函数极限(limitoffunction)课件

函数极限

(LimitsofFunctions)函数极限

(LimitsofFunctions)1极限的概念极限的概念2极限定义(Definitionofalimit)ThenumberListhelimitofthefunctionf(x)asxapproachesc(orapproachesinfinity)if,asthevaluesofxgetsarbitrarily(butnotequal)toc(orapproachesinfinity),valuesoff(x)approach(orequal)L.Wewrite极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自变量绝对值无限增大）时，函数值趋近于某个定值。极限定义(Definitionofalimit)The3设函数y=f(x)在点附近有定义（在点可以无定义），若当x无限接近于时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于时，f(x)以A为极限，记作或f(x)→A(x→)（描述性定义）1.x→x0时函数的极限设函数y=f(x)在点附近有定义（在点可以无定义）4xf(x)xf(x)1.91.991.9991.9999……x→2（fromtheleft）Thisiscalledtheleft-handlimitandiswritten:Thisiscalledtheright-handlimitandiswritten:4.94.994.9994.9999……5.15.015.0015.0001……

2.12.012.0012.0001……

x→2（fromtheright）f(x)→5f(x)→5xf(x)xf(x)1.91.991.9991.9999……5极限存在定理设函数y=f(x)在点左(或右)侧有定义（在点可以无定义），若当x无限接近于时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于时，f(x)以A为左（或右）极限，记作

左极限与有极限统称为单侧极限（one-sidedlimit）.左右极限又可分别记为极限存在定理设函数y=f(x)在点左(或右)侧有定义（62.x→∞时函数的极限★2.x→∞时函数的极限★7ConsiderthelimitofthefunctionConsiderthelimitofthefunc8函数极限(limitoffunction)课件9极限的运算法则（Rulesoflimits）Then前提很重要极限的运算法则（Rulesoflimits）Then前提10Evaluatethefollowinglimits对于一切初等函数，当在该函数的定义域内，求的极限值时，只需把代入即可。当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数项，然后再化简。Evaluatethefollowinglimits对11当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数项，然后再化简。当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数12exerciseexercise13HomeworkHomework14函数极限(limitoffunction)课件15两个重要极限(Twoimportantlimits)?如何证明?两个重要极限(Twoimportantlimits)?如16解这个结果可以作为公式使用例1求解这个结果可以作为公式使用例1求17例2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：例2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：18练习1.求下列极限:练习1.求下列极限:19函数极限(limitoffunction)课件20

例3解例4解例3解例4解21思考题思考题22夹逼定理(Sandwich(Squeeze)theorem)夹逼定理(Sandwich(Squeeze)theorem)23

例

用夹逼准则求

24练习3：下列等式正确的是（）

．

练习4：下列等式不正确的是（）练习3：下列等式正确的是（）．练习4：下列等式25练习5.练习5.26两个重要极限(Twoimportantlimits)?两个重要极限(Twoimportantlimits)?27函数极限(limitoffunction)课件28解因为所以，有例1解因为所以，有例129例2

解

方法一令u=-x，因为x0时u0，所以例2解方法一令u=-x，因为x030方法二掌握熟练后可不设新变量方法二掌握熟练后可不设新变量31例3解

例3解32练习解练习解33极限的应用1：找渐近线

Applicationoflimits：FindingasymptotesAliney=cisa

horizontalasymptoteofgraphofy=f(x),ifAlinex=kisa

verticalasymptoteofgraphofy=f(x),if极限的应用1：找渐近线

Applicationoflim34极限的应用2：连续

Applicationoflimits：Continuity连续的定义（Definitionofcontinuity）直观认识：坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线.（图像一笔画）极限的应用2：连续

Applicationoflimit35函数在某点连续(Continuousatapoint)设函数在附近有定义，若，则称在点连续.若函数f在区间I上的每一个点都连续，则称f为I上的连续函数.注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函数、有理函数在其定义域上都是连续函数.有理函数在处不连续.函数在某点连续(Continuousatapoint36函数极限(limitoffunction)课件37非连续性分类（Kindsofdiscontinuity）间断点：若f在点x0无定义，或f在x0有定义而不连续，则称x0为函数f的间断点或不连续点.1.可去间断点(Removablediscontinuity)若f在无定义，或有定义但2.跳跃间断点（Jumpdiscontinuity）若函数f在点的左右极限都存在，但，则称点为函数的跳跃间断点.3.无穷间断点（Infiitediscontinuity）至少有一侧极限不存在.非连续性分类（Kindsofdiscontinuity）38(A)iscontinuouseverywhere(B)iscontinuousexceptx=0(C)hasaremovablediscontinuityatx=0(D)hasainfinitediscontinuityatx=0(E)hasx=0asaverticalasymptote(A)iscontinuouseverywhere39连续函数定理(Theoremsofcontinuousfunction)1.最值定理（Extremevaluetheorem）

若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值.

Iffiscontinuousontheclosedinterval[a,b],thenfattainsaminmumvalueandamaximumvaluesomewhereinthatinterval.连续函数定理(Theoremsofcontinuous402.介值定理（Intermediatevaluetheorem）若函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b).若M为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)<M<f(b)orf(b)<M<f(a))，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=M.Iffiscontinuousontheclosedinterval[a,b],f(a)≠f(b),andMisanumbersuchthatf(a)<M<f(b)（orf(b)<M<f(a)),thenthereisatleastonenumber,c,betweenaandbsuchthatf(c)=M.特别的，若f(a)f(b)<0，那么存在c∈(a,b)，使得f(c)=0零点定理Zeropointtheorem2.介值定理（Intermediatevaluethe41HomeworkHomework42函数极限(limitoffunction)课件43函数极限(limitoffunction)课件44（分析性定义）AxyoA+Ax0y=f(x)x0x0+（分析性定义）AxyoA+Ax0y=f(x)45函数极限(limitoffunction)课件46函数极限

(LimitsofFunctions)函数极限

(LimitsofFunctions)47极限的概念极限的概念48极限定义(Definitionofalimit)ThenumberListhelimitofthefunctionf(x)asxapproachesc(orapproachesinfinity)if,asthevaluesofxgetsarbitrarily(butnotequal)toc(orapproachesinfinity),valuesoff(x)approach(orequal)L.Wewrite极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自变量绝对值无限增大）时，函数值趋近于某个定值。极限定义(Definitionofalimit)The49设函数y=f(x)在点附近有定义（在点可以无定义），若当x无限接近于时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于时，f(x)以A为极限，记作或f(x)→A(x→)（描述性定义）1.x→x0时函数的极限设函数y=f(x)在点附近有定义（在点可以无定义）50xf(x)xf(x)1.91.991.9991.9999……x→2（fromtheleft）Thisiscalledtheleft-handlimitandiswritten:Thisiscalledtheright-handlimitandiswritten:4.94.994.9994.9999……5.15.015.0015.0001……

2.12.012.0012.0001……

x→2（fromtheright）f(x)→5f(x)→5xf(x)xf(x)1.91.991.9991.9999……51极限存在定理设函数y=f(x)在点左(或右)侧有定义（在点可以无定义），若当x无限接近于时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于时，f(x)以A为左（或右）极限，记作

左极限与有极限统称为单侧极限（one-sidedlimit）.左右极限又可分别记为极限存在定理设函数y=f(x)在点左(或右)侧有定义（522.x→∞时函数的极限★2.x→∞时函数的极限★53ConsiderthelimitofthefunctionConsiderthelimitofthefunc54函数极限(limitoffunction)课件55极限的运算法则（Rulesoflimits）Then前提很重要极限的运算法则（Rulesoflimits）Then前提56Evaluatethefollowinglimits对于一切初等函数，当在该函数的定义域内，求的极限值时，只需把代入即可。当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数项，然后再化简。Evaluatethefollowinglimits对57当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数项，然后再化简。当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数58exerciseexercise59HomeworkHomework60函数极限(limitoffunction)课件61两个重要极限(Twoimportantlimits)?如何证明?两个重要极限(Twoimportantlimits)?如62解这个结果可以作为公式使用例1求解这个结果可以作为公式使用例1求63例2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：例2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：64练习1.求下列极限:练习1.求下列极限:65函数极限(limitoffunction)课件66

例3解例4解例3解例4解67思考题思考题68夹逼定理(Sandwich(Squeeze)theorem)夹逼定理(Sandwich(Squeeze)theorem)69

例

用夹逼准则求

70练习3：下列等式正确的是（）

．

练习4：下列等式不正确的是（）练习3：下列等式正确的是（）．练习4：下列等式71练习5.练习5.72两个重要极限(Twoimportantlimits)?两个重要极限(Twoimportantlimits)?73函数极限(limitoffunction)课件74解因为所以，有例1解因为所以，有例175例2

解

方法一令u=-x，因为x0时u0，所以例2解方法一令u=-x，因为x076方法二掌握熟练后可不设新变量方法二掌握熟练后可不设新变量77例3解

例3解78练习解练习解79极限的应用1：找渐近线

Applicationoflimits：FindingasymptotesAliney=cisa

horizontalasymptoteofgraphofy=f(x),ifAlinex=kisa

verticalasymptoteofgraphofy=f(x),if极限的应用1：找渐近线

Applicationoflim80极限的应用2：连续

Applicationoflimits：Continuity连续的定义（Definitionofcontinuity）直观认识：坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线.（图像一笔画）极限的应用2：连续

Applicationoflimit81函数在某点连续(Continuousatapoint)设函数在附近有定义，若，则称在点连续.若函数f在区间I上的每一个点都连续，则称f为I上的连续函数.注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函数、有理函数在其定义域上都是连续函数.有理函数在处不连续.函数在某点连续(Continuousatapoint82函数极限(limitoffunction)课件83非连续性分类（Kindsofdiscontinuity）间断点：若f在点x0无定义，或f在x0有定义而不连续，则称x0为函数f的间断点或不连续点.1.可去间断点(Removablediscontinuity)若f在无定义，或有定义但2.跳跃间断点（Jumpdiscontinuity）若函数f在点的左右极限都存在，但，则称点为函数的跳跃间断点.3.无穷间断点（Infiitediscontinuity）至少有一侧极限不存在.非连续性分类（Kindsofdiscontinuity）84(A)iscontinuouseverywhere(B)iscontinuousexceptx=0(C)hasaremovablediscontinuityatx=0(D)hasainfinitediscontinuityatx=0(E)hasx=0asaverticalasy