1986年全国统一高考数学试卷

1986年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A．B．C．D．(3分)函数y二()-x+1的反函数是()A.y=logx+1B.y=log5+1C.y=log(x-1)D.y=logx-15x55（3分）极坐标方程表示（）A.一条平行于xB.一条垂直于x轴的直线轴的直线C.一个圆D.一条抛物线（3分）函数是（）A.周期为的奇函B.周期为的偶函数数C.周期为的奇函D.周期为的偶函数数（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A.1789B.1799C.1879D.1899（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么P是q成立的（）A.充分不必要条B.必要不充分条件件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（3分）如果方程X2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=EB．D=FC．E=FD．D=E=F（3分）在正方形SGGG中，E、F分别是GG及GG的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF1231223把这个正方形折成一个四面体，使G、G、G三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG123中必有（）A.SGX^EFG所B.SDX^EFG所C.GFX^SEF所D.GDX^SEF所在平面在平面在平面在平面（3分）在下列各图中，y二ax2+bx与y二ax+b（abHO）的图象只可能是（）A．B．C．D．（3分）当xe[-1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A．B．C．D．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．12．（4分）已知的值．（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0,0）、（1,0）、（2,1）及（0,3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.（4分）求.15.（4分）求展开式中的常数项.（4分）已知的值.（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点,求证：平面PAC垂直于平面PBC.（12分）当sin2x>0,求不等式（X2-2x-15）>（x+13）的解集.（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C,使ZACB取得最大值.（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，AGB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）CAUB且C中含有3个元素，（2）CGAH0（0表示空集）.（12分）过点M（-1,0）的直线气与抛物线y2=4x交于P.P?两点记：线段Pp的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L；L的斜率为k试把直线L的斜率与直线L的斜率之比表示2121为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.（12分）已知x>0,X]H1,且，（n=1,2,…）.试证：数列｛x｝或者对任意自然数n都满足xVx，或者对任意自然数n都满足x>x.n+1nn+123．附加题：（1）求y二xarctgX2的导数；（2）求过点（-1，0）并与曲线相切的直线方程．1986年全国统一高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)1．(3分)在下列各数中，已表示成三角形式的复数是()A．B．C．D．考点：复数的基本概念．分析：复数的三角形式是r(cos0+isin0),观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答：解：TZ二r(cos0+isin0),・*.Z=2(cos+isin),故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．(3分)函数y二()-x+1的反函数是()A.y=logx+1B.y=log5+1C.y=log(x-1)D.y=logx-15x55考点：反函数.专题：计算题.分析：本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log(x-1)即可选择答案.5解答：解：根据指数式与对数式的互化，由y=()-x+1解得x=log(y-1)5x,y互换得：y=log(x-1)5故选C点评：本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等.(3分)极坐标方程表示()A.一条平行于xB.一条垂直于x轴的直线轴的直线C.一个圆D.一条抛物线考点：点的极坐标和直角坐标的互化.专题：选作题；转化思想.分析：首先由极坐标与直角坐标系的转换公式，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形.解答：解：由极坐标与直角坐标系的转换公式，可得到乂=即是一条垂直于x轴的直线.所以答案选择B.点评：此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式的应用.计算量小题目较容易.(3分)函数是()A.周期为的奇函B.周期为的偶函数数C.周期为的奇函D.周期为的偶函

考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．解答：解：°・°y二sin2xcos2x二sin4x解答：・・・T=2nF4二，•・•原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数.把函数化为y=Asin（3x+©）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A．1789B．1799C．1879D．1899考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．6.（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么P是q成立的（）A.充分不必要条B.必要不充分条件件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点p考点p八、、专题分析解答压轴题.由题设条件知pnrnsnq.但由于r推不出p，所以q推不出p.解：依题意有pnr，rns，snq，・pnrnsnq.但由于r推不出p・q推不出p.故选A.点评：本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用.（3分）如果方程X2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=EB．A．D=EB．D=FC．E=FD．D=E=F考点：分析：解答：圆的一般方程.圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可.解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）中，D=E.故选A.点评：本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题.（3分）在正方形SGGG中，E、F分别是GG及GG的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF1231223把这个正方形折成一个四面体，使G、G、G三点重合，重合后的点记为G,那么，在四面体S-EFG123中必有（）A.SGX^EFG所B.SDX^EFG所C.GFX^SEF所D.GDX^SEF所在平面在平面在平面在平面考点：分析：空间中直线与平面之间的位置关系.根据题意，在折叠过程中，始终有SG丄GE，SG丄GF，即SG丄GE，SG丄GF,由线面垂直的判1133定定理，易得SG丄平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择.解答：解：•・•在折叠过程中，始终有SG丄GE，SG丄GF，1133即SG丄GE，SG丄GF，所以SG丄平面EFG.故选A.点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.9.（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y二ax+b（abHO）的图象只可能是（）A.B.C.D.考点：专题：分析：函数的图象与图象变化.压轴题；数形结合.要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（abH0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A,C；由二次函数常数项c为0,函数图象过原点，可排除B.解答：解：在A中，由二次函数开口向上，故a>0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y二ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故aV0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D.点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握.10.（3分）当xe[-1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A.C.B.D.考点：反三角函数的运用.

专题：分析：解答：压轴题；阅读型.利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项.解：当x在（-1,0）xG[-1,0]内变化时：由于0V1-X2V1,每个关系式的右端均为锐角•每个关系式的左端均为两项，第项均为n；考查第二项，由于arccos（-x）和arcsin（-x）均为锐角，所以n-arccos（-x）二钝角，（A）不正确.n-arcsin（-x）二钝角，（B）不正确.由于arcsinx为负锐角，所以n-arcsinx>n,（D）不正确.故选C.点评：本题考查反函数的运算，考查发现问题解决问题的能力，是中档题.二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．考点：分析：解答：指数函数综合题.将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解.解：•・•===••点评：••本题主要考查解指数方程的问题.注意方程两侧可都化成同底数后再求解.12.（4分）已知的值.考点：分析：解答：点评：复数代数形式的混合运算.3的值是1的一个立万虚根，32+3+1=0是它的性质.解：由==0本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题.13.（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0,0）、（1,0）、（2,1）及（0,3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.考点：专题：分析：棱柱、棱锥、棱台的体积.计算题.画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可.解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0,0）、（1,0）、（2,1）及（0,3）,这个四边形绕x轴旋转周所得到的几何体是：底面半径为3,高为2,上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=.故答案为：点评：本题是基础题,考查旋转体的体积,旋转体的图形特征,棱锥的体积,考查空间想象能力,计算能力,是常考题型.14.（4分）求.考点：专题：分析：极限及其运算.计算题.当x--时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.本题中，可将分子、分母都除以3n，再利用商的极限运算法则进行计算.

解答：解：原式=，又.则原式=.故答案是.点评：在求此类分式极限式时，注意到常用的技巧，分子分母同时除以3n.即可完成极限计算.15.(4分)求展开式中的常数项.考点：专题：分析：解答：二项式定理.计算题.利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项.解：展开式的通项T-(~1)r25-rCrX15-5rr+15令15-5r=0得r=3所以展开式的常数项为-22C3=-40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.16.(4分)已知的值.考点：分析：同角三角函数基本关系的运用.先对sin9-cos9=两边平方得到sinQcosQ-，再由sin30-cos30=(sin9-cos9)(sin2+sin9cos9+cos20)可得答案.解答：解：Tsin0-cos0二，・°・・°・sin0cos0二sin30-cos30=(sin0-cos0)(sin2+sin0cos0+cos20)=X(1+)=点评：本题主要考查已知关于三角函数的等式求3次三角函数值的问题.这里要注意三角函数的变形应用.17.(10分)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点,求证：平面PAC垂直于平面PBC.考点：专题：分析：平面与平面垂直的判定.证明题；综合题.要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可.解答：证明：连接ACTAB是圆O的直径・・・ZACB=90。即BC丄AC又TPA丄圆O所在平面，且BC在这个平面内・・・PA丄BC因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线ABC丨平面PAC・・・APBC所在平面与△PAC所在平面垂直.点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题.18.(12分)当sin2x>0,求不等式(X2-2x-15)>(x+13)的解集.考点：专题：分析：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法.计算题.由sin2x>0得到x取值范围；再接对数不等式，又得到x取值范围，最后将得到的这2个范围取交集即得原不等式的解集.

解答：解：满足sin2x>0的x取值范围是，（1）而由（X2-2x-15）>（x+13），得解得：-4VxV-3,5VxV7,（5）由（1）、（5）可知所求解集为（-n,-3）U（2n,7）.点评：本题考查对数函数的定义域，对数函数的单调性与特殊点，及一元二次不等式的解法.（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使ZACB取得最大值.考点：专题：分析：基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切函数.计算题；函数思想.首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B,求x轴的正半轴上点C,使ZACB取得最大值.故可以设A的坐标为（0,a）、点B的坐标为（0,b）,C的坐标为（x,0）记ZBCA-a,ZOCB-B,然后根据三角形角的关系，求出tana的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在内tana是增函数,即所得的角为最大角．解答：解：设点A的坐标为（0,a）、点B的坐标为（0,b）,0VbVa,又设所求点C的坐标为（x,0）.记ZBCA=a,ZOCB=3，则ZOCA二a+B.显然，.现在有tana二tg［（a+B）-B］二二.记，那么，当时，y取得最小值2因此，当时，tana取得最大值.因为在内tana是增函数，所以当时，ZACB取最大值.故所求点C的坐标为（，0）.故答案为（，0）.点评：此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目.（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，AGB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）CAUB且C中含有3个元素，（2）CGAH0（0表示空集）.考点：分析：解答：子集与交集、并集运算的转换.集合韦恩图求出AUB中元素的个数，再利用排列组合知识求解即可.解：因为A、B各含12个兀素，AGB含有4个兀素，因此AUB元素的个数是12+12-4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是C3，20在上面集合中，还满足AGC=0的集合C的个数是C38因此，所求集合C的个数是C3-C3=1084208点评：本题考查集合中元素的个数、子集个数以及排列组合知识，难度不大.（12分）过点M（-1，0）的直线L与抛物线y2=4x交于P、P两点记：线段PP的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L；L的斜率为k试把直线L的斜率与直线L的斜率之比表示2121为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.考点：抛物线的简单性质.考点：抛物线的简单性质.专题：综合题．分析：先设直线L的方程是y=k（x+1）,然后与抛物线方程联立消去y,得到两根之和、两根之积，将直线L与该抛物线有两个交点转化=（2k2-4）2-4k2・k2>0且kHO,进而可得到k的范围，设点P的坐标为，可以得到直线L、直线L的斜率，记，则可以得到，再由，可以得到，再分析单调性即可．12解答：解：由已知条件可知，直线气的方程是y=k（x+l[①把①代入抛物线方程y2=4x，整理后得到k2X2+（2k2-4）x+k2=0②因此，直线L与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k2-4）2-4k2・k2>0③及kHO.④1解出③与④得到ke（-1，0）U（0，1）现设点P的坐标为，则直线L的斜率，而直线L的斜率，12记，则今记L与抛物线的两个交点P与P的横坐标分别为x和x，11212由韦达定理及②得，由此得到，定义域是（-1，0）U（0，1）显然，1-k2在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数点评