2020年高考文科数学《三角函数》题型归纳与训练

年高考文科数学《三角函数》题型归纳与训练【题型归纳】题型一定义法求三角函数值..3兀3兀.例1若a的终边所在直线经过点P(cos,sin)，则sma=44：2【答案】土〒-2【解析】•・•直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若a的终边在第二象限，贝Vsin【解析】•・•直线经过二、j2J2a的终边在第四象限，则诚一亍，综上可知sina=士于【易错点】容易忽视对角终边位置进行讨论【思维点拨】定义法求三角函数值的两种情况：已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解.已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值.题型二诱导公式的使用112兀]——a则cos+2a16丿3，13丿=(例1若sinB．CB．答案】解析】cos(2解析】cos(2兀]/兀、=cos兀一2a=cos——2a=1一2sin2—a13丿13丿13丿16丿79，故选D易错点】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”。这里的“奇、偶”指的是的倍数的奇I兀\偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角］-_2aJ看作锐角时，冗-_2a］所在象限的相应余弦三角函数值的符号13丿思维点拨】利用诱导公式化简求值时的原则

(1)负化正”运用-a的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.⑵大化小”利用k・60°+a(k€Z)的诱导公式将大于360°勺角的三角函数化为0°」360°勺三角函数.“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．“锐求值”，得」0°」90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．例1已知函数例1已知函数f(x)2asin(2xb的定义域为［0，詁值域为［5，1］求a和b的值.【答案】a=12—6■<3,b=—23+12\''3或a=—12+6^3,b=19—12>/3.解析】0X202X32X3TTSin(X3)1当a>0时,|2a+b=1则：3a+b=-5'a=12-6v;3解得I=-23+120当a<0时,12a+b=-5

则Lj3a+b=1''a=12-^/3解得'b=19-1^;3；当a=0时,显然不符合题意．a=12-6\；3,b=-23+12、：3或a=—12+6*3,b=19-12x/3.易错点】对函数的结构分析容易不」位，函数f(x)2asin(2xb是一个复合函数，不是nsin2x3取最大值时，函数f(x)最大，因为它的前面还有个“a”而“a”勺符号不确定，直接影响了函数的最值，所以要分类讨论。对含有字母参数的数学问题，一定要认真分析。【思维点拨】1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：利用sinx、cosx的值域；形式复杂的函数应化为y=Asin(e汁。+k的形式逐步分析ex+卩的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题.题型四三角函数的单调区间函数y=f(x)在［0,兀］的单调增区间；函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有1°个零点，求b-a的最大值.【经典错解】(1)A=2,4冷-12=養，①=2，所以f(x)=2sin2x+—i3丿兀兀兀丁r5兀*兀*(2)令一一+2k兀<2x+<+2k兀，kgZ得一—+k兀<x<+k兀，23212125兀兀所以函数的单调增区间是［-+k兀,+k兀］kgz.1212(3)f(x)=2sin(c兀)—T5兀73兀、i2x+3J=-1，得x=kK+迈或x=kK+T(kgz)122兀17兀函数f(x)在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，所以b-a最大值为5T+丁=刁一.答案】见解析4小T兀兀2兀小().(兀、【解析】(1)A=2，丁=厅-百=-，®=2，所以f(x)=2sin2x+~43124wi3丿兀「小兀兀「1rz2)令-—+2kK＜2x+＜+2k兀，kgZ2325兀“兀“得一—+k兀＜x＜+k兀1212当k=°时,竺＜x＜竺当k=1时，匹＜x＜竺12121212兀7兀又因为xG［0,兀］，所以函数y=f(x/在［0,兀］的单调增区间为［0,又因为xG［0,兀］，所以函数y=f丄乙丄乙3)同上．【易错点】审题容易出错，在把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在R上的单调区间了.所以求出函数在R上的单调增区间后，还要把增区间和［0,兀］求交集.【思维点拨】求三角函数的单调区间时应注意以下几点：形如y=Asin(ex+y)(A>0,e>0)的函数的单调区间，基本思路是把®x+(p看作是一个整体，由一nn.n3n.2+2kn<rnx+y<2+2kn(k^Z)求得函数的增区间，由2+2kn<rnx+y^2+2kn(k^Z)求得函数的减区间.「n,”3n,”/、由2+2kn<ex—y<2「n,”3n,”/、由2+2kn<ex—y<2+2kn(kWZ)Asin(ex—y)，由一2+2kn<ex—y<2+2kn(k^Z)得到函数的减区间,得到函数的增区间.(3)对于y=Acos(ex+y)，y=Atan(ex+y)等，函数的单调区间求法与y=Asin(ex+y)类似.题型五三角函数的周期性兀例1已知f(x)二sin2wx的最小正周期是一，则®=4【答案】±4【解析】f(x【解析】f(x)=sin2wx=1-cos2wx2_1兀\o"CurrentDocument"=-—cos2wx+—\o"CurrentDocument"24隔e±4【易错点】三角函数的周期公式使用情景容易出错。只有把三角函数化^y=Asin(ex+y)和y=Acos(ex2n+y)后，才可以代入周期公式T=ej，已知中的函数形式是二次，不是一般式，所以要用降幕公式化简后再使用周期公式。【思维点拨】三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断.求三角函数周期的方法利用周期函数的定义；利用公式：y=Asin(ex+y)和y=Acos(ex+y)的最小正周期为爲y=tan(ex+y)的最小正周

期为冷利用图象．3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．题型六三角函数的图象变换例1把函数y=sin(x舟的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为【答案】y=sin(2x+彳)【解析】把函数y=sin(x+P-)的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为y=sin(2x故填y=sin(1x式为y=sin(2x故填y=sin(1x【易错点】把函数y=sin(x+1)的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解p1p1p析式为y=sm(x+丁)=sm(Tx+—).所以填y=sm匕x+—).错在二角函数图像的伸缩变换理解不透326261彻.(2)把函数y=(x)的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数为y=f(2x)，也就是说只是把函数的解析中有“x”的地方换成“1x”，其它的都不变，所以把函数y=sin(x+P-)的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为y=sin(2x+1).【思维点拨】确定y=Asin(ex+y)+b(A>0，e>0)的步骤和方法(1)求A，b,确定函数的最大值(1)求A，b,确定函数的最大值M和最小值m,则A=M~m2M+m(2)求①，确定函数的周期T则可得2ne=t.（3）求©常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A,◎b已知）或代入图象与直线y=b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．五点法：确定©值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.具体如下：n“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）时ex+0=0；“第二点”（即图象的“峰点”）时ex+0=2；“第三3n点”（即图象下降时与x轴的交点）时®x+（p=n・；第四点”（即图象的“谷点”）时亦+卩=亍“第五点”时3x+申=2n（如例2）.题型七三角函数的恒等变换例1已知0<a<p,sina+cosa=—,则cos2a=2<【答案】-斗【解析】把三角方程平方—+2sinacosa=—【解析】把三角方程平方—+2sinacosa=—\2sinacosa=-0<a<psina+cosa=—>02psina+cosa=—>02\sina>0\cosa<0\<a<p2\p<2a<3p2\cos2a=-\；I-(-4)2=-^^，故填\p<2a<3p2【易错点】在对三角函数的隐含条件挖掘不够导致容易出现增解．三角函数的化简求值时，如果出现多值就要注意挖掘已知中的隐含条件，以免增解.在同一个直角坐标系中作出正弦和余弦函数的图像观察得:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"小兀.c兀3兀.c3兀当0<a<—时，sinx+c®s>.0当一<a<——时，sinx+coxs>.0当一<a<兀时，4141\o"CurrentDocument"sinx+cos<0【思维点拨】三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简.二是求值.三是三角恒等式的证明．（—）三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．（2）三角函数求值分为给值求值（条件求值）与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．（3）三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．

巩固训练】题型一定义法求三角函数值1.已知角a的终边上有一点P(t,t2+l)(t>0),则tana的最小值为()1-2【答案】Bt2＋11【解析】根据已知条件得tana=~^~=t+；^2，当且仅当t=1时，tana取得最小值2.2.已知角a的终边上一点P的坐标为5n2.已知角a的终边上一点P的坐标为5nA—A.62nB•亍，则角a的最小正值为()D.lln~6~答案】D【解析】由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得【解析】由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosa^2nsin~3故a=2kn—$(k^Z)，所以11na的最小正值为肓.4已知角a的终边经过点P(m，—3)，且cosa=—5，则m等于(11A-才11A-才11B.匸C.－4D.答案】选C【解析】由题意可知，cos「时45,【解析】由题意可知，cos「时45,又mvO,解得m=—41.记•，；,那么I、朗⑴门-答案】B.题型二诱导公式的使用sin80*sin80*【解析】•・•窗八―*宀=，・•・tan100°=-辭°=-sin80sin80z；gJ「•故选氏3n“sina—4cosa2•已知sin(3n+a)=2siny+a，则5sina+2cosa【答案】—1—6-3ntana—4—1—6-【解析】法一：由sin(3n+a)=2siny+a得tano=2•原式=5tana+2=5^2+22cosa—4cosa1法二：由已知得sin^2cosa原式=5^.cosa+2cosa=—6-sinkn+acoskn+a3sinkn+acoskn+a3•已2sina+cosa（k€Z）,则A的值构成的集合是（）A．｛1，－A．｛1，－1,2，－2｝B．｛－1,1｝C．｛2，－2｝D．｛1，－1,0,，2－2}【答案】C.【解析】当!＜为偶数时，羔详2；k为奇数时，ff-CO詈-2题型三三角函数的定义域或值域1.函数yAsin(x0,2，xR）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）.A.y4sin4x—84B.C.y4sin(x—84【答案】D.D.4sin(-84sin【解析】1.函数yAsin(x0,2，xR）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）.A.y4sin4x—84B.C.y4sin(x—84【答案】D.D.4sin(-84sin【解析】由图像得A4,T2(62)16,2168'则『4sin（8X）代入（2,4），得2k2k3"43"43y4sin(8x—)4sin(4sin(8x4)•故选D-ny=2—3cosx+4的最大值为.此时x=【解析】当cos(x+4)=—1时'函数y=2—3cos

n3取得最大值5,此时x+”=n+2kn,从而x=jn+2kn,kEZ.3.函数3.函数y=2+log2x+ptanx的定义域为.n【答案】”0<x<2，或n<x<4[<解析】要使函数有意义则2+log^x^O,x>0<解析】要使函数有意义则2+log^x^O,x>0,tanx>0,0vx<4,<.nkn<x<kn+2kEZnx^kn+2'kEZ利用数轴可得0Irn!n函数的定义域是”0<x<2，或n<x<4>.题型四三角函数的单调区间已知函数y=sin(£—2x),求:1)函数的周期；(2)求函数在[—n,0]上的单调递减区间.【解析】由y=sin(舟一2』可化为y=—sin(2x—申)(1)周期(1)周期T=2n_2n_怎=T所以xER时，y=sin的减区间为所以xER时，y=sin的减区间为kn—j|,kn+誇从而xE[—n,0]时,y=sin(3的减区间为—n,7n[「n正」，L—12°」nInn.5n(2)令2kn—2<2x—3<2kn+2，kEZ,得kn—12<x<kn+j2，kEZ.kEZ.2.函数y=Itanxl的增区间为答案】n\kn,kn十刃，kEZ

【解析】作出y=ltanxI的图象，观察图象可知，y=ltanxl的增区间是kn,kn+2)，kWZ.已知函数f(x)=sinx+V3cosx,设a=f7j，b=f6)，c=f3)，则a，b，c的大小关系是()a<b<cc<a<bb<a<cb<c<aa<b<cc<a<bb<a<cb<c<a答案】B解析】f(x)=sinx+V3cosx=2sin(x+3)，因为函数f(x)在上单调递增，所以f7)<(6)，而c==2sin3=2sin3=f(0)<(7^，所以cvavb.题型五三角函数的周期性1.已知函数f(x)=sin(2x+¥)(xGR)，给出下面四个命题：函数f(x)的最小正周期为兀；②函数f(x)是偶函数；函数f(x)的图象关于直线x=n对称；④函数f(x)在区间2］上是增函数.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C.【解析】函数f(x)=sin(2x+¥)=—cos2x,贝V其最小正周期为兀，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，正确；由f(x)=—cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x=4对称，③错误；由f(x)的图n象易知函数f(x)在|_o,2」上是增函数，故④正确.综上可知，选C.nn2.下列函数中，周期为兀，且在|_4，2_|2.D.y=cos(x+2nn且在4,2上是减函数.A.y=sin(2x+2)B.y=cos(2x+2D.y=cos(x+2nn且在4,2上是减函数.答案】A【解析】对于选项A,注意到y=sin(2x+2)=cos2x的周期为n,=sinax+cosax(a>0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为()B.(0,0)C.(―8，°)D.(8，°)

【答案】C【解析】由条件得f(x)=\/2sin(ax+4)，又函数的最小正周期为1，故乎=l，・°・a=2兀，故f(x)=\/2sin(2nx+4)将x=—8代入得函数值为0.题型六三角函数的图象变换冗1•要得到f(x)二tan(2x--)的图象，只须将f(x)=tan2x的图象()兀A兀A.向右平移-个单位3冗C•向左平移；个单位6【答案】D.冗B.向左平移-个单位3兀D.向右平移-个单位6厂口、兀兀解析】由于tan2x-—=tan2(x-：),只须将函数f(x)=tan2x的图象向右平移—个单位就可以得到解析】由于66冗函数f(x)二tan(2x-丁)的图象，故选D.TOC\o"1-5"\h\z(n\1nx+6丿图象上各点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移3个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为()nnnnA.x=—2B.x=—4C.x=8D.x=4【答案】A【解析】依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y=sin2(J—彳)+6=sin(2x—2丿=—cos2x，nn注意到当x=—2时，y=—cos(—n)=1,此时y=—cos2x取得最大值，因此直线x=—2是该图象的一条对称轴.3.已知函数f(x)=3sin讣x—4),x^R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？【答案】见解析

xn232n52n72n92n1n0n32n2x-42n2nf(x)030—30解析】解析】(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．n(2)先把y=sinx的图象向右平移4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象.题型七三角函数的恒等变换1.已知函数f(x)=sin(x+乎)+cos(x—普)，x^R.求f(