导数在不等式中 应用

处的切线互相垂直.

－ln

－1.

＝2

＋2

222

2

2

2

＝e

－2e

2

＋1>

＋1>

2

＋1

成立.

2

的取值范围.

－1).

不等式能成立或有解求参数的取值(范围)

－e

的取值范围.

min

max1212maxmax12

12

minmin

－2ln

0

00

的取值范围.

＝1

(2)指数形式：e

进一步可得到一组不等式链：e>1＋ln

ln（

2＋1

有唯一公共点.

1＋ 2

1＋ 2

－x

－ln－x

＋ln

1.函数

0

围为(

B.(0，1)

－1＋ln

00的取值范围是(

23.已知

2

的取值范围为( A.[0，1]C.[0，e]

B.[0，2]D.[1，e]

5.函数

1212

6.已知

为常数).

的取值范围.

－x

－x

的最小值.

22

＝e2＋1

1

221

的取值范围.

处的切线互相垂直.

－12

2

－1＝1.

1－ln

2

2＋1＝

2

＋1>0，

＋1>0，

2

－ln

－1.

＝2

2

2

－ln

－ln

2

2

－ln

－1(

－ln

－1(

－ln

)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.

－1，e＋1；ln

＋1

－1

－1

＋2

22

＋2＝ln(＋2(

)在(1，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减.

(2)＝0.

－ln

－ln

2

>1，2 －122 2

－1 2

2

2222

2222

2222

2222

(1)＝0.

2

＝1

＝1

2

2

－ln

<－ln

∴只需要证－ln

2

在(0，1)上恒成立.

2

∈(0，1)，

＋2

>0，

2

2 1－2ln

2－1＋2ln

3 33

)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.

－ln

3 2 2

在(0，1)

－ln

＋1－1＝0

2

上单调递减.

∈R).

＝e

－2e

－2e(

－2e(

)＝

－2e.

＝e

)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.

max －1）e 2

min

得证.

minmax

2

＋1>

2

＋1>

2

＋1

2

处取得极小值，也是最小值.

min 2

成立.

的定义域为(0，＋∞).

＝－1

2

22

2

－2

2

＋1

2由(1)知

时取等号.

由(1)知

时取等号.

2

＋1

＋12

＋1)>＋12

2 2

max2

2

2

的取值范围.

－1.

2

2－1)，

2

2

－1，令

在(

＋1，无极小值.

max

＋1(

＝ln

在(0，1)上，)＝

)<0，)＝)是

max

的取值范围为[1，＋∞).

－1).

－2(2－1)，＋e

＝－3＋2.

≤－1

不恒成立.＋1

＋1

（22

max＋1＋1

e－1

不等式能成立或有解求参数的取值(范围)

－e

的取值范围.

－e

＝ln

，＋∞).

2

2

2

2

1－2ln

xhx

hx

min

max1212maxmax12

12

minmin

－2ln

0

00

的取值范围.

能成立.

1－ln

2

＝1

(2)指数形式：e

进一步可得到一组不等式链：e>1＋ln

≠1).ln（

2＋1

有唯一公共点.ln（即{

＋1

＋1)(

确.

2＋1＝e

2

1＋ 2

1＋ 2

)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.

2<0，所以不满足题意.

2<0，所以不满足题意.

2

＋ln

2

－x

＋1

－x

－ln

＋ln

＝1

＝1.

－1－ln

2

－ln

－1.

＋ln

＋1 －ln

2

max

＝1

－ln

＝ln

－x －x 1.函数

0

围为(

B.(0，1)

00

00

＝ln

0

0

0

－ln

0 －1＋ln

00的取值范围是(

－1＋ln

2

上有解.

)＝

A.[0，1]C.[0，e]

B.[0，2]D.[1，e]

2

恒成立.

（ln

（ln

2

1－ln

1－ln

min

的取值范围是[0，e].

2

5.函数

1212

－2sin

max由题意得|12

maxmin

6.已知

＋ln

)＝－ln

＋1＝－ln

的取值范围. 2 2

)上是减函数，在区间(，＋∞)上是增函数.

∈(0，1].max

的取值范围为[1，＋∞).B级

－x

－sin

，2

，2

，2

，2

∈Z).

－x

)＝e

－x

π－x

－x

π－x

－x

－x

≠0).

≠0).

的最小值.

－sin

0，

0，

0，

上单调递减.

0

0

0

0

0

恒成立相矛盾.

恒成立相矛盾.

22

＝e2＋1

1

221

的取值范围.

－1 2 2

－1.

)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.

－1<

－1

－1)和(1，＋∞)上单调递增.

＝2

－1，＋∞