2020年高考文科数学《解三角形》题型归纳与训练

【解析】*/sinZBAC=sin(ZBAD+')二【解析】*/sinZBAC=sin(ZBAD+')二cosZBAD二2--223・•・根据余弦定理可得cosZBAD=AB[+AD2二BD2,2AB■AD..竺二(玉⑵2+尹-BD2...bd仝3-2x3、辽x3题型二角的正弦值和边的互化1.在AABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若asinBcosC+1csinBcosAb,2则ZB=兀B.32兀CM5兀D.~6答案】A兀，但B非最大角，所以B=6【解析】边换sin后约去sinB,得sin(A+C)=兀，但B非最大角，所以B=62.在AABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若a2-b2=.J3bc，且么C二2、；3血B，则角A的大小为.兀【答案】-6【解析】由sinC二^'3sinB，根据正弦定理得，c二2、；3b，代入a2-b2=f3bc得a2二7b2，由余弦<3b2+c2-a2<3定理得：cosA二寸3.已知a、b、c分别为AABC三个内角A、B、C的对边，acosC+€3asinC-b-c=0.(1)求A；(2)若a=2，AABC的面积为y3，求b、c.【答案】(1)60。(2)b=c=2【解析】(1)由正弦定理得：

acosC+x.3asinC一b一c=0osinAcosC一J3sinAsinC=sinB+sinCosinAcosC+\3sinAsinC=sin(a+C)+sinCoJ3sinA-cosA=1osin(A-30。)=—oA—30°=30°oA=60°(2)S=—bcsinA=、3obc=42a2=b2+c2—2bccosAob+c=4，解得：b=c=2.题型三利用正、余弦定理判定三角形的形状1.在AABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，贝仏ABC的形状是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】Aa2+b2一c22ab【解析】由已知可得a2+b2<c2，cosC=<0，所以△ABC2ab2.在AABC中，a、b、c分别为AABC三个内角A、B、C的对边，若c—acosB=（2a—b）cosA,则AABC的形状为（）B.直角三角形C.等腰直角三角形D.B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案】D【解析】•/c—acosB=,・•・由正弦定理得sinC—sin【解析】•/c—acosB=,・•・由正弦定理得sinC—sinAcosB=sin\A+题型四和三角形面积有关的问题sinA，a，b，c分别为内角A，B，=3,cos（1）求b的值;（2）求AABC的面积.【答案】(1)b二3、辽【解析】(1)在AABC中，由题意知sinA=“―cos2A=j-,又因为B=A+2，所有sinB=sin(A+才)=cosA=-3,TOC\o"1-5"\h\z3V6、、,1asinBX3-r-由正弦定理可得b===-=3\‘，2.sinA<3丁(2)由B=A+仝得，cosB=cos(A+—)=-sinA=-空,\o"CurrentDocument"223由A+B+C=兀，得C=n-(A+B).所以sinC=sin[兀-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3x(-3)+6x並=33331因此，AABC的面积S=absinC=因此，22.AABC在内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=bcosC+csinB.求B；若b=2，求厶人直。面积的最大值.【答案】(1)(2)空2+14【解析】(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，兀即cosBsinC=sinCsinB，因为sinC丰0,所以tanB=1，解得b=—；4

(2)由余弦定理得：b2(2)由余弦定理得：b2=兀a2+c2-2accos—4即4=a2+c2-\[2ac由不等式得：a2+c2>2ac，当且仅当a=c时，取等号，所以4>(2-迈)ac,解得ac<4+2迈,所以△abc的面积为|acsin扌<计x(4+2迈)八''2+1，所以△ABC面积的最大值为迈+1.3.设AABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长.n.\'7【答案】(1)A=丁(2)AD=丁【解析】(1)A+C=n-B,A,Be(0,兀)nsin(A+C)=sinB>02sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB（2）a2=b2+c2一2bccosAoa=*3nb2=a2+c2nB=—2在RtAABD中，AD=JAB2+BD2=：12+（亠）2=1-^2^24.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB1）求证：A=2B；（2）若°ABC的面积S=—，求出角A的大小.nn【答案】（1）见解析（2）A=—或A=—【解析】（1）由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB，故2sinAcosB=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB，于是sinB=sin（A-B），又A,Be（0,n），故0<A-B<n，所以B=n-（A-B）或B=A-B，因此A=n(舍去)或A=2B，所以A=2B.(2)由S=1得2absinC二a2才.由正弦定理得sinBsinC二sin2B2=sinBcosB,因为sinB丰0，得s