余角和补角的定义和性质课件

.1余角和补角.1余角和补角.2.2.312.312.421.42.512互为余角

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。.512互为余角.6考考你图中给出的各角，那些互为余角？10o30o60o80o50o40o.6考考你图中给出的各角，那些互为余角？10o30o60o8.734.734.834.834.934互为补角

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。.934互为补角.10考考你图中给出的各角，那些互为补角？10o30o60o80o100o120o150o170o.10考考你图中给出的各角，那些互为补角？10o30o60o.11我来试一试：∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°77°62°23′27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°x90°x180°x.11我来试一试：∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°7.12练习一、填空1、70°的余角是

，补角是

。2、∠

（∠

<90

°）的余角是

，它的补角是

。110°20°90°-∠

180°-∠

重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角)

锐角∠的余角是（90°—∠

）∠的补角是（180°—∠

）.12练习110°20°90°-∠180°-.13例1

若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。解：设这个角是x°，则它的补角是（180°-x°）,余角是(90°-x°)。根据题意得：（180°-x°）=4(90°-x°)

解得：x=60

答：这个角的度数是60°。.13例1若一个角的补角等于它的余角的解：.14若∠1+∠2=180°,则

.()

若∠1和∠2互补,则

.()若∠3+∠4=90°,则

.()若∠3和∠4互余,则

.()3412∠1和∠2互补互补定义∠1+∠2=180°互补定义∠3和∠4互余互余定义∠3+∠4=90°互余定义.14若∠1+∠2=180°,3412∠1和∠2.15

如图∠1与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？2143探究:余角和补角的性质.152143探究:余角和补角的性质.16

如图∠1与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？2143.162143.17

如图∠1与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？2143.172143.18

如图∠1与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？2143.182143.19

例3如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?1234解：∠2与∠4相等。

这里，我们用到了“等量减等量，差相等”。因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补，所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3，又因为∠1=∠3，所以∠2=∠4。.19例3如图，∠1与∠2互补，∠3与∠.20补角性质：等角的补角相等.20补角性质：.21

如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？1243探究:余角和补角的性质.21如图∠1与∠2互余，∠３与∠.22如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？1243.22如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝.23如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？1243.23如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝.24

余角性质：等角的余角相等.24余角性质：.25如图∠AOB=90°∠COD=90°则∠1与∠2是什么关系？答：∠1=∠2

因为∠1+∠BOD=90°∠2+∠BOD=90°

所以∠1=∠2AOBCD（等角的余角相等)12.25如图∠AOB=90°答：∠1=∠2AOBC.261221∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°等角的余角相等等角的补角相等．互余互补数量关系对应图形性质.261221∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°等角的余.27互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与位置无关。1互余、互补概念中的角是成对出现的。2只有锐角才有余角。4注意角的余角是，补角是同一个锐角的补角比余角大35同角的余角（补角）相等；等角的余角（补角）相等。.27互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，.28

如图，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，∠DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？AOBECD1234探索研究.28如图，已知AOB是一直线，OC是∠A.29（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？说明它们相等的原因。（1）图中有哪几对互余的角？∠A与∠B互余∠A与∠2互余

∠1与∠B互余∠1与∠2互余∠B=∠2∠A=∠1BADC12（同角的余角相等）（同角的余角相等）认真观察下面的图形，回答下列问题：.29（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？（1）.30ABCDEFG如图，E、F是直线DG上两点∠BEF=∠BFE∠AED=∠CFG=90°找出图中相等的角并说明理由。讨论.30ABCDEFG如图，E、F是直线DG上两点找出图中相等.311.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？试着说明理由？巩固应用∵∠COD=∠EOD=90°∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°又∵∠2=∠4∴∠1=∠3（等角的余角相等）解：（1）∠1=∠34321EDBACO.311.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°.32

如图∠AOB=90°,∠COD=90°∠1与∠2是什么关系？解：∵∠AOB=90°,∠COD=90°∴∠1=∠2∴∠1+∠DOB=90°∠2+∠DOB=90°(同角的余角相等）巩固练习ODCBA21.32解：∵∠AOB=90°,∠COD=90°.33强化练习，巩固提高（1）一个角是70º39′，求它的余角和补角.（2）∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？（3）一个角是钝角，它的一半是什么角？它的余角是90º－70º39′=19º21′，它的补角是180º－70º39′=109º21′.由180º－∠α=3∠α，解得∠α=45º.锐角.33强化练习，巩固提高（1）一个角是70º39′，.34测一测.34测一测.35AOBEDC∠1=120°,∠1与∠2互补,∠3与∠2互余,则∠3=

.2.O为直线AB上的一点，OD平分∠AOB，∠COE=90°则∠BOC=

，∠COD=

。检测∠DOE∠AOE30°.35AOBEDC∠1=120°,∠1与∠2互补,∠3.36同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？.36同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等.如图,∠A.37300m200m.37300m200m.38临海在杭州的哪个方向吗?聪明的你知道.38临海在杭州的哪个方向吗?聪明的你知道.39东南西北东南西南西北东北探究你知道方位角吗？.39东南西北东南西南西北东北探究你知道方位角吗？.40东西北南O（1）正北，正南，正西，正东，（2）西北方向:_________

西南方向:__________

东南方向:__________

东北方向:__________

射线ODABCDOCOBOA45°射线OE射线OF射线OG射线OHEGFH45°45°45°探究：方位角直线AB和直线CD互相垂直，所成四个角均为直角.40东西北南O（1）正北，正南，正西，正东，（2）西北方向.412.南偏西25°1.北偏东70°70°北西东O南25°AB探究：方位角方位角是以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向.412.南偏西25°1.北偏东70°70°北西.42例１如图，ＯＡ是表示北偏东３００方向的一条射线，仿照这条射线，画出表示下列方向的角：（１）南偏东２５０（２）北偏西６００A东南西北30025°60°.42例１如图，ＯＡ是表示北偏东３００方向的一条射线，仿照.43

例2如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D的射线。60°OA东南西北B40°60°OA东南西北DC.43例2如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔.442、如图，OA表示北偏东32°方向线，OB表示南偏东43°方向线，则∠AOB等于————。.442、如图，OA表示北偏东32°方向线，OB表示南偏东.453、A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是（）（A）南偏东60°（B）南偏西60°

（C）南偏东30°（D）南偏西30°A东北东北12B.453、A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是（.46甲地乙地如何表示乙地对甲地的方位角1.先找出中心点,然后画出方向指标北观测点被观测点归纳.46甲地乙地如何表示乙地对甲地的方位角1.先找出中心点,.47甲地乙地乙地对甲地的方位角2.把中心点和目的地用线连接起來北视线.47甲地乙地乙地对甲地的方位角2.把中心点和目的地用线连.48甲地乙地乙地对甲地的方位角3.度量向北的射线和视线之间的角度北.48甲地乙地乙地对甲地的方位角3.度量向北的射线和视线之间.49●A南偏西40°南●东西北B40°400CD1.说出B在A的＿＿＿＿，那么A在B的＿＿＿___.北偏东400北东500南西A是被观测点B是观测点拓展应用.49●A南偏西40°南●东西北B40°400CD1.说出B.504、小明从点A出发向北偏西50°方向走了3米，到达点B，小林从点A出发向南偏西40°方向走了4米，试画图确定出A、B、C三点的位置（用1厘米表示3米），并从图上求出B点到C点的实际距离。东南西北A500400BC创新探究.504、小明从点A出发向北偏西50°方向走了3米.514.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东500方向上有一艘船，同时从B地发现这艘船在它的北偏东300方向，试在图中确定这艘船的位置。AB北东500300C解：则这艘船在点C处.514.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它AB北.52再见

生活中并不是缺少数学，而是缺少发现数学的眼睛，让我们用数学的眼光发现数学的美，让我们用数学的方法创造生活的美！.52再见生活中并不是缺少数学，而是缺少发现数.53余角和补角.1余角和补角.54.2.5512.312.5621.42.5712互为余角

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。.512互为余角.58考考你图中给出的各角，那些互为余角？10o30o60o80o50o40o.6考考你图中给出的各角，那些互为余角？10o30o60o8.5934.734.6034.834.6134互为补角

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。.934互为补角.62考考你图中给出的各角，那些互为补角？10o30o60o80o100o120o150o170o.10考考你图中给出的各角，那些互为补角？10o30o60o.63我来试一试：∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°77°62°23′27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°x90°x180°x.11我来试一试：∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°7.64练习一、填空1、70°的余角是

，补角是

。2、∠

（∠

<90

°）的余角是

，它的补角是

。110°20°90°-∠

180°-∠

重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角)

锐角∠的余角是（90°—∠

）∠的补角是（180°—∠

）.12练习110°20°90°-∠180°-.65例1

若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。解：设这个角是x°，则它的补角是（180°-x°）,余角是(90°-x°)。根据题意得：（180°-x°）=4(90°-x°)

解得：x=60

答：这个角的度数是60°。.13例1若一个角的补角等于它的余角的解：.66若∠1+∠2=180°,则

.()

若∠1和∠2互补,则

.()若∠3+∠4=90°,则

.()若∠3和∠4互余,则

.()3412∠1和∠2互补互补定义∠1+∠2=180°互补定义∠3和∠4互余互余定义∠3+∠4=90°互余定义.14若∠1+∠2=180°,3412∠1和∠2.67

如图∠1与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？2143探究:余角和补角的性质.152143探究:余角和补角的性质.68

如图∠1与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？2143.162143.69

如图∠1与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？2143.172143.70

如图∠1与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？2143.182143.71

例3如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?1234解：∠2与∠4相等。

这里，我们用到了“等量减等量，差相等”。因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补，所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3，又因为∠1=∠3，所以∠2=∠4。.19例3如图，∠1与∠2互补，∠3与∠.72补角性质：等角的补角相等.20补角性质：.73

如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？1243探究:余角和补角的性质.21如图∠1与∠2互余，∠３与∠.74如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？1243.22如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝.75如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？1243.23如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝.76

余角性质：等角的余角相等.24余角性质：.77如图∠AOB=90°∠COD=90°则∠1与∠2是什么关系？答：∠1=∠2

因为∠1+∠BOD=90°∠2+∠BOD=90°

所以∠1=∠2AOBCD（等角的余角相等)12.25如图∠AOB=90°答：∠1=∠2AOBC.781221∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°等角的余角相等等角的补角相等．互余互补数量关系对应图形性质.261221∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°等角的余.79互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与位置无关。1互余、互补概念中的角是成对出现的。2只有锐角才有余角。4注意角的余角是，补角是同一个锐角的补角比余角大35同角的余角（补角）相等；等角的余角（补角）相等。.27互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，.80

如图，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，∠DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？AOBECD1234探索研究.28如图，已知AOB是一直线，OC是∠A.81（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？说明它们相等的原因。（1）图中有哪几对互余的角？∠A与∠B互余∠A与∠2互余

∠1与∠B互余∠1与∠2互余∠B=∠2∠A=∠1BADC12（同角的余角相等）（同角的余角相等）认真观察下面的图形，回答下列问题：.29（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？（1）.82ABCDEFG如图，E、F是直线DG上两点∠BEF=∠BFE∠AED=∠CFG=90°找出图中相等的角并说明理由。讨论.30ABCDEFG如图，E、F是直线DG上两点找出图中相等.831.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？试着说明理由？巩固应用∵∠COD=∠EOD=90°∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°又∵∠2=∠4∴∠1=∠3（等角的余角相等）解：（1）∠1=∠34321EDBACO.311.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°.84

如图∠AOB=90°,∠COD=90°∠1与∠2是什么关系？解：∵∠AOB=90°,∠COD=90°∴∠1=∠2∴∠1+∠DOB=90°∠2+∠DOB=90°(同角的余角相等）巩固练习ODCBA21.32解：∵∠AOB=90°,∠COD=90°.85强化练习，巩固提高（1）一个角是70º39′，求它的余角和补角.（2）∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？（3）一个角是钝角，它的一半是什么角？它的余角是90º－70º39′=19º21′，它的补角是180º－70º39′=109º21′.由180º－∠α=3∠α，解得∠α=45º.锐角.33强化练习，巩固提高（1）一个角是70º39′，.86测一测.34测一测.87AOBEDC∠1=120°,∠1与∠2互补,∠3与∠2互余,则∠3=

.2.O为直线AB上的一点，OD平分∠AOB，∠COE=90°则∠BOC=

，∠COD=

。检测∠DOE∠AOE30°.35AOBEDC∠1=120°,∠1与∠2互补,∠3.88同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？.36同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等.如图,∠A.89300m200m.37300m200m.90临海在杭州的哪个方向吗?聪明的你知道.38临海在杭州的哪个方向吗?聪明的你知道.91东南西北东南西南西北东北探究你知道方位角吗？.39东南西北东南西南西北东北探究你知道方位角吗？.92东西北南O（1）正北，正南，正西，正东，（2）西北方向:_________

西南方向:__________

东南方向:__________

东北方向:__________

射线ODABCDOCOBOA45°射线OE射线OF射线OG射线OHEGFH45°45°45°探究：方位角直线AB和直线CD互相垂直，所成四个角均为直角.40东西北南O（1）正北，正南，正西，正东，（2）西北方向.932.南偏西25°1.北偏东70°70°北西东O南25°AB探究：方位角方位角是以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向.412.南偏西25°1.北偏东70°70°北西.94例１如图，ＯＡ是表示北偏东３００方向的一条射线，仿照这条射线，画出表示下列方向的角：（１）南偏东２５０（２）北偏西６００A东南西北30025°60°.42例１如图，ＯＡ是表示北偏东３００方向的一条射线，仿照.95

例2如图，货