“p∧q”的形式，其中pp真，q“p∧q”真，所以该命题是真命题．“p∨q”x2＋3x＋2＝0x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．这个命题“綈p”的形式，其中(A∪B)，因为p真，“綈p”假，所以命题是假命.根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围[例3] 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．[解] “p或q”为真命题，则p为真命题或q为真命题．m2－＞，当p为真命题时，x＋x＝－m＞0 解得m＜－2；q

1 2x＝1＞0x12有Δ＝16(m＋2)2－16＜0，解得－3＜m＜－1.综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1)．[类题通法]ppqqpq中参数的范围．[活学活用]p：1是集合{x|x2＜a}是集合{x|x2＜a}a为何值时，“pq”为真？a为何值时，“pq”为真？解：若p为真，则1∈{x|x2＜a}，所以12＜a，即a＞1；若q为真，则2∈{x|x2＜a}，即a＞4.“pq”a＞1a＞4a＞1；“pq”a＞1a＞4a＞4.求解含联结词命题中的参数[典例](12分py＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增，qxax2－ax＋1＞0R.p∧q假，p∨qa的取值范围．[解题流程][活学活用]若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p是假命题，则a的取值范围是什么？解：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．因为綈p为假命题，所以p为真命题．因此－(a－1)≥4.故a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．[随堂即时演练]p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )A．(0，－3)C．(1，－1)

B．(1,2)D．(－1,1)解析：选C “p∧q”为真命题的点即为直线y＝2x－3与抛物线y＝－x2的交．已知命题p：设x∈R，若|x|＝x，则x>0，命题q：设x∈R，若x2＝3，则x＝3，则下列命题为真命题的是( )p∨qC．(p∧qD．(解析选D |x|＝x应得x≥0而不是x>0，故p为假命题；由x2＝3应得x＝±3，而不只有x＝3，故q为假命题．因此綈p为真命题，从而(綈p)∨q也为真命题．3．命题p：2∉{1,3}，q：2∉{x|x2－4＝0}，则命题p∧q：2∉{1,3}且2∉{x|x2－4＝0}是 填“真”或“假”命题命题∨ 填“真”或“假”)命题．解析：命题p：2∉{1,3}是真命题．因为{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，所以命题q：2∉{x|x2－4＝0}是假命题．答案：假 2∉{1,3}或2∉{x|x2－4＝0} 真若p：不等式ax＋b＞0 b

(x－a)(x－b)＜0的解a的解集为xx＞－，q：关于x的不等式a集为{x|a＜x＜b}，且“p∧q”为真命题，则a，b满足 ．解析：因为命题“p∧q”为真命题，所以p、q均为真命题，于是a＞0，且a＜b.答案：0＜a＜b判断下列命题的真假：(1)函数y＝cosx是周期函数并且是单调函数；(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解．解：(1)p：“y＝cosx”，q：“y＝cosx”，用联“”p∧q.pp∧q是假命题．(2由p“x2是方程x240”“＝2是方程x40”“”p∨q.p，qp∨q是真命题．[课时达标检测]一、选择题1．“xy≠0”是指( )A．x≠0且y≠0C．x，y至少一个不为

B．x≠0或y≠0D．x，y解析：选A xy≠0是指x，y均不能为0，故选A.若命题“p且q”为假，且綈p为假，则( )A．pq为假C．q真

B．q假D．p假解析：选B 綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．已知全集如果命题p：3∈(A∪B)，则命题綈p”( A.3∉A B.3∈(∁UA)∩(∁UB)C.3∈∁UB D.3∉(A∩B)解析：选B 由p：3∈(A∪B)，可知綈p：3∉(A∪B)，即3∈∁U(A∪B)，而∁U(A∪B)＝(∁A)∩(∁B)，故选B.U Upqpqq为假命题，非p为真命题的是( )A．p：3是偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5＞3C．p：a∈{a，b}，q：{a} D．p：Q R，q：N＝N解析：选B 由p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题可知p为假命题且q为真命题，选项中符合要求的只有B.x若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞) 1x调递增区间是[1，＋∞)，则( A．p∧q是真命题C．綈p是真命题

B．p∨q是假命题D．綈q是真命题

，命题q：函数y＝x－的单解析：选D 因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间[1，＋∞)py＝x－1(－∞，0)和(0，＋∞)qx是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.二、填空题6．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题是 ，命题的否定是 ．解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．答案：若a≥b，则2a≥2b 若a＜b，则2a≥2b已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为 ．解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．x2－x6， －2＜＜，故 即x∈， x∈Z.因此，x的值可以是－1,0,1,2.答案：{－1,0,1,2}p：(x＋1)2＞4q：x＞a，且p是qa的取值范围是 ．⇒/解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p⇒綈q，但綈⇒/

綈p.由一个命题⇒/与它的逆否命题等价，可知q⇒p但⇒/－3或x＞1}，所以a≥1.

q．又p：x＞1或x＜－3，可{x|x＞a} {x|x＜答案：[1，＋∞)三、解答题出构成它的简单命题．45°的三角形是等腰直角三角形；(2)若x∈{x|x＜1或x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解．解：(1)是“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．“pq”px∈{x|x＜1}x(x－1)(x－2)＞0的解，qx∈{x|x＞2}x(x－1)(x－2)＞0的解．xx2＋(a－1)x＋a2≤0y＝(2a2－a)x为增函数．pqa的取值范围；pqa的取值范围．解：当p为真命题时，则＝a－1－a2<，解得

1或a<－1.>3.当q为真命题时，则2a2－a>1，解得a>1或a<－1.2pqp，q

1或a<－1，所以a的取值>3 2 2 3 pqa>1a(∞，－1)∪(1，＋∞)．_1.4 全称量词与存在量词全称量词和全称命题[提出问题]全称量词和全称命题观察下列语句：2x是偶数；x∈Z,2x(3)所有的三角函数都是周期函数．1：以上语句是命题吗？提示：(1)不是命题，(2)(3)是命题．问题2：上述命题中强调的是什么？提示：(2)强调“任意一个x∈Z”，(3)强调“所有的三角形”．[导入新知]全称量词和全称命题全称量词所有的、任给、每一个、对一切符号∀全称量词所有的、任给、每一个、对一切符号∀全称命题含有全称量词的命题形式Mxp(x)可用符号简记为∀x∈M，p(x)全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的.存在量词与特称命题[提出问题]存在量词与特称命题观察下列语句：(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；(2)x0∈Rx0581：以上语句是命题吗？提示：都是命题．问题2：上述命题有什么特点？0 0 提示：两命题中变量x取值有限制，即“存在一个x∈R”，“至少有一个x∈R0 0 [导入新知]存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些符号表示∃特称命题含有存在量词的命题Mxp(x)形式00可用符号简记为∃x∈M，p(x)00[化解疑难]特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的．含有一个量词的命题的否定[提出问题]含有一个量词的命题的否定观察下列命题：(1)有的函数是偶函数；(2)三角形都有外接圆．问题1：上述命题是全称命题还是特称命题？提示：(1)是特称命题，(2)是全称命题．问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？提示：有的；所有的．所有的；存在一个．[导入新知]含有一个量词的命题的否定[化解疑难]p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．全称命题与特称命题全称命题与特称命题[例1] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)αsin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题(2)含有存在量“有”，故是特称命题．“”，故是全称命题．可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．[类题通法]判定命题是全称命题还是特称命题注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句：x2＋x＋1＞0恒成立；12 1 1也是有理数；当x为有理数时，3x＋2x＋sin(α＋β)＝sinα＋sinβα，β成立；3x－2y＝10有整数解．解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．x，12＋1x＋1是有理数．3x 2α，β，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．x，y3x－2y＝10.全称命题、特称命题的真假[例2] 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．全称命题、特称命题的真假(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；x∈R，使1＝0；x0 －1x0m，nm－n＝1；至少有一个集合A，满足{1,2,3}．[解] (1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．x∈R

＝0成立，所以该命题是假命题．x0 －1x0m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．是特称命题．存在A＝{3}，使{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．[类题通法]0 Mxp(x)Mxp(x)(“”)0 0 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合Mxp(x)0 [活学活用]判断下列命题的真假：(1)p：所有的单位向量都相等；(2)p：任一等比数列{a}的公比q≠0；n(3p：x∈，2＋x＋≤0.0 0 0解：(1)p是全称命题，是假命题．若两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有|e1|＝|e2|＝1，但e1≠e2.(2)p是全称命题，是真命题．na＋n根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项a≠0，所以其公比q＝n＝1,2,3，…)．

n1≠0(an(3)p是特称命题，是假命题．因为对于綈p：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0是真命题，这是因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立.全称命题与特称命题的否定全称命题与特称命题的否定[例3] 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x∈R 2 1 0；，x－x＋4≥(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋4x＋6≤0；0 0 0(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.[解] (1)綈p：∃x∈R，x2－x＋1＜0，假命题．0 0 0 4因∀x∈R，x2－x＋1＝ 124 x－2≥0恒成立．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋4x＋6＞0，真命题．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.[类题通法]题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．据规则来写出命题的否定．[活学活用]判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：(1)3整除；(2)∀x∈Z，x230；(3)每个三角形至少有两个锐角；与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．∈Z，x230.0 0是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．全称命题与特称命题的应用[例4] 若命题是真命题，求实数a的取值范围．全称命题与特称命题的应用[解] 法一：由题意令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a∀x∈[－1，＋∞)，f(x)

≥a恒成立，而∀x∈[－1，＋∞)，2－a2≥－，

minf(x) ＝min ＋2＋－a2a＜1.min由f(x)的最小值f(x) ≥a，知a∈[－3,1]．min法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，＝42－＞，所以Δ≤0或a＜－1，f－1≥0，即－2≤a≤1或－3≤a＜－2.所以－3≤a≤1.综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．[类题通法]应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型“”的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等了假设．[活学活用]若存在x∈R，使ax2＋2x＋a＜0，求实数a的取值范围．0 0 0解：当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a＜0；0 0 0当a0时，需满足－4a0＜1，故0a＜1.a(－∞，1)．3.量词否定的易误点[典例] 浙江高考命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2n＜x2[解析] 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．[答案] D[易错防范]BC.应遵循否定的要求，同时熟练记住一些常用量词的否定形式及其规律．[成功破障]命题“存在x∈R，使得2x＋2x＋1<0”的否定是 ．答案：对于任意的x∈R，都有2x＋2x＋1≥0[随堂即时演练]1．下列全称命题为真命题的是( A．所有的素数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5解析：选B 2是素但2不是奇，所以A是假命；x2＋1≥1⇔x2≥0，显∀x∈R，x2≥0，故B为真命题，C、D均是假命题．x x 2．(湖北高考命题“∃∈(0，＋∞)，ln ＝－1”的否定是x x 0 0 0A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∈/(0，＋∞)，lnx＝x－1x x C．∃∈(0，＋∞)，ln ≠－x x 0 0 0x x D．∃∈/(0，＋∞)，ln ＝－x x 0 0 00解析选A 改变原命题中的三个地方即可得其否定改改为x，否定结论即lnx≠x－1，故选A.0命题：x∈，＋x＋＜0是 填“全称命题”或“特称命题，它0 0 0是 填“真”或“假”)命题，它的否定为綈p： .解析：命题pxRx2＋2x＋0是特称命题．0 0 0因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.答案：特称命题 假 ∀x∈R，x2＋2x＋5≥0∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是 ．解析：由题意知，0＜a2－1＜1，a2－11， a2＜，∴ 即a2－10， a2＞，－2＜a＜a＞1a1，∴1＜a＜2或－2＜a＜－1.答案：(－2，－1)∪(1，2)pxx2＋mx＋1＝0pm的取值范围．解：∵綈p为假命题，∴p为真命题，即关于x的方程x2＋mx＋1＝0有正解．由x2＋mx＋1＝0，得m＝－x－1＝－x＋1≤－2，x x当且仅当x＝1时取等号．即m的取值范围为(－∞，－2]．[课时达标检测]一、选择题1．全国卷Ⅰ设命题∈，n2>，则綈p为( )∀n∈N，n2>2nC．∀n∈N，n2≤2n∈n≤2n．∈，n＝n解析：选C 因“∃x∈M，p(x)”的否定“∀x∈M，綈p(x)”，所以命“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.2．下列语句是真命题的( )A．所有的实数x都能使x2－3x＋6＞0成Bxx2－3x＋6＜0C．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．有一条直线和两个相交平面都垂直解析：选A ＜，x－＋＞0对∈R恒成立，故排除；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C，D.3．有下列四个命题：①x∈R,2x2－3＋＞0；②∀∈{1，－1,0},x＋1＞0；③∃x0∈N，使x2≤x；④∃x∈N*，使x为29的约数．其中真命题的个数为( )0 0 0 0A．1 B．2 C．3 D．4解析：选C 对于①，这是全称命题，由于＝－3－××，所以22－3＋4＞0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1＞0不成立，故②为假命题；x＝0x＝1

成立，故③为真命题；0 0 0 0x 对于④，这是特称命题，当 ＝1时， 为29x 0 0以下四个命题既是特称命题又是真命题的( A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D 1．存在一个负数x，使＞2x解析：选B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题中x＝0时所以B既是特称命题又是真命题中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题中对于任一个负数x，都有1＜0，所以D是假命题．x已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )0000∃x∈R，f(x)≤f(xB．∃x∈R，f(x)≥f(x)C．∀x∈R，f(x)≤f(xD．∀x∈R，f(x)≥f(x0000解析：选C 由题意知＝－b为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x)为函数的最0 2a 00 xf(x)≥f(x)∀x∈R，f(x)≤f(x)0 二、填空题6．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1＞0”的否定是 ．解析：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”，∴其否定为∃x∈R,3x2－2x0 0＋1≤0.答案：∃x∈R,3x2－2x＋1≤0

0 0 00 0 0下列命题中，是全称命题的；是特称命题的．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．““”“所有正数的平方根不等于0”全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④已知命题“∃x∈R,2x2＋(a－1) 1 0”是假命题，则实数 a的取值范围是0 0 x0＋2≤ ．2“∈R,x2＋－11＞0”是真命题．令＝－12－24＜0，得－1＜a＜3.答案：(－1,3)三、解答题用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：二次函数的图象是抛物线；直角坐标系中，直线是一次函数的图象；有些四边形存在外接圆；(4)∃a，b∈Rax＋b＝0解：(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．x2＋2ax＋2－a＞0成立”a的取值范围．解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0，或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．法二：綈∈[1,22＋2a＋－a0无解，f(x)＝x2＋2ax＋2－a，≤， 1＋2＋2≤，则 ≤， 4＋4＋2≤0.解得a≤－3.故命题p中，a＞－3，即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．(A(A卷 学业水平达)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．(浙江高考命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ．∈N，nN且n)n∈N，n∉N或nn0 0 0 ∃n∈N*，f(n)∉N*f(n)>0 0 0 0 0 0 ∃n∈N*，f(n)∉N*f(n)>0 0 0 解析：选D ，注意“改“”．2．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( A．若A∪B≠A，则A∩B≠BA∩B＝BA∪B＝AA∩B≠BA∪B≠AA∪B≠AA∩B＝B解析：选A 否命题是既否定条件又否定结论．3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1Cx＞1x＜－1x2＞1Dx≥1x≤－1x2≥1解析选D “若则”的逆否命题“若綈则綈”“”的否定“≥”故选D.4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”( A．充分不必要条件必要不充分条件C．充要条件D解析：选A 要区分向量平行与向量相等、相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．5．下列命题中，真命题( )A．命题“若|a|＞b，则a＞b”B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D 原命题可以改写“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相是真命题，故选D.6．已知命题>0 4 ；命题：x∈(，＋∞，2 1，x＋≥

0 x＝x的是( )A．p是假命题C．p∧(綈q)是真命题选 当选 当x 时解析： C >0 ≥2x

0 2B．q是真命题D．(綈p)∧q是真命题x4＝4x＝2是真命题；xx当x>0时，2x>1，q是假命题．所以p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是