平面的基本性质课件

平面的基本性质共点共线共面平面的基本性质1知识回顾公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面知识回顾2“共点”、“共线”、“共面”1、毯依据:(1)公理1:判断或证明直线是否在平面内(2)公理2:确定两个平面的交线,判定两平面相交(“点共线”,“线共(3)公理3,必2、3:确定平面证点、线共面的依据,也是作辅助面的依据2、反证法“共点”、“共线”、“共面”3点共面、线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法其1.证明若干点或直线共面通常有两种思路(1)先由部分元素确定一个平面,再证明其余元素在这平面内(2)先由部分元素确定若干平面,再证明这些平面重合其2.证明三点共线,通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线,再证明第三点是这两个平面的公共点,即该点分别在这两个平面内其3.证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于点,然后再证第三条直线经过这一点。点共面、线共面、三点共线、三线共点4例、两个平面两两相交,有三条交线,若其中两条相交于一点,证明第三条交线也过这一点证法:先证两条交线交于一点,再证第三条直线也过改点已知:如图1-26,∩β=a,βny=b,a∩y=c,bncp求证:p∈a证明:∵b∩c=p,∈bβ∩y=b,∴p∈β同理,p∈α图1又∵a∩β=a,p∈a例、两个平面两两相交,有三条交线,若其中两5例2、如图:在四面体ABCD中,EF分别是ABBc的中点,G,H分别在CD,AD上,且DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)求证:直线EH与FGBD相交于一点P例2、如图:在四面体ABCD中,EF分别6例2、已知△ABC在平面a外,它的的三条边所在直线分别交平面a于P、Q、R求证:P、Q、R共线要证明各点共线,只要证明它们是两个平面的公共点A证明:P∈ABc平面ABCP∈平面ABCP∈a∴P∈a∩平面ABC同理Q、R也为公共点RC所以P、Q、R共线例2、已知△ABC在平面a外,它的的三条边所在73.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点平面C经过D,E两点(1)求直线AB与平面C的交点PA(2)求证:D,EP三点共线B3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点8例1、已知四条直线两两相交,且不共点,求证这四条直线在同一平面内已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点求证a、b、c、d在同一平面内分析:四条直线两两相交且不共点,可能有两种一是有三条直线共点二是没有三条直线共点,故证明要分两种情况例1、已知四条直线两两相交,且不共9(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.dc=R,a、bc相交于点O求证:a、b、c、d共面证明:‘d∩a=P∴过d、a确定一个平面a(推论2)图1-23同理过d、b和d、c各确定一个平面β、yO∈a,O∈b,O∈c∴O∈a,O∈β,O∈y.∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O.a、β、γ重a、b、c、d共面.注:本题的方法是“同一法”(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.dc=R,a、b10平面的基本性质课件11平面的基本性质课件12平面的基本性质课件13平面的基本性质课件14平面的基本性质课件15平面的基本性质课件16平面的基本性质课件17平面的基本性质课件18平面的基本性质课件19平面的基本性质课件20平面的基本性质课件21平面的基本性质课件22平面的基本性质课件23平面的基本性质课件24平面的基本性质共点共线共面平面的基本性质25知识回顾公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面知识回顾26“共点”、“共线”、“共面”1、毯依据:(1)公理1:判断或证明直线是否在平面内(2)公理2:确定两个平面的交线,判定两平面相交(“点共线”,“线共(3)公理3,必2、3:确定平面证点、线共面的依据,也是作辅助面的依据2、反证法“共点”、“共线”、“共面”27点共面、线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法其1.证明若干点或直线共面通常有两种思路(1)先由部分元素确定一个平面,再证明其余元素在这平面内(2)先由部分元素确定若干平面,再证明这些平面重合其2.证明三点共线,通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线,再证明第三点是这两个平面的公共点,即该点分别在这两个平面内其3.证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于点,然后再证第三条直线经过这一点。点共面、线共面、三点共线、三线共点28例、两个平面两两相交,有三条交线,若其中两条相交于一点,证明第三条交线也过这一点证法:先证两条交线交于一点,再证第三条直线也过改点已知:如图1-26,∩β=a,βny=b,a∩y=c,bncp求证:p∈a证明:∵b∩c=p,∈bβ∩y=b,∴p∈β同理,p∈α图1又∵a∩β=a,p∈a例、两个平面两两相交,有三条交线,若其中两29例2、如图:在四面体ABCD中,EF分别是ABBc的中点,G,H分别在CD,AD上,且DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)求证:直线EH与FGBD相交于一点P例2、如图:在四面体ABCD中,EF分别30例2、已知△ABC在平面a外,它的的三条边所在直线分别交平面a于P、Q、R求证:P、Q、R共线要证明各点共线,只要证明它们是两个平面的公共点A证明:P∈ABc平面ABCP∈平面ABCP∈a∴P∈a∩平面ABC同理Q、R也为公共点RC所以P、Q、R共线例2、已知△ABC在平面a外,它的的三条边所在313.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点平面C经过D,E两点(1)求直线AB与平面C的交点PA(2)求证:D,EP三点共线B3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点32例1、已知四条直线两两相交,且不共点,求证这四条直线在同一平面内已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点求证a、b、c、d在同一平面内分析:四条直线两两相交且不共点,可能有两种一是有三条直线共点二是没有三条直线共点,故证明要分两种情况例1、已知四条直线两两相交,且不共33(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.dc=R,a、bc相交于点O求证:a、b、c、d共面证明:‘d∩a=P∴过d、a确定一个平面a(推论2)图1-23同理过d、b和d、c各确定一个平面β、yO∈a,O∈b,O∈c∴O∈a,O∈β,O∈y.∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O.a、β、γ重a、b、c、d共面.注:本题的方法是“同一法”(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.dc=R,a、b34平面的基本性质课件35