山西省大同市第一中学2020届高三下学期2月命制数学(理)试题

，N

，则M

I

N

（ 1.已知集合M

）A.

A.

B.

C.

D.

，N

， 【详解】Q

M

【解析】【分析】根据函数定义域要求和一元二次不等式解法求得集合M

，进而由交集定义求得结果.

M

I

N

.故选：

.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域和一元二次方程的求解问题，属于基础题.2.已知复数

满足

i

．若

，则

的值为（ ）A.

B.

C.

【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算求得复数

，根据模长定义构造方程求得结果.【详解】Q

i

，

，解得：

.

i故选：

.【点睛】本题考查根据复数的模长求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.3.函数

的图象大致为（ ）A. B.C. 【答案】D【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。【详解】解：函数的定义域为

，

，则函数

为偶函数，图象关于轴对称，排除

B，当

时，

，排除

A，当

时，

，排除

C，故选：【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。

奇函数．当时，g

奇函数．当时，g

，且

g

,

,

，若

，则实数

的取值范围为（ ）A.

B.

C.

D.

【详解】当【详解】当时，，

g

，【解析】【分析】根据奇偶性可求得g

在时的解析式，由此可确定

的单调性，利用单调性可将所求不等式化为

，解一元二次不等式求得结果.

Q

g

为上的奇函数，g

g

，

,

,

，

在

上单调递增，

在

上单调递增，且当时，

，

在上单调递增，

由

得：

，即

，解得：

，

实数

的取值范围为

.故选：.【点睛】本题考查利用函数单调性求解函数不等式 问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.5.已知

展开式中含项的系数为，则正实数

的值为（ ）

B.

A.

C.

B.

A.

【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理可确定

展开式的通项，由此可确定含的项分别对应的r

的取值，进而确定系数.【详解】

展开式的通项公式为：r

r

r

r

r

rr

rr

.

展开式中含的项的系数为：

，解得：

或

.

为正实数，\

=

.故选：..【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项.6.函数

6.函数

的部分图象如图所示．若对任意R

，

恒成立，则实数

的最大负值为（ ）A.

A.

C.

【答案】A

可求得

，从而得到

解析式；【解析】

可求得

，从而得到

解析式；【分析】根据函数图象可确定

，由此确定

，利用

由

对称轴为

，采用整体对应的方式可确定

的取值，进而确定

的最大负值.【详解】由图象可知：

，

，解得：

.Q

Q

，

，解得：

，

，

，

，

，

.Q

，

关于直线

对称，

，解得：

，

则当

时，取得最大负数，此时

.故选：

.【点睛】本题考查根据正弦型函数的对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.7.如图所示的程序框图是为了求出满足

n

的最小偶数

，那么在输出的

值分别是（ ）

空白框中填入及最后A.

和

6

B.

和

6

C.

和

8

和

8【答案】D【解析】空白框中

依次加

可保证其为偶数，排除A，C时，

，时，

所以

选项满足要求．故选

．8.在平面直角坐标系中，

，

,，b

，,

bR

．当,,

C

三点共线时，uuur

uuur的最小值是（ ）A.

【答案】B【解析】【分析】

B.

C.

，uuurb，uuur

根据向量共线的坐标表示可求得

b

，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为

，uuurb，uuur

二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：

uuurQ

,,

C三点共线，

b

，即b

，

，uuur

uuur uuur

uuur

，即的最小值为.故选：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.9.已知双曲线

b

b

的右顶点、右焦点分别是,F

，焦距是，过点F

作轴的垂线与双曲线相交于,

C

两点，过点作直线的垂线交轴于点.若点到直线的距离不大于，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.

B.

C.

【详解】由题意得：【详解】由题意得：

，F

，直线为

，【解析】【分析】由直线方程与双曲线方程联立可得,

C

坐标，从而求得；由垂直关系可确定，进而得到直线方程，并求得点坐标；根据到直线距离d

可构造关于,的齐次不等式，进而求得离心率的取值范围.

由

得：

b

b

，则可设,

，C,

b

，

b

b

b

，则

b

，b

直线

方程为：

，令b

b b 即

，

b

，

到直线

的距离为d

b

b

，整理可得：

，即

，解得：

（舍）或

，

e

.故选：.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，涉及到两条直线垂直的位置关系的应用；关键是能够利用点到直线的距离构造出关于

,的齐次不等式，从而配凑出关于离心率

e的不等式，解不等式求得结果.10.谢宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢宾斯基在年提出，先作一个正三角形．挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢宾斯基三角形）．向图中第个大正三角形中随机撒粒大小均匀的细小颗粒物，则落在白色区域的细小颗粒物的数量约是（ ）A.

【答案】B【解析】

B.

C.

【分析】设第一个三角形的面积为，通过图形中的比例关系可确定黑色部分面积是首项为，公比为

的等比数列；通过计算第五个图形中黑色部分面积可确定白色部分面积；根据均匀随机数的思想可求得结果.【详解】设第一个三角形的面积为，则第二个图中黑色部分面积为

，第三个图中黑色部分面积为

，第四个图中黑色部分面积为

，第五个图中黑色部分面积为

第三个图中黑色部分面积为

，第四个图中黑色部分面积为

，第五个图中黑色部分面积为

， 则第五个图中白色部分面积为

则第五个图中白色部分面积为

，则落在白色区域的细小颗粒物的数量为：

.故选：.【点睛】本题考查均匀随机数思想的应用，关键是能够通过观察得到黑色部分的面积成等比数列的特点.11.已知等边的边长为

，M,N

分别为

,

的中点，将AMN

沿MN

折起得到四棱锥

．点为四棱锥

的外接球球面上任意一点，当四棱锥

的体积最大时，到平面距离的最大值为（ ）

B.

C.

B.

C.

【答案】A【解析】【分析】

由题意可确定当平面AMN

平面时，四棱锥的体积最大；根据四棱锥外接球的性质可确定球心的位置，利用勾股定理可求得球的半径

及球心到平面的距离，由此可知所求最大值为.【详解】如图，当四棱锥

的体积最大时，平面AMN平面，如图所示：则是四棱锥的外接球的球心，且

则是四棱锥的外接球的球心，且

DE

取的中点E，则E是等腰梯形外接圆圆心．设F

是AMN

的外心，作平面，

平面AMN，，

． 设四棱锥的外接球半径，则

，解得：

.

又

DF

，

当四棱锥的体积最大时，

到平面距离的最大值为：

.故选：.【点睛】本题考查立体几何中几何体外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球的性质确定球.心的位置，即球心必为过棱锥底面和侧面的外接圆圆心且垂直于底面和侧面的直线的交点的位置.

，13.设实数，满足

，则

的最小值为______.

【详解】由P

得：P

志愿者公益活动时长

（单位：时）近似服从正态分布N

，且P

，该校高学生中参加社区志愿者公益活动超过

小时的人数有，估计该校高一年级学生人数为_____【答案】【解析】【分析】由正态分布曲线的对称性可求得P

，由频数、频率和总数的关系可求得结果.

P

.

估计该校高一年级学生人数为：

人.故答案为：

.【点睛】本题考查正态分布问题的求解、利用频率、频数求解总体容量的问题；关键是明确频数

总数

频率.

…【答案】

【解析】【分析】作出可行域,观察可得,当

过点

时，

有最小值,再联立方程组解得最优解C的坐标后,代入目标函数即得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当

过点时，

有最小值；解得

即

C解得

即

C

,

，

故

的最小值为

．uuur【点睛】本题考查了线性规划求最值,属中档题.uuur14.已知抛物线

的焦点为F

，准线为

l，

是l上一点，是直线PF

与抛物线的一个交uuur uuur点．若

，则

_____．【答案】【解析】【分析】

P

P

,，m,

m

uuur

uuur，根据

可构造方程求得m

，利用抛物线定义可求得结果.【详解】由抛物线方程知：F

，准线l【详解】由抛物线方程知：F

，准线l:

.

m

m

r

m

uuur设P

,，m,

，则m,

，FQ

m, ， uuur

uuur

m

，

m

uuur

uuur

m

，故答案为：

.

，当五边形

的面积

故答案为：

.

，当五边形

的面积

时，

的取值范围为_____．由抛物线定义可得：

. 【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解问题，关键是能够利用向量共线的坐标运算构造方程求得抛物线上点的坐标，进而利用焦半径公式求得结果.15.在平面五边形

中，已知

o

，∠C

o，

，o

，

，【答案】,3)

5]【解析】【分析】在中利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求得；根据角度关系可知四边形

为等腰梯形，设

，可利用

表示出等式求得结果.

，从而得到

，根据

的范围可构造不【详解】Q

，

，

，解得：

，

，

.Q

C

，

，即四边形

为等腰梯形，设

，则DE

，

，

，即

，

解得：

或

，即

的取值范围为

U.故答案为：

U.【点睛】本题考查解三角形的相关知识在平面几何中的应用问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用、一元二次不等式的求解；关键是能够利用面积桥的方式将五边形面积表示为四边形面积与三角形面积之和的形式.

16.如图，四棱柱

C

中，

平面

，四边形

为平行四边形，

，

．（）若I

，求证：

//平面；（）若，CC

，求二面角CC

的余弦值．【答案】（）见解析；（）

．【解析】【分析】（）连接，交

C于点

，可证得四边形

为平行四边形，从而得到

//

，根据线面平行的判定定理可证得结论；（2）在中，由余弦定理可求得

，进而得到

；由线面垂直的性质和判定定理可证得

平面CC

；作CE

C

，可知即为所求二面角的平面角，由长度关系可求得结果. 【详解】（）证明：如图所示，连接

，交

C

于点

，连接

．

，

，

，

//

，

//

，

四边形

为平行四边形，

//

，Q

平面

，

平面

，

//平面

. （2）解：

四边形

为平行四边形，

，

o，

，

.设

，由余弦定理得：

，解得：，

，

，又

平面

，

//CC

，

平面

， 又

平面

，

CC，Q

CC

,

平面CC

，CC

I

C

，

平面CC

作CE

C

，垂足为E，连接，则

C，

CE

CE

CE

，即二面角CC

的余弦值为

.

，

CE

，

【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、二面角的求解问题；求解二面角的关键是能够根.据二面角平面角的定义，利用垂直关系得到二面角的平面角，进而放到直角三角形中来进行求解.17.近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至

年底，中国铁路运营里程达

万千米，这个数字比年增长了倍；高铁运营里程突破万千米，占世界高铁运营里程的以上，居世界第一位．如表截取了

年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）．

已知高铁密度

与年份代码之间满足关系式

b（,b为大于

的常数）．（）根据所给数据，求

关于的回归方程（精确到

位）；（）利用（）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过

千米/万平方千米．参考公式：设具有线性相关系的两个变量,

的一组数据为

,i i

i

,，则回归方程

的系数：b

，

ni

i

inii

参考数据：

参考数据：

，

，

，

，

ii iii i

i

ii

i【详解】（）对

b

【详解】（）对

b

b

两边取自然对数得：

b

.【答案】（）

；（）

【解析】【分析】（）对

b两边取自然对数得到

b

，知

与具有线性相关关系；利用最小二乘法可求得b,，进而整理得到结果；（）根据题意可构造不等式

，解不等式求得的范围，进而确定结果. 令i

i，i

i，i

,，则

与具有线性相关关系；

n

i

i

i

in

i

i

i

i

，

i，18.设函数

，过点C

作轴的垂线

l

交函数

图象于点

，以

为切点作函数

18.设函数

，过点C

作轴的垂线

l

交函数

图象于点

，以

为切点作函数（）由（1）知：

，Q

高铁密度超过

千米/万平方千米，即

，即

，

，解得：

，即当时，高铁密度超过

千米/万平方千米.预测

年，高铁密度超过

千米/【点睛】本题考查非线性回归方程的求解、最小二乘法求解线性回归方程、利用回归方程求解实际问题；求解非线性回归方程的关键是能够通过运算进行转化，得到线性相关关系，进而利用最小二乘法求得结果.

图象的切线交轴于点C

，再过C

作轴的垂线l

交函数

图象于点

，

，以此类推得 点

n，记

n的横坐标为n

，

N

．（）证明数列n

为等比数列并求出通项公式；g

g

的图象相交于点

，记b

（其中为坐标原点），

n

n

n

n

uuuur

uuuur【答案】（）证明见解析，

；（【答案】（）证明见解析，

；（）

【解析】【分析】

n

．（）根据导数的几何意义可求得以点n

n

,

n

为切点的切线方程，代入

可求得

，由此可得数列

为等比数列，根据等比数列通项公式求得结果；n（2）根据向量数量积的坐标运算可求得

b（2）根据向量数量积的坐标运算可求得

b

，利用错位相减法可求得结果.【详解】（）证明：Q

函数

，

，

以点n

n

,n

为切点的切线方程为：n

n

，n 当

时，

，即

，

，

，数列

是以为首项，

为公比的等比数列,

.n

（2）解：由题意得：n

,n

（2）解：由题意得：n

,n

，

b

，uuuur

uuuur

…①，则

则

…②，

①

②得：

①

②得：

n

n

n n

.

n【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前

项和，涉及到利用导数求解曲线在某点处的切线方程、平面向量数量积的坐标运算等知识；关键是明确在数列求和时，需要根据通项公式的形式准确选择求和方法，当通项公式为等差

等比时，需采用错位相减法求和.19.已知过椭圆

:

b

b

的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形

（是第一象限内的点）的面积为

，且过椭圆的右焦点F

的倾斜角为的直线过点．（）求椭圆

的标准方程

；（）的面积为定值

．（）若射线

；（）的面积为定值

．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．

【答案】（）

b

时，试问的面积【解析】【分析】（）根据矩形面积、直线DF

斜率和椭圆,

b,关系可构造方程组求得,

b,，进而得到椭圆标准方程；（）当直线斜率存在时，设方程为

m

，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得

，点到直线公式求得点

到直线距离d

，进而表示出

；根据

，代入韦达定理形式化简可得

m

，代入

中化简得到

；当直线斜率不存在时，可求得P,

两点坐标，进而求得

；综合两种情【详解】（）由题意得：

,

b

，F【详解】（）由题意得：

,

b

，F

，b

，

.

直线DF

的斜率

b

，b

， b 由b

得：b

，

椭圆

的标准方程为

b

由b

得：b

，

椭圆

的标准方程为

b

（）的面积为定值

，理由如下：

.

设P

,

，

,

， 由

得：

由

得：

kmxm

，

m

则

m

m

m

，即m

，km

m

km

m

m

，又点到直线的距离又点到直线的距离d

m

m

m

d

.yy

yy

km

m

m

，

，

m

m

化简可得：m

，满足

，

mm

mm

m

②当直线斜率不存在时，

，

，

Q

，

，

且

，可设

P,

P,

的坐标分别为

，

，

此时

；综上所述：的面积为定值

.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积定值问题的求解；求解定值的关键是能够将所求面积利用变量表示出来，根据变量之间的关系化简可求得定值，属于常考题型.20.已知实数

，函数

（）讨论函数

单调性；

，

．（（）若

是函数

的极值点，曲线

在点P

,

，

,

处的时，

在

上单调递减；当,时，

在

上【答案】（）当单调递减，在

时，

在

上单调递减；当,时，

在

上【答案】（）当单调递减，在

上单调递增；（） ．

【解析】【分析】（）求导后得

；分别在

和

两种情况下，根据

的符号可确定

的单调性；（2）由极值点定义可构造方程求得

，得到

和

；根据导数的几何意义可求得在P,

处的切线方程，进而求得

b

,

b；由l

//l可求得

,的关系，同时确定的取值范围；将

bb

化为

，令

，g

，令

，g

，利用导数可求得g

的单调性，进而求得

【详解】（1）

①当

【详解】（1）

①当

，即

时，

，

在

上单调递减；②当

，即

,时，当

时，

；当

时，

，

在

上单调递减，在

上单调递增.时，

在

上单调递减；当,时，

在

上单综上所述：当上单调递增.

解得：

或（舍），此时

，

l

方程为：

，

. Q

，

，

.

调递减，在

（2）

是

的极值点，

，即

，

.

；同理可得：

b

；同理可得：

b

.

，整理得：

，

，

又

，则

，解得：

，

.

，

，则

设g

设g

，g

，

g

在

上单调递增，又g

g

在

上单调递增，又g

，g

，g

，b

b

的取值范围为 .即

在直角坐标系

中，曲线C的参数方程为

（

是参数），以坐标原点

为极

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、极值点的定义、导数的几何意义、利用导数求解参数的取值范围等问题；关键是能够通过构造函数的方式将所求式子的范围转化为函数值域的求解问题.

21.[选修

4-4：极坐标与参数方程]

点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C的极坐标方程为

.（1）求曲线C的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；与曲线C交于，

两点，与曲线

C交于与曲线C交于，

两点，与曲线

C交于，

两点，求

，得到曲线

C

的直角坐标方程；（）设点

、

的极坐标分别为

,

，

,

，【答案】(1)

C

的极坐标方程为

.曲线C

的直角坐标方程为

.

(2) 【解析】【分析】

先得到C

的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将

代入得 分别代入曲线分别代入曲线C、C极坐标方程得：

，

，

，之后进行化一，可得到最值，此时

，可求解.

【详解】（1）由

得

，

将 代入得：