导数与其他知识交汇综合讲义1 导数与函数

m

m

．设

g

m

m

．设

g

方程的根的问题

若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为（ ）A．

B．

C．

．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】选择【关键词】令

(

)

，

(

)

)

，要方程有三个不同实根，必须

（否则．

，

单调增长，最多只有一根）．此时

在

,

上单调增加，在

, 上单调减少，在

,

上单调增加．要

有三个零点，当且仅法

，且

．解得

．【答案】B

已知二次函数

g

的导函数的图像与直线

平行，且

g

在

处取得极小值 ．⑴若曲线

上的点

到点

，

的距离的最小值为

，求m

的值；⑵若函数

有且仅有一个零点，求

的值，并求出相应的零点．⑶R

如何取值时，函数

存在零点，并求出零点．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，广东，高考，题⑴依题可设g

(

)

(

m

（

），则g

；又g

的图像与直线

平行，∴

，

．∴

g

m

m

，

g

m

，

，

，则

m

m

m≥

m

m

mm当且仅当

当且仅当

时，

取得最小值，即

取得最小值

m

，解得m

； 当m时，当m时，

m

，解得m

．⑵由

m

（

），得

m

①当

当

时，方程①有一解

，函数

有一零点

；当

时，方程①有一解

m

，解得

．此时有零点

m． m

⑶∵

，由⑵知，函数

存在零点

m

①有解．，函数

有一零点

；当

时，方程①有一解

，函数

有一零点

；

m

m

当当

时，方程①有一解

m

，

，此时函数

有一零点

m；m

方程①有二解

m

，若m，

，m，即

；，即

；函数

，即

；，即

；若m，

，m函数

有两个零点

m

)

m

)

m

)

m

)

)

综上，当

时，函数

综上，当

时，函数

有一零点

；当

（m）或

（m）时，函数

有两个零点

；当

时，函数

有一零点

m．【答案】⑴m

；⑵

，零点

m

；⑶当

时，函数

有一零点

；当

（m）或

（m）时，函数

有两个零点

；当

时，函数

有一零点

m． m m

m

)

m

mm m m

m

)

m

已知函数

(

)

(

b为奇函数，⑴求

的解析式；⑵求

(

)的单调区间．⑶若

m有三个不同的实根，求m

的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】b⑴∵函数

是奇函数，所以

，于是

(

)

，b⑵∴

(

)

， ∴当时，

(

)；当

时，

所以

在

上单调递减，在

与

上单调递增．⑶

(

)

(

，

(

)

，极大 极小当

时，

；

当

时，

，故当m

时，

m有三个不同的实根． 【答案】⑴

(

)

；⑵

在

上单调递减，在

与

⑶m

．

设函数

，已知g

是奇函数．⑴求b

、

的值．⑵求g

的单调区间与极值．⑶若g

m有三个不同的实根，求m

的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，安徽，高考⑴∵

，∴

．从而

g

(

)

(

)

(

)

)

(b

(b)

是一个奇函

；数，故b

；

b

设函数

．所以

m

设函数

．所以

m，得m

，即m

的最大值为 ；所以当

时，

取极大值

；故当

或

时，方程

仅有一个实根．解得或

．故的取值范围为

．【答案】⑴ ；⑵，

U

，． 由此可知，， 和

是函数g

的单调递增区间；

是函数g

调递减区间；g

在

时取得极大值，极大值为

，g

在

．⑶当

时，g

；当

时，g

，故当m

时，g

m有三个不同的实根．【答案】⑴b

,

； ⑵， 和

是函数g

的单调递增区间；

是函数g

间；g

在

时取得极大值

，g

在

时取得极小值

．⑶m

．⑴对于任意实数，

m恒成立，求m

的最大值；⑵若方程

有且仅有一个实根，求的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，江西，高考，题⑴

(

)

，因为，

m，

即

m)≥恒成立， ⑵因为当

时，

；当

时，

；当

时，

；当

时，

取极小值

；（而当

时，

；当

时，

；注：标准答案没有这一段，默认了三次函数的两边趋于无穷大的特征）

已知函数

(

)

的极小值为，其导函数

的图象经过点

，如图所示．⑴

求

的解析式；⑵

若函数

在区间

上有两个不同的零点，求实数的取值范围．

(

(

)

，令

，解得

或

．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，海淀，高三，第一学期，期中测试b⑴

(

)

，且

的图象过点

，b所以为

的根，代入得：b

……①由图象可知，

在

时取得极小值，即

，得b

……②由①②解得

．∴

(

)

．⑵

由题意，方程

在区间

上有两个不等实根，即方程

在区间

上有两个不等实根．可列表：

极大值

(

)极大值

－

＋

－极小值

或

在区间

上有两个不等实根，

b

b

即函数

在区间

上有两个不同的零点．【答案】⑴

(

)

；⑵

或

．

已知二次函数

满足：①在

时有极值；②图象过点，且在该点处的切线与直线

平行．⑴

求

的解析式；⑵

求函数g

(

)

(

)的单调递增区间．⑶求g

在

，

上的最大值与最小值．⑷关于的方程g

m最多有几个解并求出此时m

的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】

(

)

b

b

(

)

g

(

)

(

)

g

(

)

(

g

g

由表可得：函数g

的单调递增区间为和

．⑶由⑵知，g

在

时取到极大值

；在

时，取到极小值，又

g

，故g

在

，

上的最大值为

，最小值为；⑷作出g

m

时，g

m有四个解，为解最多的情况．【答案】⑴

(

)

g

的单调递增区间为和

．⑶

当m

时，g

m有四个解，为解最多的情况．

设函数

m

，其中常数m

为整数．⑴当m

为何值时，

≥；⑵定理：若函数

g

在

，b上连续，且

g

与

gb异号，则至少存在一点

，b

，使

g

试用上述定理证明：当整数m

时，方程

在emm，emm内有两个实根．【考点】导数与函数综合【关键词】，广东，高考

【难度】

星

【题型】解答⑴函数

m，m

连续，且

m

m

m

．令

得

m

．当mm时，

，

为减函数，

m；当m

时，

，

为增函数，

m．根

据

函

数

极

值

判

别

方

法

，

m

m

为

极

小

值

，

而

且

对

m

都

有

m

m．故当整数m≤时，

m；⑵由⑴知，当整数m

时，

m

m，函数

m在

mm，m]上为连续减函数．

mm)

mmmmm)

m

，当整数m

时，

mm)

与

m异号，由所给定理知，存在唯一的

mm，m)，使

(

)

， 而当整数m

时，

mm)

mm，记g

(

)

，则g

(

)

，当

时，g

，故g

在

上单调递增，从而g

g

．故

mm)

mm

．类似地，当整数

m

时，函数

m

在m，mm]上为连续增函数，且

m与

mm)异号，由所给定理知，存在唯一的

m，mm]，使

(

)

． 故当m

时，方程

在

mm，mm]内有两个实根．【答案】⑴m≤；⑵见解析．

已知

是二次函数，不等式

的解集是，且

在区间

，

上的最大值是

．⑴求

的解析式；⑵是否存在自然数

m

，使得方程

在区间

mm

内有且只有两个不等的实数∴可设

∴可设

，它的图象为开口向上的抛物线，对称轴为

．⑵方程

等价于方程

．当

，

时，h

，h

是减函数；当

，时，h

，h

是增函数．∵

，

，

，∴方程h

在区间

，

，，

内分别有惟一实数根，而在区间

，内所以存在惟一的自然数m

在区间mm

内有且只有两个不同⑴

(

)

，令

得

，变化时，

变化如下：【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，福建，高考⑴∵

是二次函数，且

的解集是，∴

在区间

，

上的最大值是

．由已知得

，∴

，∴

(

)

(

(

R

)．设(

)

则(

)

．

没有实数根，的实数根．【答案】⑴

(

)

；⑵存在，m．设为实数，函数

(

)

，⑴求

的单调区间与极值；⑵当在什么范围内取值时，方程

仅有一个根．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，全国，高考 ，

，

+

+

极大值 极大值 极小值∴

∴

的单调递增区间为，

与；单调递减区间为

，；

的极大值是

的极大值是

，极小值是

．⑵易知足够大时，

；足够小时，

，所以

与轴至少有一个交点．由

的单调性知：当

的极大值时，极小值也，

与轴仅有一个交点；综上可知当

或

时，

与轴只有一个交点，此时可解出

或

．综上可知当

或

时，

与轴只有一个交点，此时可解出

或

．【答案】⑴

的单调递增区间为，

与；单调递减区间为

，；极大值是

，极小值是

．⑵

,

U

,

)．已知函数

b在

处有极值．

,

b【考点】导数与函数综合 【难度】

星

【题型】解答

b

b

b

b b

,

【答案】⑴

,

,

,

,

,

,

,

,

b

b 已知函数

b

b

．⑴若

，函数

的图象能否总在直线

b

的下方？说明理由？⑵若函数

在，

上是增函数，求的取值范围．⑶

设

，

， 为

方

程

的

三

个

根

，

且

，

，

，

，

，

U

，

，求证：

．【考点】导数与函数综合 【难度】

星

【题型】解答【关键词】，西城，一模，题⑴当

时，

b，因为

b

b，所以，函数

的图象不能总在直线

b

的下方．令

，解得

或

，当时，由

令

，解得

或

，当时，由

，解得

，所以

只在 ，

上是增函数，与题意不符，舍去； 当

时，由

，解得

，所以

在，

上是增函数，又

在，

上是增函数，所以 ，解得≥

，，从而

，解得

． 当

时，由

≤，与题意不符，舍去；

综上，的取值范围为

，

．⑶因为方程

b

最多只有

个根，由题意，得在区间

，内仅有一根，所以

b

b

， ①同理

b

b

， ②当b时，由①得

b，即

b

，由②得

b，即

b

，因为b

b

，所以b

，即

；当b时，由①得

b

，即

b

，由②得

b

，即

b

，因为b

b

，所以

b

，即

．当b时，因为

，所以

有一根，这与题意不符．综上，

．注：在第⑶问中，得到①、②后，可以在坐标平面内，用线性规划方法解．【答案】⑴略；⑵

，

；⑶略．图象的交点问题已知直线

与曲线

有交点，则

的最大值为（ ）A．e B．e C．e ．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】选择【关键词】结

合图象知，当直线

与曲线

相切时，

有最大值．设切点为 (

,

)

，有

【答案】B直线

eb

（e为自然对数的底数）与两个函数

(

)

，g

的图象至多有一个公共点，则实数b的取值范围是__________．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】填空【关键词】，丰台，二模，题

(

)

g

e

(

)

e

eg

e

g

e

e b

,

【答案】

,

已知函数

(

)

⑴

求

的单调区间；⑵

若

在

处取得极值，直线

m与

的图象有三个不同的交点，求

m

的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】

星

【题型】解答

⑴

，当时，对

R

，有

，∴当时，

的单调增区间为

，

．当

时，由

解得

或

；由

解得

，∴当

时，

的单调增区间为

，单调减区间为

．⑵

∵

在

处取得极值，∴

，∴

．∴

，

，由

解得

，

． 由⑴中

的单调性可知，

在

处取得极大值

，在

处取得极小值

．又

，

，

的图象大致如下．

y=m

所以只需hh，解得的范围为

．∵直线

m与函数

的图象有三个不同的交点，结合

的图象可知，m

的取值范围是

，

．【答案】⑴当时，

的单调增区间为

，

．当

时，

的单调增区间为

，单调减区间为

．⑵m

的取值范围是

，

．g已知函数

，其中

是

的导函数．g⑴对满足≤≤的一切的值，都有g

，求实数的取值范围；⑵设

m，当实数m

在什么范围内变化时，函数

的图象与直线

只有一个公共点．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，四川，高考⑴由已知有g

(

)

，令()

)

，h是的一次函数，

⑵

(

)

m

与

只有一个交点，就是方程

m

只有一个实数根．易知方程至少有一个实数根．当m时，显然

只有一个实数根；当m时，令(

)

m

，h

m

m

的根为m，h

的单调性如下表：

m m m

m m m

h

h

极大值

极小值

【答案】⑴

，；⑵m

．令

，解得

或

；令

【答案】⑴

，；⑵m

．令

，解得

或

；令

，解得

．所以

的单调递增区间为

，

的单调递减区间为．g

(

)

，令g

(

)

，所以

，或m

m

m

，解得

m

或

m

．综上，当m

时，

的图象与

只有一个交点．

已知函数

(

)

b．⑴

当

时，求函数

的单调区间；⑵

若函数

的图象与直线

只有一个公共点，求实数

b的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，海淀，高三，第一学期，期中测试⑴

(

)

⑵

因为函数

的图象与直线

只有一个公共点，所以方程

b

只有一个解，即

b

只有一个解．令

g

(

)

b，则其图象和轴只有一个交点， 可列表：

g

＋

－

＋极大值g

b

极小值b

所以，g

所以，g

在

处取得极小值b，在

取得极大值

b，

只要

或

，

【答案】⑴

的单调递增区间为

，单调递减区间为． 要使g

(

)

b的其图象和轴只有一个交点，b

b b

b解得b或b

． 已知函数

，且

已知函数

，且

．⑴

试用含的代数式表示b

；⑵

求

的单调区间；⑶

令

在

，

M

证明：线段MN

与曲线

存在异于M

N

的公共点．

，N

，⑵

由⑴得

⑵

由⑴得

，【关键词】，福建，高考⑴

依题意，得

b．由

b

得b

．故

．令

，得

或

．①当

时，

．当

变化时，

与

的变化情况如下表：

，

，

，

单调递增

单调递减

单调递增⑶

当

时，得

，由

⑶

当

时，得

，由

，得

，

故M

N

，所以直线MN

的方程为

．

由

，得

．

②当

时，

．此时，

≥

处

的单调增区间为R．③当

时，

，同理可得函数

的单调增区间为

，

和

，

，单调减区间为

，

．综上：当

时，函数

的单调增区间为

，

和

，

，单调减区间为，

．当

时，函数

的单调增区间为R； 当

时，函数

的单调增区间为

，单调减区间为 由⑵得

的单调增区间为

，

和

，

，单调减区间为

，所以函数

在

，

处取得极值．

令F(

)

，易得F

，F

，而F

的图像在

，

内是一条连续不断的曲线，故

F

在

，

内存在零点

，这表明线段MN

与曲线

有异于M

N

的公共点．当然也可以直接由F

有根

，将F

因式分解．F

，可得F

的第

个根为，．所以线段MN

与曲线

有异于M

N

的公共点，

⑴

(

)

mx

⑴

(

)

mx

mm

m(

，当m时，有

，当变化时，

与

的变化如下表：当

的单调增区间为

，

和，

，单调减区间为

，

．当

时，函数

的单调增区间为R

； 当

时，函数

的单调增区间为

，单调减区间为 ⑶略．

(

)

mx

m

m

，其中mR

．⑴若m，求

的单调区间；⑵在⑴的条件下，当

，时，函数

的图象上任意一点的切线斜率恒大于

m，求m

的取值范围；⑶设

g

(

)

mx

m

mx

m，问是否存在实数

m

，使得

的图象与

g

的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出

m

的值；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】

mm

，

，

m

m

m

m

，

极小值 极大值 单调递减，在

，单调递增，在m

m单调递减，在

，单调递增，在m

m

又又m，所以

m

（

，）⑵由已知得

m，即mx

m

， m m

①

，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，设(

)

，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

m

m∴∴h

m m

h

，解之得m

解之得m

，又m，所以m

的取值范围为

；∴

⑶令

g

，则(

)

m因为

，要使函数

与函数g

有且仅有

个不同的交点，则函数

(

)

m的图象与轴的正半轴有且只有两个不同的交点

当

时，

，

是增函数；当

时，

，

是减函数；当,时，

，

是增函数；∴

有极大值

m；

有极小值

m

．【答案】⑴

在

单调递减，在

单调递增，在【答案】⑴

在

单调递减，在

单调递增，在上单调递减．⑵

，

；⑶存在，m或m

．所以要使

有且仅有两个不同的正根，必须且只须

或

，即m或m

，∴m或m

．∴当m或m

时，函数

与g

的图象有且只有两个不同交点．m

m m

g已知函数

(

)

，

(

)

m．g⑴求

在区间

，上的最大值h

；⑵是否存在实数

m

，使得

的图象与

g

的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m

的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，福建，高考⑴

(

)

(

．当

，即

时，

在

，上单调递增，(

)

(

(

；当≤≤

，即

≤≤时，h

；当

时，

在

，上单调递减，(

)

()

．综上，h

综上，h

；

∴

，⑵函数

的图象与

∴

，的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵(

)

m

，

当

时，

，

是增函数；当时，

，

是减函数；当

时，

，

是增函数；当

或

时，

．∴

(

)

m，(

)

m

．极大值 极小值∵当充分接近

时，

；当充分大时，

．∴

要

使

的

图

象

与

轴

正

半

轴

有

三

个

不

同

的

交

点

，

必

须

且

只

须

(

)

m

(

)

(

)

m

，即m

．【答案】⑴h

；⑵存在，m

的取值范围为【答案】⑴h

；⑵存在，m

的取值范围为

．值范围为

．

已知

是函数

的一个极值点．⑴

求；⑵

求函数

的单调区间；⑶

若直线

b

与函数

的图象有

个交点，求b的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】⑴

因为

，

所以

，

因此

；⑵

由⑴知，

，

，

，当

，

U

，

时，

；当

，时，

．所以

的单调增区间是

，

，

，

；

的单调减区间是

，

．⑶

由⑵知，

在，

内单调增加，在，内单调减少，在

，

上单调增加，且当

或

时，

，所以

的极大值为

，极小值为

．因为

e

所以在

的三个单调区间

，

，，

，

，

直线

b

与

的图象各有一个交点，当且仅当

b

．因此，b的取值范围为

，

．【答案】⑴

；⑵

的单调增区间是

，

，

，

；单调减区间是

，

．⑶

，

．已知函数

(

)

在区间

上单调递增，在区间上单调递减；⑴求的值；⑵是否存在实数b，使得函数g

(

)

的图象与函数

的图象恰有个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】⑴∵

在区间

上单调递增，在区间上单调递减，∴

，

(

)

，∴

．⑵由⑴知

(

)

，由

g

可得

，即

(

b)

．∵

的图象与g

的图象只有两个交点，∴方程

b

有两个非零等根或有一根为，另一个不为，∴

b

或b，∴b或b．【答案】⑴

；⑵存在，b或b．其它已知

，函数

定义域中任意的

,

(

)，有如下结论：

【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】填空【关键词】结合函数

的图象与导数的几何意义知，①正确，②错误；③正确，④错误．⑴设g

(

)

⑴设g

(

)

r

(p

，依题意得pm

qmr

，解得q

m．已知二次函数

g

的图象经过原点

、点

P(m，和点

P

(m，m（m，且 m

）．⑴求函数

g

的解析式；⑵设

n

g

（m），若

b

，b，求证：bm

．⑶在例题⑵的条件下，若m

，则过原点与曲线

相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】r

p

ppm

qm

r

m

r

解得

或

．则

，从而两切线的斜率分别为解得

或

．则

，从而两切线的斜率分别为

mn

m

mn，若两切线互相垂直，则

，∴

．此时有

，

mn

n

恒成立，则称函数

在,

b上为“凸函数”．已知

mx

．

mx

(

)

mx

m

m≤

m≥b⑵

nm

(m)

mnx

，∴

(

)

m)

mn

，b依题意得

是方程

的两个实数根，又

mn，

n

nmn，

m

mmn

，b n故两根

分布在区间、nm内，又b，∴bmb n⑶设

的过原点的切线对应切点的横坐标为

，则切线方程为

(

)

m)

mn](

)， 若此切线过原点，则有

(

m)(

)

m)

mn](

)， m 故

有两条过原点的切线，设对应的切点的横坐标分别为

，

，且

， m m

m

∴存在过原点且与曲线相切的两条互相垂直的直线．【答案】⑴g

(

)

mx

；⑵略；⑶能，证明略．设函数

在,

b上的导函数为

，在,

b上的导函数为

,

b上，

m

m

m

,

bb【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】

(

)

mx

(m

≤ m≤

m

(

)

mx

m

mx

mm

m

m

(b)【答案】⑴m；⑵(b)

(

已知函数

的图象在

,

b上连续不断，定义：

(

)

(

)≤≤}

,

b

(

)

()≤≤}

,

b

}

}

(

)

(

)≤

(

)

,

b

,

b

(

)

(

)

(

)

b

(

)

b

b【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】，海淀，二模，题

(

)

,

π]

(

)

π]

,

,

(

)

(

)

,

,

≥

≥

≤

(

,

b≤

b

(

)

(

)

b

(

)

≤

b

b

(

)

b

≤≤

≥

bb≤

b

b

b

bbb

b

b

(

)

≤

b【答案】⑴

(

)

,

π]

(

)

π]

b设

是定义在区间，

上的函数，其导函数为

．如果存在实数

和函数

，其中

对任意的

，

都有

具有性质P

．b

P

b

g

P

．给定

，

m

mx

m

m

mx

g

g

g

g

m

【考点】导数与函数综合 【难度】

星

【题型】解答【关键词】，江苏，高考

b

q

b

b

P

b

b≤

，

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

,

，

，

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b≤

，

b

g

g

()()

h

，

g

(

)

(

)(

g

，

g

g

gm

，

mx

m)g

g

g

mx

m)

，

，

g

g

b

b

b

b

g

b

b

b

b

m≤

mx

m

≥mx

m

m

mx

≤

m

mx

g

g≤g

g

≤g

g

g

g

g

m

≥

≤

≥

g

(

)

g

()

≥

g

(

)

g

(

)

m

，【答案】）略；（b≤

，

b

⑶，已知函数

(

)

，g

，⑴已知函数

，如果

m

是增函数，且

的导函数

存⑴由题意

⑴由题意

，从而

．

m⑵设F

，且

F

在

，

上单调递增，求实数

的取值范围．⑶试求实数

p

p

，关于的方程

pg

p

都有满足

的偶数根．【考点】导数与函数综合 【难度】

星 【题型】解答【关键词】 m由题意知h

在

，

上恒成立，

在

，

上恒成立，即

m

m

，所以m≤，又又

存在正零点，即

中的等号可以取到，∴m

，即m

e

；m⑵由题设得F

，对称轴方程为

，

．由于

F

在

，

上单调递增，则有

．时，有

，解得

．时，有

，解得

（Ⅱ）当即（Ⅱ）当即

或

时，

F

⑶注意到对任意

，为偶数，

p

的取值各不同， 设方程F

的根为

，

， ①若

，则 ，有

，解得≥；

，即

②若

，有

，，即

∴

≥

≥

≤≤

，解得

得到）

由①②得

或≥．综合（Ⅰ），（Ⅱ）有≤

≤或≥．

反证法证明如下：若

为不同的偶数，满足

，故对任意

，为偶数，

p

的取值各不同．函数

在区间上有下界，其中称为函数的下界．则去分母后因式分解得：(

故对任意

，为偶数，

p

的取值各不同．函数

在区间上有下界，其中称为函数的下界．由

都为偶数得

为奇数，故

，从而

，

．