黄金分割专项练习30题

黄金切割专项练习21．定义：如图1，点C在线段AB上，若知足AC=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金切割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，A=36°，BD均分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金切割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于2101cm吗若能，求出AB的长度，若不可以，说明原因；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保存根号）9．在数学上称长与宽之比为黄金切割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形组成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连结EB；延伸DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金切割点．为何说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金切割点，你能说出此中的道理吗请试一试，说一说．212．已知AB=2，点C是AB的黄金切割线，点D在AB上，且AD=BD?AB，求的值．14．五角星是我们常有的图形，以下图，此中，点C，D分别是线段AB的黄金切割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金切割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为时，是比较漂亮的黄金身材．一个身高的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身材（保存两位小数）17．如图，点P是线段矩形面积为S2，试比较

AB的黄金切割点，且S1与S2的大小．

AP＞BP，设以

AP为边长的正方形面积为

S1，以

PB为宽和以

AB为长的18．如图，在平行四边形

ABCD中，E为边

AD延伸线上的一点，且

D为

AE的黄金切割点，即，

BE交

DC于点

F，已知，求CF的长．20．（如图1），点P将线段AB分红一条较小线段点，设=k，则k就是黄金比，而且k≈．

AP和一条较大线段

BP，假如，那么称点

P为线段

AB的黄金切割（1）以图1中的AP为底，BP为腰获得等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：知足≈的等腰三角形是黄金三角形；近似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为何k约为；（3）由线段的黄金切割点联想到图形的“黄金切割线”，近似地给出“黄金切割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分红面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），假如，那么称直线l为该图形的黄金切割线．（如图3），点P是线段AB的黄金切割点，那么直线CP是△ABC的黄金切割线吗请说明原因；（4）图3中的△ABC的黄金切割线有几条21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比率上，肚脐是理想的黄金切割点，即比率越靠近，越给人以美感．张女士本来脚底到肚脐的长度与身高的比为，她的身高为，她应当选择多高的高跟鞋穿上看起来更美（精准到十分位）23．如图，用纸折出黄金切割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，而后经过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新地点B′，因此EB′=EB．近似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金切割点．请你证明这个结论．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．1）求∠B的度数；2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或许底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中全部的黄金三角形，选一个说明原因；②求AD的长；③在直线AB或BC上能否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明原因．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金切割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，获得折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，获得折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金切割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直均分线交AC于D，并连结BD（保存作图印迹，不写作法）；2）△BCD能否是黄金三角形假如是，请给出证明；假如不是，请说明原因；3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分红两部分，假如，那么称点C为线段AB的黄金切割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金切割点联想到“黄金切割线”，近似地给出“黄金切割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分红两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，假如，那么称直线l为该图形的黄金切割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金切割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金切割线．你以为对吗为何2）请你说明：三角形的中线能否也是该三角形的黄金切割线3）研究小组在进一步研究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金切割线．请你说明原因．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金切割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，明显直线EF是平行四边形ABCD的黄金切割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金切割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金切割点．黄金切割专项练习30题参照答案:1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD均分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，2∴BC：AC=CD：BC，即BC=CD?AC，2∴AD=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金切割点；2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，2∵AD=CD?AC，2∴x=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，依据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不可以．原因以下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，依据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，2所以这个矩形的面积可能等于101cm；3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，依据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），2所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD均分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，=，即=，AD2=AC?CD．∴点D是线段AC的黄金切割点．（2）∵点D是线段AC的黄金切割点，∴AD=AC，AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比方图，（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；②取AB的一半作AB的垂线AC，连结BC，在BC上取CD=CA．③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；④分别连结EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，=．5．解：（1）因为P为线段AB=2的黄金切割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金切割点．6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，2∵AC=BC?AB，2∴x=1×（1﹣x），2解得x1=，x2=（舍去），所以线段AC的长度为；（2）设线段AD的长度为x，AC=l，∵AD2=CD?AC，2∴x=l×（l﹣x），∴x1=，x2=（舍去），∴线段AD的长度AC；（3）同理获得线段AE的长度AD；上边各题的结果反应：若线段AB分红两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比率中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金切割点7．解：D是AC的黄金切割点．原因以下：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，2∴AD=AC?CD，即D是AC的黄金切割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD均分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴AB=AC，∴=，AB=AC=2，BC=﹣1，2∴（﹣1）=2×（2﹣AD），AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金切割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连结EF．AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金切割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形组成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；22∴AH=（）=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，2∴AH=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金切割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，2∴BC=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金切割点．212．解：∵D在AB上，且AD=BD?AB，∴点D是AB的黄金切割点而点C是AB的黄金切割点，AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金切割点（AD＞BD），AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身材，依据题意得x：=，即x=×≈（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为时才是黄金身材．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金切割点．因为=，∴点M是AD的黄金切割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金切割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，2又∵S1=AP，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金切割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）知足≈的矩形是黄金矩形；2）由=k得，BP=1×k=k，进而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈；3）因为点P是线段AB的黄金切割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金切割线．4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金切割点Q，则AQ也是黄金切割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金切割线，故黄金切割线有无数条．21．解：依据已知条件得下半身长是160×=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则依据黄金切割的定义得：=，解得：x≈．故她应当选择左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；22∴AH=（6﹣2）a，2AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a，2∴AH=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金切割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，BE=1AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金切割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，BE=1AE==，∵EF=BE=1，AF=AE﹣EF=﹣1，AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金切割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个切合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直均分线分别交直线AB、BC获得点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连结GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，2222在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F+A'G=DF+DG，即，解得x=，即点G是AD的黄金切割点（AG＞GD）．29．解：（1）以下图；2）△BCD是黄金三角形．证明以下：∵点D在AB的垂直均分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB