平面向量(附例题-习题及答案)

平面向量(附例题-习题及答案)平面向量(附例题-习题及答案)平面向量(附例题-习题及答案)平面向量(附例题-习题及答案)编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:向量的线性运算一．教学目标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4.理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5.理解用坐标表示平面向量的共线条件。二．知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有又有称为向量；（2）向量的大小（或称模）：有向线段的表示向量的大小；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平行向量），叫做相等向量。2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则。b.向量加法满足的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法a.定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即=-。b.三角形法则：“共始点，连终点，指向被减”。（3）数乘向量a.定义：一般地，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa.b.数乘向量满足的运算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b）=3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件平行向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则一定存在，使。（2）轴上向量的坐标运算4.向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理如果是一平面内的的向量，那么该平面内的任一向量a，存在，使。（2）平面向量的正交分解定义：把一个向量分解为，叫做把向量正交分解。（3）向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。（4）向量的坐标运算向量坐标的加减与数乘若a=(a1，a2），b=（b1，b2），则a+b=（a1+b1，a2+b2），a-b=（a1-b1，a2-b2），λa=（λa1,λa2）.（5）用平面向量坐标表示向量共线条件两个向量a，b平行的条件：a=λb，b≠0.若a=（a1，a2），b=（b1，b2），代入上式，得（a1，a2）=λ（b1，b2）=（λb1，λb2），即a1=λb1，a2=λb2,，整理得a1b2-a2b1=0①①式就是两个向量平行的条件。若向量b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0，①式可化为a1:b1=a2:b2，即两个向量平行的条件是，相应坐标成比例。三．典型例题例1.给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c。其中，正确命题的序号是____________例2．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设＝a，＝b，求．例3.已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，c=2e1－9e2，其中e1、e2不共线，求实数λ、μ，使c=λa+μb.例4.设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上例5.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．例6.已知向量a＝(cosEQ\F(α,2)，sinEQ\F(α,2))，b＝(cosEQ\F(β,2)，sinEQ\F(β,2))，|a－b|＝EQ\F(2EQ\R(,5),5)，求cos(α－β)的值．例7.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，e1＝a＋2b，e2＝2a－b，且e1∥e2，求x．例8.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．AMBCAMBCDP(2)当||＝||时，求点P的轨迹．四．巩固练习1．等于________．2．若向量a＝（3，2），b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是________．3．已知A（－1，2），B（2，4），C（4，－3），D（x，1），若与共线，则||的值等于________．4.已知向量（ ）A． B． C． D．5．已知向量a＝（3，-1），b＝（-1，2），则-3a-2b的坐标是（ ）A．（7，1） B．（-7，-1） C．（-7，1） D．（7，-1）6．已知a＝（-1，3），b＝（x，-1），且a∥b，则x等于（ ）A．3 B．-3 C．EQ\F(1,3) D．-EQ\F(1,3)7．在平行四边形ABCD中，若，则必有( )A． B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形8．将按向量a=（-EQ\F(π,6)，1）平移后的函数解析式是( )A． B．C． D．9．已知，求线段AB的中点C的坐标。10．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）试求向量2＋的模。五．作业反馈1．将点A（2，4）按向量a＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是______．2．已知∥，则x+2y的值为_____.3．点（-3，4）关于点B（-6，5）的对称点是（ ）A．（-3，5） B．（0，） C．（-9，6） D．（3，）4．已知点C在线段AB的延长线上，且等于( )A．3 B．EQ\F(1,3) C． D．-EQ\F(1,3)5．设两个非零向量a，b不共线，且ka+b与a+kb共线，则k的值为( )A．1 B．-1 C． D．06．已知向量a=()（）,b=()（1）当为何值时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底；（2）求|a－b|的取值范围。答案例1：②③；例2：解：＝－＝EQ\F(1,4)(＋)－＝－EQ\F(3,4)a＋EQ\F(1,4)b例3：解:＝λ＋μ2－9＝(2λ＋2μ)＋(－3λ＋3μ)2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1例4：解：设(∈R)化简整理得：∵，∴故时，三向量的向量的终点在一直线上．例5：解＝＝(－1，)，＝＝(1,)，即C(1,)例6：解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝例7：解:＝(1＋2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1＋2x)＝4(2－x)x＝EQ\F(1,2)例8：解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，得x0＝10y0＝6即点C(10，6)(2)∵∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36(y≠1)∵M为AB的中点 ∴P分的比为设P(x，y)，由B(7，1)则D(3x－14，3y－2)∴点P的轨迹方程为巩固练习：1.0；2.（-3，4）；3.EQ\R(,73)；4.D；；；；；9.解：设10.解：∵＝（0－1，