直角坐标系的分离变量法

作业P22011.1.311.1.611.1.711.1.8直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第1页!u(x,t)的偏微分方程（齐次）u(x,t)的边条件（齐次）u(x,t)的初条件令T(t)满足的方程X(x)满足的常微分方程X(x)满足的边条件第二章直角坐标系中的分离变量法§1分离变量法简介一、基本思想和解题思路直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第2页!◆通过分别解X(x)和T(t),求出满足齐次方程齐次边条件的分离变量的形式解：◆把这些形式解迭加起来令其满足非齐次的定解条件，求出Cn，即为所求的解。直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第3页!【例】直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第4页!§2齐次方程、齐次边条件的

初值—边值问题特点：直接用分离变量法就可获得成功一、两端固定弦的自由横振动1.求解过程：（1）列出定解问题①直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第5页!x、t是两个独立变量，所以为了使0<x<l,t>0上式能处处成立，只能有一种情况：左＝右＝常量由（*）式得到：将形式解代入边条件：直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第6页!讨论：1）分离变量法的个目的已经达到分离为X(x)的常微分方程的边值条件T(t)的常微分方程思考：若方程或边条件之一为非齐次的，是否能直接成功地分离变量？2）②和③的解相乘构成的特解一定满足偏微分方程定解问题①中的齐次方程和齐次边条件。偏微分方程的定解问题直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第7页!边值问题的突出特点是：其解与的取值密切相关，本征值问题：含有待定参量的边值问题本征值：对应边值问题有非零解的参数n的取值本征函数：边值问题的非零解Xn

(x)所谓求解本征值问题就是将全部的本征值及相应的全体线性无关的本征函数求出来直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第8页!ⅰ.<0特征方程：通解：代入边条件上式可视为关于A、B的二元一次方程组，由方程理论知，二元一次齐次方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第9页!代入边条件：∴X(x)=0，即＝0不是本征值ⅲ.>0特征方程：通解：直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第10页!∴②的解为：④注：Ⅰ.n=0,＝0，X(x)＝0，所以n=0不能要Ⅱ.n<0，与n>0是线性相关的直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第11页!(4)求解相应的方程③的解（将本征值代入）特征方程：直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第12页!（6）通解1）通解u(x,t)一定满足齐次方程，齐次边条件。2）令通解满足非齐次初条件，从而求解迭加系数直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第13页!将算出的Cn，Dn代入通解所得的解就是满足①中方程、边条件和初条件的解。2.有关问题讨论（1）解的敛散性∵①的解为无穷级数形式直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第14页!（2）求解的主要步骤齐次泛定方程分离变量u=XTT(t)的常微分方程X(x)的常微分方程应的Tn求出相求出n、Xn(x)解本征值问题齐次边条件分离变量u=XTX(x)的边条件迭加特解得通解初条件代入通解求出迭加系数P213直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第15页!iii)iv)v)只能用图解法解出直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第16页!（4）解的物理意义i)特解un(x,t)代表弦上的本征驻波相位因子振幅因子直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第17页!b)弦上各点振动的位相相同各点的位相没有超前和落后之分，即弦上各点同时离开平衡位置，同时取振幅的最大值又同时回到平衡位置，各点的振动是同步的。只与弦的性质有关，与初始条件无关c)振动的频率∴n—本征频率以本征频率振动的驻波，称为本征驻波直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第18页!二、求解两端自由的均匀细杆的纵振动，各点初始位移为cos(3πx/l)，初速度为零。定解问题：①解：设形式解u(x,t)=X(x)T(t)代入①中方程及边条件得：②和③直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第19页!迭加特解得通解：代入初条件：(a)(b)注：∵所给初条件中的(x)、(x)满足使级数绝对收敛的条件∴ut(x,0)右侧级数中先逐次求导，再代入t=0直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第20页!物理意义：均匀细杆上发生的是具有与初始时刻相同振幅分布的振动t>0时，两端自由，没有外力使振幅加强或衰弱直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第21页!二、理论依据—线性迭加原理设：L、Mk

(k=1,2……m)为线性算子

u

i(i=1,2……n)为线性齐次定解问题的解则一定是线性齐次定解问题的解，其中Ci为任意常数即：直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第22页!三、处理的主要问题1.一维空间齐次方程，齐次边条件的定解问题2.一维空间非齐次方程，齐次边条件的定解问题3.一维空间非齐次边条件的定解问题4.多维空间的定解问题直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第23页!(2)分离变量设形式解:代入①中的方程两边同时除以(*)分析：右侧只是t的函数与x无关左侧只是x的函数与t无关直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第24页!∵T(t)≠0整理得：②③其中：为待定常数直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第25页!（3）求解常微分方程的边值问题——本征值问题初值问题与边值问题的区别对自变量t同一点(t=0)给出的不同初条件初值问题边值问题对自变量中两个不同的端点提出的条件直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第26页!下面求解本征值问题②：②因为是厄米算子，本征值一定是实数特征方程：直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第27页!∴A、B只有零解→X(x)=0∴<0不是②的本征值（因为<0时所有情况都不能得到X(x)的非零解）ⅱ.＝0解得：直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第28页!代入边条件：两分子乘积为零只有是：因为B=0不可取（X(x)不为零），所以只有直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第29页!例：与∴只取n>0Ⅲ.与线性相关∴取④式即为②的解满足边值问题的解不止是④所表达的这些，但线性无关的就是这些直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第30页!(5)构成特解一个本征值n一个特解un(x,t)一个n特解满足：齐次方程：齐次边条件：但一般不满足初条件：直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第31页!直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第32页!级数的收敛性，主要由初条件所给的两个函数(x)和(x)定，要求：(x)是有连续的一、二阶导数，分段连续的三阶导数(x)具有连续的一阶导数，分段连续的二阶导数保证u(x,t)是绝对且一致收敛，可逐项求导两次，得到的级数仍然是绝对且一致收敛直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第33页!(3)关于常微分方程的本征值问题(*)i)ii)直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第34页!本征值问题(*)的共同特点：a)本征值n为实数b)本征函数{X

n(x)}是[a,b]上的正交完备系(*)直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第35页!a)对应某一确定的时刻t，空间各点的振幅不同对于的点，振幅最大()称作波腹对于的点，振幅最小(=0)，称作波节可以算出波节的位置：共有n+1个节点直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第36页!ii)u(x,t)代表弦上实际发生的振动u(x,t)是各次本征驻波迭加的结果，而各次本征驻波在实际振动中所占的比重由初始条件而定。思考：解的形式直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第37页!解本征值问题②将n代入③解Tn(t)n≠0时：n=0时：直角坐标系的分离变量法共40页，您现在浏览的是第38页!分析：(a)(b)两式的两侧都是按同一正交完备系展